第5章 几何证明初步 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(青岛版)

年级上册·QD 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第5章　几何证明初步 本章综合提升 1. 方程思想 链接本章 本章中涉及三角形内角的求解问题时，只要给出与三个内角有关的两个独立 条件，我们就可以运用方程的思想，求出三角形的三个内角的度数. 　　【例1】　在△ ABC 中，∠ A －∠ B ＝30°，∠ C ＝4∠ B ，求∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数. 解：设∠ B ＝ x ，则∠ C ＝4 x ， ∵∠ A －∠ B ＝30°，∴∠ A ＝30°＋ x .① ∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°，∠ A ＋ x ＋4 x ＝180°，② 把①代入②，得30°＋ x ＋ x ＋4 x ＝180°，解得 x ＝25°， ∴∠ A ＝30°＋25°＝55°，∠ B ＝25°，∠ C ＝4 x ＝4×25°＝100°. 1 2 3 　　【变式训练1】在△ ABC 中，∠ A －∠ B ＝36°，∠ C ＝2∠ B . 求∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数. 解：∵∠ A －∠ B ＝36°，∴∠ A ＝36°＋∠ B . ∵∠ C ＝2∠ B ，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°， ∴2∠ B ＋∠ B ＋∠ B ＋36°＝180°，∴∠ B ＝36°， ∴∠ A ＝∠ B ＋36°＝72°，∠ C ＝2∠ B ＝72°. 1 2 3 2. 转化思想 链接本章 在本章中，证明线段相等、角相等的问题，常用转化思想转化为证明三角形 全等的问题来解决. 【例2】　如图所示， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠ BAC ＝∠ DAE ，连接 BD ， CE ，延长 BD 交 CE 于点 F ，若 AD ⊥ BD ， BD ＝6， CF ＝4，求线段 DF 的长. 1 2 3 解：如图所示，连接 AF ， ∵∠ BAC ＝∠ DAE ，∴∠ BAC ＋∠ CAD ＝∠ DAE ＋∠ CAD ，∴∠ BAD ＝ ∠ CAE . 又∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴△ ABD ≌△ ACE （SAS）.∵ AD ⊥ BD ， ∴∠ ADB ＝∠ ADF ＝90°.∵△ ABD ≌△ ACE ， ∴ BD ＝ CE ＝6，∠ AEC ＝∠ ADB ＝90°，∴ EF ＝ CE － CF ＝2.∵ AF ＝ AF ， AD ＝ AE ， ∴Rt△ AEF ≌Rt△ ADF （HL），∴ DF ＝ EF ＝2. 1 2 3 　　【变式训练2】如图所示，已知∠ A ＝∠ B ， AE ＝ BE ，点 D 在 AC 边上， ∠1＝∠2， AE 和 BD 相交于点 O . ∠1＝44°，求∠ BDE 的度数. 1 2 3 解：∵ AE 和 BD 相交于点 O ，∴∠ AOD ＝∠ BOE . 在△ AOD 和△ BOE 中，∠ A ＝∠ B ，∴∠ BEO ＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ BEO ，∴∠ AEC ＝∠ BED . 在△ AEC 和△ BED 中， ∴△ AEC ≌△ BED （ASA）.∴ EC ＝ ED ，∠ C ＝∠ BDE . 在△ EDC 中，∵ EC ＝ ED ，∠1＝44°， ∴∠ C ＝∠ EDC ＝68°，∴∠ BDE ＝∠ C ＝68°. 1 2 3 3. 分类讨论思想 链接本章 本章中涉及等腰三角形的角度或边长时，要注意分类讨论思想的运用.分类时 必须要遵循两个原则，一、分类标准一致；二分类的情况，不重不漏. 　　【例3】　在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，且过△ ABC 某一顶点的直线可将△ ABC 分成两个等腰三角形，试求△ ABC 各内角的度数. 1 2 3 解： a .如图①所示，∵ AB ＝ AC ， BD ＝ CD ， CD ＝ AD ， ∴∠ B ＝∠ C ＝∠ BAD ＝∠ CAD . ∵∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C ＝180°，∴4∠ B ＝180°， ∴∠ B ＝45°，∠ C ＝45°，∠ BAC ＝90°. b .如图②所示，∵ AB ＝ AC ， AD ＝ BD ， AC ＝ CD ， ∴∠ B ＝∠ C ＝∠ BAD ，∠ CAD ＝∠ CDA . ∵∠ CDA ＝∠ B ＋∠ BAD ＝2∠ B ，∴∠ BAC ＝3∠ B . ∵∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C ＝180°，∴5∠ B ＝180°， ∴∠ B ＝36°，∠ C ＝36°，∠ BAC ＝108°. 1 2 3 c .如图③所示，∵ AB ＝ AC ， AD ＝ BD ＝ BC ， ∴∠ ABC ＝∠ C ，∠ A ＝∠ ABD ，∠ BDC ＝∠ C . ∵∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＝2∠ A ，∴∠ ABC ＝∠ C ＝2∠ A . ∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ C ＝180°，∴5∠ A ＝180°， ∴∠ A ＝36°，∠ C ＝72°，∠ ABC ＝72°. d .如图④所示，∵ AB ＝ AC ， AD ＝ BD ， CD ＝ BC ， ∴∠ ABC ＝∠ C ，∠ A ＝∠ ABD ，∠ CDB ＝∠ CBD . ∵∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＝2∠ A ，∴∠ ABC ＝∠ C ＝3∠ A . ∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ C ＝180°，∴7∠ A ＝180°， ∴∠ A ＝ °，∠ C ＝ °，∠ ABC ＝ °. 1 2 3 【变式训练3】如图所示， D 是∠ MAN 的平分线上一点，点 B 是射线 AM 上 一点， DE ⊥ AM 于点 E ， DF ⊥ AN 于点 F ，连接 AD . 若 AB ＝7， BE ＝2，则 （1）线段 AF 的长为 ⁠. （2）在射线 AN 上取一点 C ，使得 DC ＝ DB ，则 AC 的长为 ⁠. 9　 7或11　 1 2 3 1. （2023·潍坊月考）如图所示，把△ ABC 的∠ A 沿 DE 折叠，点 A 落在四边形 CBDE 外，则∠1，∠2与∠ A 的关系是（　B　） A. ∠1＋∠2＝2∠ A B. ∠2－∠1＝2∠ A C. ∠2－∠ A ＝2∠1 D. 2∠1＋2∠ A ＝∠2 第1题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2023·泰安泰山区二模）如图所示，△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线 CP 与内 角∠ ABC 的平分线 BP 交于点 P ，若∠ BPC ＝40°，则∠ CAP ＝（　C　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 第2题图 3. （2023·泰安宁阳二模）如图所示，已知直线 AB ∥ CD ，∠ C ＝116°，∠ A ＝ 27°，则∠ E ＝（　C　） A. 79° B. 88° C. 89° D. 98° 第3题图 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2023·泰安新泰期末）如图所示，直线 l1∥ l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆 心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1， l2于 B ， C 两点，连接 AC ， BC ，若 ∠ ABC ＝70°，则∠1的大小为（　A　） A. 40° B. 35° C. 50° D. 70° 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （多选题）（2023·潍坊潍城区期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过 选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐，他们还将进行四轮知识竞赛，规定每 轮知识竞赛第一名得 a 分，第二名得 b 分，第三名得 c 分（ a ＞ b ＞ c 且 a ， b ， c 均为正整数）；最后总分为四轮得分之和.四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和 丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是 （　BC　） A. a 为4 B. 甲有一轮竞赛获得第三名 C. 乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一轮竞赛获得第三名 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （多选题）（2023·潍坊期末）如图所示，在△ ABC 中， BD ， BE 分别是△ ABC 的高线和角平分线，点 F 在 CA 的延长线上， FH 垂直于 BE ，交 BD 于点 G ，交 BC 于点 H . 下列结论正确的是（　ABD　） A. ∠ DBE ＝∠ F B. 2∠ BEF ＝∠ BAF ＋∠ C C. ∠ FDG ＝∠ ABE ＋∠ C D. 2∠ F ＝∠ BAC －∠ C 第6题图 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2023·聊城东阿月考）如图所示，在∠ AOB 的边 OA ， OB 上取点 M ， N ，连 接 MN ， P 是△ MON 外角平分线的交点，若 MN ＝2，△ PMN 的面积是2，△ OMN 的面积是7，则△ MON 的周长是 ⁠. 第7题图 11　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2023·潍坊开学）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C 按如图所 示方式叠放在一起，其中∠ A ＝60°，∠ D ＝30°，∠ E ＝∠ B ＝45°.当∠ ACE ＜ 90°，且点 E 在直线 AC 的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则∠ ACE ＝ ⁠. 30°或45°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2023·菏泽单县期末）如图所示， CD ∥ AB ， OE 平分∠ AOD ， OE ⊥ OF ， ∠ D ＝50°，则∠ BOF ＝ ⁠. 25°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2023·泰安宁阳期中）如图①，②所示，∠ A ＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4， 则∠ O1＋∠ O2的度数为 ⁠. 132°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. （2023·泰安宁阳期中）如图所示， AB ⊥ AC ， CD ， BE 分别是△ ABC 的角 平分线， AG ∥ BC ，下列结论：①∠ BAG ＝2∠ ABF ；② BA 平分∠ CBG ； ③∠ ABG ＝∠ ACB ；④∠ CFB ＝135°， 第11题图 其中正确的结论是 ⁠. ①③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2023·聊城东阿月考）如图所示，∠ AOB 是一钢架，∠ AOB ＝15°，为使钢 架更加牢固，需在其内部添加一些钢管 EF ， FG ， GH ，添的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根. 第12题图 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2023·菏泽单县期末）如图①所示， AD 平分∠ BAC ， AE ⊥ BC ，∠ B ＝ 38°，∠ C ＝64°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （1）求∠ DAE 的度数. 解：（1）∵∠ B ＝38°，∠ C ＝64°，∴∠ BAC ＝78°. ∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝39°， ∴∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝77°. ∵ AE ⊥ BC ，∴∠ AEB ＝90°， ∴∠ DAE ＝90°－∠ ADE ＝13°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）如图②所示，若把“ AE ⊥ BC ”变成“点 F 在 DA 的延长线上， FE ⊥ BC ”， ∠ B ＝α，∠ C ＝β（α＜β），请用α，β的代数式表示∠ DFE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：（2）∵∠ B ＝α，∠ C ＝β，∴∠ BAC ＝180°－α－β. ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝90°－ （α＋β）， ∴∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝α＋90°－ （α＋β）. ∵ FE ⊥ BC ，∴∠ FEB ＝90°， ∴∠ DFE ＝90°－∠ ADE ＝ （β－α）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2023·菏泽成武开学）如图所示，在△ ABC 中， CD 平分∠ ACB ， CD 交边 AB 于点 E ，在边 AE 上取点 F ，连接 DF ，使∠1＝∠ D . （1）求证： DF ∥ BC . 解：（1）证明：∵ CD 平分∠ ACB ， ∴∠ DCB ＝∠1. 又∠1＝∠ D ， ∴∠ DCB ＝∠ D ， ∴ DF ∥ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）当∠ A ＝40°，∠ DFE ＝36°时，求∠2的度数. 解：（2）∵ DF ∥ BC ，∠ DFE ＝36°， ∴∠ B ＝∠ DFE ＝36°. 在△ ABC 中，∠ A ＝40°，∠ B ＝36°， ∴∠ ACB ＝180°－40°－36°＝104°. 又∵ CD 平分∠ ACB ， ∴∠1＝ ∠ ACB ＝52°， ∴∠2＝180°－40°－52°＝88°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2023·聊城中考）如图所示，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若 ∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为（　B　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$