第18期 《几何证明初步》章节检测卷（参考答案见复习专号15版）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书书书 １９． （２０２３ 佛 山 禅 城 区 期 末 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １５ ， 在 △ Ａ ＢＣ 中 ， ＢＤ ，ＡＥ 分 别 是 ＡＣ ，ＢＣ 边 上 的 高 ， 它 们 相 交 于 点 Ｆ ， 且 ＡＦ ＝ ＢＣ． 求 证 ： △ ＡＢＤ 是 等 腰 三 角 形 ． ２０． （ 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １６ ， 在 △ ＡＢＣ 中 ，∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，ＢＥ 平 分 ∠ ＡＢＣ ，ＡＭ ⊥ ＢＣ 于 点 Ｍ ，交 ＢＥ 于 点 Ｇ ，ＡＤ 平 分 ∠ Ｍ ＡＣ ，交 ＢＣ 于 点 Ｄ ，交 ＢＥ 于 点 Ｆ．求 证 ：线 段 ＢＦ 垂 直 平 分 线 段 ＡＤ ． ２１． （２０２３ 津 湖 期 中 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １７ ，ＣＤ 是 △ ＡＢＣ 的 角 平 分 线 ，Ｄ Ｅ ∥ ＢＣ ，交 ＡＣ 于 点 Ｅ． （１ ） 若 ∠ Ａ ＝ ４２°，∠ ＢＤ Ｃ ＝ ７５°，求 ∠ ＣＥＤ 的 度 数 ； （２ ） 若 ∠ Ａ － ∠ ＡＣＤ ＝ １７°，∠ ＥＤ Ｂ ＝ ９５°，求 ∠ Ａ 的 度 数 ． ２２． （２ ０２３ 兴 平 期 中 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １８ ，已 知 ＡＤ ，ＢＣ 相 交 于 点 Ｏ ，ＡＢ ＝ Ｃ Ｄ ，ＡＭ ⊥ ＢＣ 于 点 Ｍ ，Ｄ Ｎ ⊥ ＢＣ 于 点 Ｎ ，ＢＮ ＝ ＣＭ ． （１ ） 求 证 ：△ ＡＢＭ ≌ △ Ｄ ＣＮ ； （２ ） 试 猜 想 Ｏ Ａ 与 Ｏ Ｄ 的 大 小 关 系 ，并 说 明 理 由 ． ２３． （２０２３ 中 江 期 末 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １９ ，点 Ｎ 在 ＡＢ 的 延 长 线 上 ． （１ ） 如 图 １９ － ① ，过 点 Ｂ 作 ＢＭ ∥ ＡＣ ，过 点 Ｃ 作 ＣＤ ⊥ ＡＣ ，交 ＡＢ 的 延 长 线 于 点 Ｄ ，作 Ｃ Ｅ ∥ ＡＢ 交 ＢＭ 于 点 Ｅ ，∠ ＥＣＤ 的 平 分 线 ＣＦ 与 ∠ ＥＢＤ 的 平 分 线 ＢＦ 相 交 于 点 Ｆ ，且 ∠ Ｆ ＝ ∠ ＥＣＦ ＋ ∠ ＦＢＤ ，求 ∠ Ｆ 的 度 数 ； （ ２ ） 如 图 １９ － ② ，Ｇ 为 ＡＢ 的 延 长 线 ＢＮ 上 一 点 ，Ｈ 为 ＢＣ 上 一 点 ，ＧＫ 平 分 ∠ Ｈ ＧＮ ，Ｈ Ｌ 平 分 ∠ ＣＨ Ｇ ，ＧＰ ∥ Ｈ Ｌ ，试 猜 想 ∠ ＫＧＰ 与 ∠ ＡＢＣ 的 关 系 ， 并 说 明 理 由 ． ２４． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 ２０ ， 在 △ ＡＢＣ 中 ，∠ Ｂ ＝ ４０°，∠ ＡＣＢ ＝ ９０°，ＡＥ 平 分 ∠ ＢＡＣ 交 ＢＣ 于 点 Ｅ ，Ｐ 是 ＢＣ 边 上 的 动 点 （ 不 与 Ｂ ，Ｃ 重 合 ） ， 连 接 ＡＰ ，将 △ ＡＰＣ 沿 ＡＰ 翻 折 得 到 △ ＡＰＤ ，连 接 Ｄ Ｃ ，记 ∠ ＢＣＤ ＝ α ． （１ ） 当 点 Ｐ 与 点 Ｅ 重 合 时 ，求 α 的 度 数 ； （ ２ ） 当 点 Ｐ 与 点 Ｅ 不 重 合 时 ，记 ∠ ＢＡＤ ＝ β ，请 探 究 α 与 β 的 数 量 关 系 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-./01 !"# $ %&!' $ ()2+,-./01 ! " # $ % & ' ( ) * ! " + , ! " # $ % & ! ! " ! " ! ! # # $ % & ' ( ! ! $ % # $ " ! $ " ) * ( # ! ! ! % ! ! & ! " ! " # ) ( $ & % ! " # ) + ' , - . # % ! " " # ! # % ! , " ! $ " ! ' ( 书 三、１５．△ＣＥＢ是等 边三角形．理由如下： 因为 ＡＢ ＝ ＢＣ， ∠ＡＢＣ ＝１２０°，ＢＥ⊥ ＡＣ， 所 以 ∠ＣＢＥ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝６０°． 因为ＤＥ＝ＤＢ， 所以ＢＣ＝ＣＥ． 所以 △ＣＥＢ是等 边三角形． １６．∠Ａ＝６０°，∠Ｂ ＝７５°，∠Ｃ＝４５°． １７． （１） 因 为 ∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ， 所以ＡＥ＝ＡＣ． 因 为 ＡＤ 平 分 ∠ＢＡＣ， 所以ＥＦ＝ＣＦ． （２）因为∠ＡＣＢ＝ ６０°，∠ＢＣＥ＝２０°， 所 以 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＢＣＥ＝４０°． 所 以 ∠ＡＥＣ ＝ ４０°． 所以∠Ｂ＝∠ＡＥＣ － ∠ＢＣＥ ＝ ２０° ＝ ∠ＢＣＥ． 所以 △ＢＣＥ是等 腰三角形． １８． （１） 因 为 ∠ＡＢＣ＝９０°， 所 以 ∠ＤＢＥ ＝ １８０°－∠ＡＢＣ＝９０°． 在 Ｒｔ△ＡＣＢ 和 Ｒｔ△ＤＥＢ中， 因为 ＡＣ＝ＤＥ， ＢＣ＝ＢＥ{ ， 所以 Ｒｔ△ＡＣＢ≌ Ｒｔ△ＤＥＢ（ＨＬ）． 所以ＡＢ＝ＤＢ． （２）作 ＢＭ 平 分 ∠ＡＢＤ交ＡＫ于点Ｍ，图 书 等腰三角形是研究几何图形的基础，在许多几何问 题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解．那么 如何构造等腰三角形呢？一般来说有以下三种途径： 一、利用角平分线 ＋平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就 可以寻找到等腰三角形．如图 １－① 中，若 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＥＣ∥ＡＤ，则△ＡＣＥ是等腰三角形；如图１－② 中，若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，则△ＡＤＥ是等腰三角 形；如图 １－③ 中，若 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＣＥ∥ ＡＢ，则 △ＡＣＥ是等腰三角形；如图１－④中，若ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ＥＦ∥ＡＤ，则△ＡＧＥ是等腰三角形． 二、利用角平分线 ＋垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂 线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如 图２中，若 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＡＤ⊥ ＤＣ，则 △ＡＥＣ是等腰三角形． 三、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一 个角的２倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三 角形．如图３－①中，若∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，如果作ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，则 △ＤＢＣ是等腰三角形；如图 ３－② 中，若 ∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，如果延长线段ＣＢ到Ｄ，使ＢＤ＝ＢＡ，连 接ＡＤ，则△ＡＤＣ是等腰三角形；如图３－③中，若∠Ｂ＝ ２∠ＡＣＢ，如果以 Ｃ为角的顶点，ＣＡ为角的一边，在 △ＡＢＣ外作∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，交ＢＡ的延长线于点Ｄ，则 △ＤＢＣ是等腰三角形． 例　如图４，已知在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝２∠Ｂ，ＢＣ＝２ＡＣ．求证：∠Ａ ＝９０°． 解析：由于条件中有两个倍角关 系，而结论与角有关，因此首先考虑 对∠ＡＣＢ＝２∠Ｂ进行处理，即作ＣＤ 平分∠ＡＣＢ交ＡＢ于点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＢＣ于点Ｅ．因 为∠ＡＣＢ＝２∠Ｂ，所以∠Ｂ＝∠ＢＣＤ，即△ＤＢＣ是等腰 三角形．而ＤＥ⊥ＢＣ，所以ＢＣ＝２ＣＥ．又因为ＢＣ＝２ＡＣ， 所以ＡＣ＝ＥＣ．所以易证得 △ＡＣＤ≌ △ＥＣＤ．所以 ∠Ａ ＝∠ＤＥＣ＝９０°． （注：本题也可以利用图３中的②，③来构造等腰三 角形求解．） 书 线段的垂直平分线和 角的平分线是考试中的 “常客”，利用这“两线”的 性质可以帮助同学们解决 很多问题，下面选取几例 加以剖析，供同学们参考． 一、线段的垂直平分 线 例 １　 如 图 １，在 △ＡＢＣ中，ＤＥ是 ＡＣ的垂 直平分线，且分别交 ＢＣ， ＡＣ于点 Ｄ和 Ｅ，∠Ｂ ＝ ６０°，∠Ｃ＝２５°，则 ∠ＢＡＤ ＝ （　　） Ａ．５０°　　　Ｂ．７０° Ｃ．７５° Ｄ．８０° 解：因为ＤＥ是ＡＣ的垂直平分线，所以ＤＡ＝ＤＣ． 所以∠ＤＡＣ＝∠Ｃ＝２５°． 因为∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ＝２５°，所以∠ＢＡＣ＝９５°． 所以∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ＝７０°． 故选Ｂ． 二、角的平分线 例 ２　 如图 ２，点 Ｐ是 △ＡＢＣ的三个内角平分线的交 点．若△ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ， 面积为３６ｃｍ２，则点Ｐ到边ＢＣ 的距离是 ｃｍ． 解：过点Ｐ作 ＰＤ⊥ ＡＢ于 点Ｄ，ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，如图２． 因为点Ｐ是△ＡＢＣ的三个内角平分线的交点， 所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＰＢ ＋Ｓ△ＢＰＣ ＋Ｓ△ＡＰＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ ＋１２ＢＣ·ＰＥ＋ １ ２ＡＣ·ＰＦ＝ １ ２ＰＥ·（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ） ＝ １２ＰＥ×２４＝３６．解得ＰＥ＝３． 故填３． 三、线段的垂直平分线与角的平分线“联姻” 例３　如图３，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ边的垂直平分线 ＰＱ 与△ＡＢＣ的外角平分线交于 点Ｐ，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．若ＢＣ＝ ６，ＡＣ＝４，则ＣＥ的长度是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解：连接ＰＡ，ＰＢ，如图３． 因为ＣＰ是∠ＢＣＥ的平分线，ＰＤ⊥ＢＣ，ＰＥ⊥ＡＣ， 所以ＰＤ＝ＰＥ． 在Ｒｔ△ＣＤＰ和Ｒｔ△ＣＥＰ中，因为ＣＰ＝ＣＰ，ＰＤ＝ ＰＥ，所以Ｒｔ△ＣＤＰ≌Ｒｔ△ＣＥＰ（ＨＬ）． 所以ＣＤ＝ＣＥ． 因为ＰＱ是线段ＡＢ的垂直平分线，所以ＰＡ＝ＰＢ． 在Ｒｔ△ＡＥＰ和Ｒｔ△ＢＤＰ中，因为ＰＡ＝ＰＢ，ＰＥ＝ ＰＤ，所以Ｒｔ△ＡＥＰ≌Ｒｔ△ＢＤＰ（ＨＬ）． 所以ＡＥ＝ＢＤ． 所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝ＡＣ＋ＣＥ＋ＣＤ＝６． 所以ＣＥ＝ＣＤ＝ １２×（ＢＣ－ＡＣ）＝１． 故选Ａ． 书 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的 距离和等于一腰上的高． 已知：△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｐ是底边 ＢＣ上任意一 点，ＰＥ⊥ＡＣ，ＰＦ⊥ＡＢ，点Ｅ，Ｆ为垂足，ＢＨ为腰ＡＣ上的 高．求证：ＰＥ＋ＰＦ＝ＢＨ． 在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ可能为锐角、直角或钝角，因此 可画出三种图形，如图１，图２和图３． 下面就锐角三角形的情形给出证明． 证明：方法１：如图４，过点 Ｐ作 ＰＫ ⊥ＢＨ，垂足为点Ｋ． 因为ＰＥ⊥ＡＣ，ＢＨ⊥ＡＣ，所以四边 形ＰＥＨＫ为长方形，ＰＥ＝ＫＨ．因为 ＡＢ ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．因为 ＰＫ⊥ ＢＨ，ＡＣ⊥ＢＨ，所以 ＰＫ∥ ＡＣ．所以 ∠ＢＰＫ＝∠Ｃ＝ ∠ＦＢＰ．因为 ∠ＢＦＰ＝∠ＰＫＢ＝９０°，ＢＰ＝ＰＢ，所以 △ＢＦＰ≌△ＰＫＢ（ＡＡＳ）．所以ＰＦ＝ＢＫ．所以ＰＥ＋ＰＦ＝ ＫＨ＋ＢＫ＝ＢＨ． 方法２：如图５，连接ＡＰ． 因为Ｓ△ＡＢＰ ＋Ｓ△ＡＣＰ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＦ＋ １ ２ＡＣ·ＰＥ＝ １ ２ＡＣ·（ＰＦ＋ＰＥ），Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ＡＣ·ＢＨ，又因为 Ｓ△ＡＢＰ ＋Ｓ△ＡＣＰ ＝ Ｓ△ＡＢＣ，所以 １ ２ＡＣ·（ＰＦ＋ＰＥ）＝ １ ２ＡＣ·ＢＨ．化简，得 ＰＥ＋ＰＦ＝ＢＨ． 注：当△ＡＢＣ为直角三角形或钝角三角形时，也可 以用类似的方法证得结论成立．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`abcdefgVh ijklmno+ lpKqrs tuvwxyo+z*K./)*0($($1!2, & '( qrs ) & '( {4| ) # * +, 9}s ) & '( ~  ) & '( €  -+./0, 9 ‚ 12./0, 9ƒ„ *34/5, … † *3467( ‡0ˆ 4‰Š ‹ Œ FŽ   ‘’B {“” •ƒ – 0 —˜Ž ™šr ‹:› œ: {rž ŸQ  ¡Œ ¢ B £¤¥ 4¦§ 80-+( ‹ ¨ 809:( © Ž ;<-+( { ª =>-+, « ¬ ?@AB, ­®¯ 书 略． 所 以 ∠ＡＢＭ ＝ ∠ＭＢＫ＝ １２∠ＡＢＤ＝ ４５°． 因 为 ＢＦ 平 分 ∠ＡＢＣ， 所 以 ∠ＣＢＦ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝４５°． 由对顶角相等，得 ∠ＧＢＫ ＝ ∠ＣＢＦ ＝ ４５°． 因 为 ＫＢ 平 分 ∠ＡＫＧ， 所 以 ∠ＭＫＢ ＝ ∠ＧＫＢ． 在 △ＢＭＫ 和 △ＢＧＫ中， 因 为 ∠ＭＢＫ＝∠ＧＢＫ， ＢＫ＝ＢＫ， ∠ＭＫＢ＝∠ＧＫＢ{ ， 所 以 △ＢＭＫ ≌ △ＢＧＫ（ＡＳＡ）． 所以ＢＭ＝ＢＧ，ＫＭ ＝ＫＧ． 在 △ＡＢＭ 和 △ＤＢＧ中， 因 为 ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＡＢＭ ＝∠ＤＢＧ， ＢＭ ＝ＢＧ { ， 所 以 △ＡＢＭ ≌ △ＤＢＧ（ＳＡＳ）． 所以ＡＭ ＝ＤＧ． 所以 ＡＫ ＝ＡＭ ＋ ＫＭ ＝ＤＧ＋ＫＧ． 附加题 　 过点 Ｏ 分别作 ＯＥ⊥ ＡＢ于点 Ｅ，ＯＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，ＯＧ ⊥ＣＤ于点Ｇ，ＯＨ⊥ＡＤ 于点Ｈ，图略． 又因为 ＡＯ平分 ∠ＢＡＤ， 所以 ＯＥ ＝ ＯＨ， ∠ＡＥＯ ＝ ∠ＡＨＯ ＝ ９０°． 在 Ｒｔ△ＯＡＥ 和 Ｒｔ△ＯＡＨ中， 因为 ＯＡ＝ＯＡ， ＯＥ＝ＯＨ{ ， 所以 Ｒｔ△ＯＡＥ≌ Ｒｔ△ＯＡＨ（ＨＬ）． 所以ＡＥ＝ＡＨ． 同理可得 ＢＥ ＝ ＢＦ，ＣＦ ＝ ＣＧ，ＤＧ ＝ ＤＨ． 所以ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＥ ＋ＢＥ＋ＣＧ＋ＤＧ＝ＡＨ＋ ＢＦ＋ＣＦ＋ＤＨ＝ＡＤ＋ ＢＣ． 书 上期２版 ５．５三角形内角和定理 ５．５．１三角形内角和定理 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．９０°；　４．８０． ５．因为∠ＢＡＣ＝６０°，∠Ｃ＝８４°，ＡＤ是△ＡＢＣ的 角平分线，所以 ∠Ｂ＝１８０°－∠ＢＡＣ－∠Ｃ＝３６°， ∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝３０°．所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＣＡＤ －∠Ｃ＝６６°．因为∠ＡＤＥ＝１２∠Ｂ＝１８°，所以∠ＣＤＥ ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＥ＝４８°． 能力提高　６．（１）△ＡＢＣ是“三倍角三角形”．理 由如下： 因为∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４０°，所以∠Ｃ＝１８０°－∠Ａ －∠Ｂ＝１２０°＝３∠Ｂ．所以△ＡＢＣ是“三倍角三角形”． （２）设△ＡＢＣ的最大内角为ｘ． 当最大内角是∠Ｂ的３倍时，ｘ＝３∠Ｂ＝９０°，满足 题意； 当最大内角是∠Ａ或∠Ｃ的３倍时，１３ｘ＋ｘ＋３０° ＝１８０°，解得ｘ＝１１２．５°，满足题意； 当∠Ｂ是∠Ａ或∠Ｃ的３倍时，１３×３０°＋３０°＋ｘ ＝１８０°，解得ｘ＝１４０°，满足题意． 所以△ＡＢＣ中最大内角的度数为９０°或１１２．５°或 １４０°． ５．５．２三角形外角的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．７０°． ４．连接ＡＯ，并延长至点Ｄ，图略．根据三角形外角 的性质，得∠ＢＯＤ＝∠ＢＡＯ＋∠Ｂ，∠ＣＯＤ＝∠ＣＡＯ＋ ∠Ｃ．所以∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ＋∠ＣＯＤ＝∠ＢＡＯ＋∠Ｂ＋ ∠ＣＡＯ＋∠Ｃ＝∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＋∠Ｃ． ５．（１）因为∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°，所以∠ＢＣＤ ＝∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝１００°．因为ＣＥ是∠ＢＣＤ的平分线， 所以∠ＢＣＥ＝ １２∠ＢＣＤ＝５０°． （２）因为∠ＢＣＥ＝５０°，∠ＡＢＣ＝７０°，所以∠ＢＥＣ ＝∠ＡＢＣ－∠ＢＣＥ＝２０°．因为ＤＦ∥ＣＥ，所以∠Ｆ＝ ∠ＢＥＣ＝２０°． 能力提高　６．１２０°或９０°． ５．６几何证明举例 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．４． ４．（１）因为 ＡＣ⊥ ＢＣ，ＡＤ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＢＤＡ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＢＡＤ中，因为 ＡＢ＝ＢＡ， ＢＣ＝ＡＤ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＢＡＤ（ＨＬ）． （２）因为 Ｒｔ△ＡＢＣ≌ Ｒｔ△ＢＡＤ，所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＢＡＤ．因为ＣＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ，所以 １ ２ＡＢ·ＣＥ＝ １ ２ＡＢ· ＤＦ．所以ＣＥ＝ＤＦ． ５．（１）等边． （２）△ＢＥＦ是等腰三角形．理由如下： 因为 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝ ∠ＤＡＥ－∠ＢＡＤ，即∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＢ．又因为ＡＣ＝ＡＢ， ＡＤ＝ＡＥ，所以 △ＤＡＣ≌ △ＥＡＢ（ＳＡＳ）．所以 ∠Ｃ＝ ∠ＥＢＡ．因为ＥＦ∥ＢＣ，所以∠ＥＦＢ＝∠ＡＢＣ．因为ＡＢ ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．所以∠ＥＦＢ＝∠ＥＢＡ．所以 ＥＢ＝ＥＦ．所以△ＢＥＦ是等腰三角形． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ 二、９．５０°；　１０．４１°；　１１．６；　１２．５５°；　１３．１２； １４．α ２２０２３ ． 书 平行线的一个作用就是架起了角与角之间关系的桥 梁，因此在探求角与角之间的关系时，要联想到平行线， 有些题目中的图形虽然没有明确给出等量关系，但我们 可以尝试通过构造平行线，转化图形将问题顺利解决． 　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３重庆九龙坡区模 拟）如图１，已知ＡＢ∥ＣＤ，含３０° 的直角三角板的直角顶点在直线 ＣＤ上．若∠ＥＤＣ＝２４°，则∠ＡＢＥ 的度数为 （　　） Ａ．２４° Ｂ．３０° Ｃ．３６° Ｄ．４５° 分析：过点Ｅ作ＥＧ∥ＣＤ，由ＡＢ∥ ＣＤ可知 ＡＢ∥ ＥＧ，根据平行线的性质即可解答． 解：如图１，过点Ｅ作ＥＧ∥ＣＤ． 所以∠ＤＥＧ＝∠ＥＤＣ＝２４°． 由题意知∠ＤＥＦ＝９０°－３０°＝６０°． 因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡＢ∥ＥＧ． 所以∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＧ＝∠ＤＥＦ－∠ＤＥＧ＝３６°． 故选Ｃ． 例２　（２０２３银川兴庆区一模） 如图２，已知直线ｌ∥ｍ，∠１＝１１５°， ∠ＡＢＣ＝９５°，则∠２＝ ． 分析：过点Ｂ作射线ｎ∥ｌ，根据 平行线的性质得到 ∠３的度数，然 后求出∠４的度数，再根据“两直线平行，同旁内角互 补”求解即可． 解：如图２，过点Ｂ作射线ｎ∥ｌ． 因为∠１＝１１５°， 所以∠３＝１８０°－∠１＝６５°． 所以∠４＝∠ＡＢＣ－∠３＝３０°． 因为ｌ∥ｍ， 所以ｎ∥ｍ． 所以∠２＝１８０°－∠４＝１５０°． 故填１５０°． 书 关于判定两条直线平行的证明问题在考试中屡见 不鲜，而解答此类问题，往往需要借助“外力”帮忙，那 么我们一起去探究一下吧！ 一、借角之力 要判断两条直线是否平行，应看这两条直线被第三 条直线所截构成的同位角、内错角或同旁内角之间是否 存在对应的相等关系，或者互补关系．具体而言，有如下 三个重要结论： １．同位角相等，两直线平行； ２．内错角相等，两直线平行； ３．同旁内角互补，两直线平行． 例 １　 如图 １，Ｂ，Ｅ分别是 ＡＣ，ＤＦ上的点，∠Ａ＋∠ＡＢＦ＝ １８０°，∠Ａ＝∠Ｆ．求证：ＡＣ∥ＤＦ． 分析：利用平行线的判定定 理和性质定理即可得出结论． 证明：因为∠Ａ＋∠ＡＢＦ＝１８０°（已知）， 所以ＡＥ∥ＢＦ（同旁内角互补，两直线平行）． 所以∠Ａ＝∠ＣＢＦ（两直线平行，同位角相等）． 又因为∠Ａ＝∠Ｆ（已知）， 所以∠ＣＢＦ＝∠Ｆ（等量代换）． 所以ＡＣ∥ＤＦ（内错角相等，两直线平行）． 二、借线之力 要判断两条直线是否平行，有时还可以根据这两条 直线与第三条直线之间的位置关系来判断．具体而言， 有如下两个重要结论： １．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ２．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 例２　如图２，已知 ∠１＝ ∠２，∠３＋∠４＝１８０°．求证：ＡＢ ∥ＥＦ． 分析：根据 ∠１＝∠２利用 “同位角相等，两直线平行”可得 出ＡＢ∥ＣＤ，再根据∠３＋∠４＝１８０°利用“同旁内角互 补，两直线平行”可得出ＣＤ∥ＥＦ，从而即可证出结论． 证明：因为∠１＝∠２（已知）， 所以ＡＢ∥ＣＤ（同位角相等，两直线平行）． 因为∠３＋∠４＝１８０°（已知）， 所以ＣＤ∥ＥＦ（同旁内角互补，两直线平行）． 所以ＡＢ∥ＥＦ（在同一平面内，平行于同一条直线 的两条直线平行）． 例３　如图３，已知ＥＦ⊥ＡＢ， ∠１＝∠２．求证：ＣＤ∥ＥＦ． 分析：要证明 ＣＤ∥ ＥＦ，只需 证明ＣＤ⊥ＡＢ． 证明：因为∠１＋∠２＝１８０°（补 角的定义），∠１＝∠２（已知）， 所以∠１＝∠２＝９０°（等式的性质）． 所以ＣＤ⊥ＡＢ（垂直的定义）． 因为ＥＦ⊥ＡＢ（已知）， 所以ＣＤ∥ＥＦ（在同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线平行）． ! !" # $ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! " # $ % & ! ! ! " & " $ ! % # ! " # $ ! # ! " & " $ ! %# !" ! !"#$%&'()*+ %#&!'&"(!")* !",-%&'()*+ %#&!'&"(!!"& ! ! !"#$ %&'()*+,-./ !# 0 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! 12 345 678 !9$ :&;< 6=> !9":&;< & # % ! $ ' " ! ! # ( ) ! " # $ % ! * ! " ?@AB< 书书书 《 几 何 证 明 初 步 》 章 节 检 测 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 选 择 题 （ 共 ２４ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答 案 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ２４ 分 ） １． （ ２０ ２３ 鄱 阳 期 末 ） 下 列 语 句 不 是 命 题 的 是 （ 　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ ．两 直 线 平 行 ，同 位 角 相 等 Ｂ． 锐 角 都 相 等 Ｃ． 画 直 线 ＡＢ 平 行 于 ＣＤ Ｄ ．所 有 质 数 都 是 奇 数 ２． （ ２０ ２３ 来 宾 兴 宾 区 期 末 ） 如 图 １， 已 知 ａ ∥ ｂ， ∠ １ ＝ ７２ °， 则 ∠ ２ ＝ （ 　 　 ） Ａ ．７ ２° Ｂ． ９８ ° Ｃ． １０ ８° Ｄ ．１ １８ ° ３． 一 个 缺 角 的 △ ＡＢ Ｃ 残 片 如 图 ２ 所 示 ，量 得 ∠ Ａ ＝ ５５ °， ∠ Ｂ ＝ ６０ °， 则 这 个 三 角 形 残 缺 前 的 ∠ Ｃ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．７ ５° Ｂ． ６５ ° Ｃ． ５５ ° Ｄ ．４ ５° ４． （ ２０ ２３ 凤 翔 一 模 ） 如 图 ３， 如 果 ∠ １ ＝ ∠ ３， ∠ ２ ＝ ５０ °， 那 么 ∠ ４ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．５ ０° Ｂ． １０ ０° Ｃ． １２ ０° Ｄ ．１ ３０ ° ５． （ ２０ ２３ 天 门 期 末 ） 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．坐 标 轴 上 的 点 不 属 于 任 何 象 限 Ｂ． 若 ａｂ ＝ ０， 则 点 Ｐ（ ａ， ｂ） 表 示 原 点 Ｃ． 点 Ａ， Ｂ 的 横 坐 标 相 同 ，则 直 线 ＡＢ ∥ ｘ 轴 Ｄ ．（ １， － ａ２ ） 在 第 四 象 限 ６． （ ２０ ２３ 漳 州 模 拟 ） 将 一 副 三 角 尺 按 如 图 ４ 所 示 的 位 置 摆 放 ，则 α － β ＝ （ 　 　 ） Ａ ．４ ５° Ｂ． ５５ ° Ｃ． ６５ ° Ｄ ．７ ５° ７． （ ２０ ２３ 靖 江 二 模 ） 如 图 ５， ∠ ＡＢ Ｄ ， ∠ ＡＣ Ｄ 的 平 分 线 交 于 点 Ｐ． 若 ∠ Ａ ＝ ７０ °， ∠ Ｄ ＝ １０ °， 则 ∠ Ｐ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．４ ０° Ｂ． ３０ ° Ｃ． ２０ ° Ｄ ．１ ０° ８． （ ２０ ２３ 高 邑 期 末 ） 如 图 ６， 点 Ｅ， Ｆ 分 别 在 直 线 ＡＢ ，Ｃ Ｄ 上 ，点 Ｇ， Ｈ 在 两 直 线 之 间 ，线 段 ＥＦ 与 ＧＨ 相 交 于 点 Ｏ ，且 有 ∠ ＡＥ Ｆ ＋ ∠ ＣＦ Ｅ ＝ １８ ０° ， ∠ １ ＝ ∠ ２． 三 人 说 法 如 下 ：甲 ：Ａ Ｂ ∥ ＣＤ ；乙 ：Ｇ Ｅ ∥ ＦＨ ；丙 ：Ａ Ｂ ∥ ＧＨ ，下 列 判 断 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．乙 对 ，丙 错 Ｂ． 甲 对 ，乙 错 Ｃ． 甲 对 ，丙 对 Ｄ ．甲 错 ，乙 对 非 选 择 题 （ 共 ９６ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） ９． （ ２０ ２３ 全 椒 二 模 ） 命 题 “ 如 果 ａ， ｂ 互 为 相 反 数 ，那 么 ａ， ｂ 的 绝 对 值 相 等 ” 是 （ 填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ） 命 题 ，它 的 条 件 是 ． １０ ．如 图 ７， 一 艘 轮 船 按 箭 头 所 示 方 向 行 驶 ，Ｃ 处 有 一 灯 塔 ，当 轮 船 从 Ａ 点 行 驶 到 Ｂ 点 时 ， ∠ ＡＣ Ｂ ＝ °． １１ ．（ ２０ ２３ 铜 仁 期 末 ） 如 图 ８， 在 不 添 加 任 何 字 母 的 条 件 下 ，写 出 一 个 能 判 定 ＡＢ ∥ ＣＥ 的 条 件 ． １２ ．（ ２０ ２３ 娄 底 三 模 ） 如 图 ９， 某 兴 趣 小 组 利 用 几 何 图 形 画 出 螳 螂 的 简 笔 画 ， 已 知 ∠ ＢＡ Ｃ ＝ １３ ０° ，Ａ Ｂ ∥ Ｄ Ｅ， ∠ Ｄ ＝ ７０ °， 则 ∠ ＡＣ Ｄ ＝ ． １３ ．如 图 １０ ，四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｃ， ＢＤ 为 对 角 线 ，且 ＡＣ ＝ ＡＢ ， ∠ ＡＣ Ｄ ＝ ∠ ＡＢ Ｄ ，Ａ Ｅ ⊥ ＢＤ 于 点 Ｅ． 若 ＢＤ ＝ ６， Ｃ Ｄ ＝ ４， 则 Ｄ Ｅ 的 长 度 为 ． １４ ．（ ２０ ２３ 宿 迁 宿 城 区 期 末 ） 如 图 １１ ， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ， ∠ ＡＢ Ｃ ＝ ５０ °， ∠ ＡＣ Ｂ ＝ １０ ０° ，Ｍ 是 射 线 ＡＢ 上 的 一 个 动 点 ，过 点 Ｍ 作 Ｍ Ｎ ∥ ＢＣ 交 射 线 ＡＣ 于 点 Ｎ ，连 接 ＢＮ ．若 △ ＢＭ Ｎ 中 有 两 个 角 相 等 ， 则 ∠ Ｍ Ｎ Ｂ 的 度 数 是 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 １０ 个 小 题 ， 共 ７８ 分 ） １５ ．（ 本 题 满 分 ６ 分 ） 观 察 图 １２ ，左 图 中 间 的 圆 圈 大 还 是 右 图 中 间 的 圆 圈 大 ？请 你 先 观 察 ，再 用 刻 度 尺 验 证 一 下 ． １６ ．（ ２０ ２ ３ 宿 迁 宿 豫 区 期 末 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 请 写 出 命 题 “ 末 尾 数 字 是 ５ 的 数 ，能 被 ５ 整 除 ” 的 逆 命 题 ，并 判 断 其 真 假 ．若 是 假 命 题 ，请 举 一 个 反 例 ． １７ ．（ ２０ ２３ 镇 平 三 模 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 光 线 在 不 同 介 质 中 的 传 播 速 度 不 同 ，从 一 种 介 质 射 向 另 一 种 介 质 时 会 发 生 折 射 ．如 图 １３ ， 水 面 ＡＢ 与 水 杯 下 沿 ＣＤ 平 行 ，光 线 ＥＦ 从 水 中 射 向 空 气 时 发 生 折 射 ，光 线 变 成 ＦＨ ， 点 Ｇ 在 射 线 ＥＦ 上 ．已 知 ∠ Ｈ ＦＢ ＝ ２０ °， ∠ ＦＥ Ｄ ＝ ４５ °， 求 ∠ ＧＦ Ｈ 的 度 数 ． １８ ．（ 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １４ ，在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｂ Ｏ 平 分 ∠ ＡＢ Ｃ， 点 Ｐ 为 直 线 ＡＣ 上 一 动 点 ，Ｐ Ｏ ⊥ ＢＯ 于 点 Ｏ ．当 ∠ ＡＢ Ｃ ＝ ４０ °， ∠ Ａ ＝ ６０ °， 点 Ｐ 与 点 Ｃ 重 合 时 ，求 ∠ ＡＰ Ｏ 的 度 数 ． ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 !"#$%&!' ! " # $ % & ! ' $ ( ) 2 + , - . / 0 1 ( C D E F G H I ! " # $ ! # % # ! " ! ! + , ! " - $ ! % # ! & ! " ) % # $ & # ! $ & ! . ' " # $ / % ! " ! ) ! * & ! # " % ! ( % ! # # % # ( % # ! + # % " $ ! ! ! % % ! " $ # ! ! ! % 0 # 1 ! ! ! " ! & " # $ % ! ! # / ' ( ) . % ! # * - + ! ! $ #JKLML: , #NRST: #UVWXYP%#&!'&"(!"&) #JKZ[P\]^_`abcdefg !#" h'iKj%&'(UVW #klUmP%#%%%) #anWoKpqP%#&!$&"(!!"& %#&!$&"(!"#(?rs< #otPuvJKanW[wx@yz{k|?}< #klotpqP!!!*& #~€o‚ƒo„…o #JK†@yz ?̂a<.‡ˆ‰ŠK #‹ŒŽ#~hP!$%%%%$%%%!!% #‹ŒWXYP%#&!$&"(!"&& #JK‘’“”r•–—˜™š›?œažŸd ¡¢C£¤¥¦ !! h<§–9¨˜–©ª«¬­9uvJKanW[w®¯