第17期 5.5 三角形内角和定理 5.6 几何证明举例（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 １７．（１）ＡＤ∥ ＥＦ． 理由如下： 因 为 ∠ＢＤＡ ＋ ∠ＣＥＧ ＝１８０°，∠ＢＤＡ ＋∠ＡＤＥ＝１８０°， 所 以 ∠ＡＤＥ ＝ ∠ＣＥＧ． 所以ＡＤ∥ＥＦ． （２）∠Ｆ＝∠Ｈ．理 由如下： 因 为 ＡＤ 平 分 ∠ＢＡＣ， 所 以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ． 因 为 ∠ＥＤＨ ＝ ∠Ｃ， 所以ＨＤ∥ＡＣ． 所 以 ∠Ｈ ＝ ∠ＣＧＨ． 因为ＡＤ∥ＥＦ， 所 以 ∠ＣＡＤ ＝ ∠ＣＧＨ，∠ＢＡＤ＝∠Ｆ． 所以∠Ｈ＝∠Ｆ． １８．（１）５． （２）因为∠ＥＣＦ＝ ２５°，∠ＤＣＥ＝９０°， 所 以 ∠ＦＣＤ ＝ ∠ＤＣＥ－∠ＥＣＦ＝６５°． 因为ＣＦ⊥ＢＧ， 所 以 ∠ＢＣＦ ＝ ９０°． 所 以 ∠ＢＣＤ ＝ ∠ＦＣＤ ＋ ∠ＢＣＦ ＝ １５５°． （３）因为∠ＤＣＥ＝ ∠ＦＣＧ＝９０°， 所 以 ∠ＤＣＥ － ∠ＦＣＤ ＝ ∠ＦＣＧ － ∠ＦＣＤ，即 ∠ＥＣＦ ＝ ∠ＤＣＧ． 又因为ＤＣ∥ＡＢ， 所以∠Ｂ＝∠ＤＣＧ ＝∠ＥＣＦ＝２５°． 书 上期２版 ５．１定义与命题 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．Ｂ； ５．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条 直线，那么这两条直线互相平行． ６．答案不惟一，如①②，③． 该命题是真命题．证明如下： 因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ， 所以∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＣ． 在△ＡＢＥ和△ＤＢＣ中， 因为∠Ａ＝∠Ｄ，ＢＡ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＣ， 所以△ＡＢＥ≌△ＤＢＣ（ＡＳＡ）． 所以ＡＥ＝ＤＣ． ５．２为什么要证明 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ． ４．小明的猜想不正确．理由如下： 例如：当ｎ＝７时，ｎ２－６ｎ＝７＞０． ５．３什么是几何证明 基础训练　１．∠Ｃ；两直线平行，同位角相等；ＤＥ； ＡＣ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相 等． ２．因为ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ（已知）， 所以∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＢ（对顶角相等）． 因为ＯＥ，ＯＦ分别平分∠ＡＯＣ，∠ＤＯＢ（已知）， 所以∠１＝１２∠ＡＯＣ，∠２＝ １ ２∠ＤＯＢ（角平分线 的定义）． 所以∠１＝∠２（等量代换）． 因为∠ＡＯＦ＋∠２＝１８０°（平角的定义）， 所以∠ＡＯＦ＋∠１＝１８０°（等量代换）． 所以ＯＥ与ＯＦ在同一条直线上． ５．４平行线的性质定理和判定定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．２５； ５．∠２＝∠１＋７０°；　６．６３． ７．因为∠ＢＥＤ＝２∠ＡＥＤ，∠ＢＥＤ＝３０°， 所以∠ＡＥＤ＝ １２∠ＢＥＤ＝１５°． 因为ＢＤ∥ＡＥ， 所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＥＤ＝１５°． 因为ＤＥ平分∠ＡＤＢ， 所以∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ＝１５°． 因为ＥＤ⊥ＣＤ， 所以∠ＣＤＥ＝９０°． 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＣＤＥ＝１０５°． 因为ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠Ｃ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝７５°． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ａ 二、９．两个角互为内错角，这两个角相等；　１０．５４°； １１．４８°；　１２．②；　１３．５５°；　１４．１０或２８． 三、１５．（１）如果两个角的和等于１８０°，那么这两 个角互为补角．是真命题． （２）如果两个数异号，那么这两个数相加等于零． 是假命题．如：ａ＝３，ｂ＝－２，ａ＋ｂ＝１≠０． （３）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同 旁内角互补．是真命题． １６．ＢＣ∥ＤＥ．理由如下： 延长ＢＣ交ＦＥ的延长线于点Ｇ，图略． 因为ＡＢ∥ＥＦ， 所以∠ＡＢＣ＝∠Ｇ． 因为∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ， 所以∠Ｇ＝∠ＤＥＦ． 所以ＢＣ∥ＤＥ． 书 “ＨＬ”可以判定直角三角形全等，但是一定要注意 它不是判定直角三角形全等的惟一方法，前面学习的判 定一般三角形全等的方法都适用于直角三角形．下面举 例加以说明． 一、运用“ＨＬ”判定直角三角形全等 例１　如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＡＥ，ＤＥ⊥ ＡＢ．若∠ＢＤＥ＝４６°，则∠ＤＡＥ ＝ ． 分析：根据直角三角形的 性质求得 ∠Ｂ的度数，即可得 到∠ＢＡＣ的度数，再运用“ＨＬ”证明 △ＡＣＤ≌ △ＡＥＤ， 得到∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ即可得解． 解：因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°． 所以∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝９０°． 因为∠Ｃ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝９０°． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ＝４６°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ△ＡＥＤ中，因为 ＡＤ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＥＤ（ＨＬ）． 所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ＝２３°． 故填２３°． 二、运用“ＡＳＡ”或“ＡＡＳ”判定直角三角形全等 例２　 如图 ２，Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＥＤＦ中，∠Ｂ＝∠Ｄ，在不添 加任何辅助线的情况下，请你添 加一个条件： ，使 Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＥＤＦ全等． 分析：本题是一道开放型的题目，答案不惟一，只要 符合三角形全等的判定定理即可． 解：①添加条件：ＡＢ＝ＥＤ． 证明：在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＥＤ， ∠Ａ＝∠ＤＥＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． ②添加条件：ＢＣ＝ＤＦ或ＡＣ＝ＥＦ或ＡＥ＝ＣＦ（添 加这三个条件所用到的判定方法相等，此处以ＢＣ＝ＤＦ 为例进行证明）． 证明：在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中，因为 ∠Ａ＝∠ＤＥＦ， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＣ＝ＤＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ（ＡＡＳ）． 故填ＡＢ＝ＥＤ或ＢＣ＝ＤＦ或ＡＣ＝ＥＦ或ＡＥ＝ＣＦ． 书 有些同学在遇到证明题时，总感觉到证明题“无从 下手”．从已知出发往往有多种途径可供选择，这时最好 结合所求的结论一起考虑，这样可最大限度地少走弯 路．熟练掌握此法，则不难拨开证明中的“迷雾”．下面举 例进行说明． 例１ 如图１，△ＡＢＣ为等边三角 形，ＢＤ是角平分线，点Ｆ在线段ＢＤ上 移动，直线ＣＦ与ＡＢ交于点Ｅ，连接ＡＦ， 当ＡＥ＝ＡＦ时，∠ＢＣＥ＝ °． 分析：根据等边三角形的性质得到 ＢＤ是线段ＡＣ的垂直平分线，运用等腰三角形的性质和 三角形内角和定理即可得出结论． 解：因为△ＡＢＣ为等边三角形，ＢＤ是角平分线， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝６０°，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ＣＤ． 所以ＡＦ＝ＣＦ． 所以∠ＦＡＣ＝∠ＦＣＡ． 所以∠ＥＡＦ＝６０°－∠ＦＡＣ． 因为ＡＥ＝ＡＦ， 所以 ∠ＡＥＦ ＝ １２（１８０°－∠ＥＡＦ） ＝ ６０°＋ １ ２∠ＦＡＣ． 在△ＡＣＥ中，∠ＡＥＣ＋∠ＡＣＥ＝１２０°， 即６０°＋１２∠ＦＣＡ＋∠ＦＣＡ＝１２０°． 解得∠ＦＣＡ＝４０°． 所以∠ＢＣＥ＝∠ＢＣＡ－∠ＦＣＡ＝２０°． 故填２０． 例２ 如图 ２，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ， Ｅ是ＡＢ的中点，ＣＥ⊥ＢＤ． （１）求证：ＢＥ＝ＡＤ； （２）求证：ＡＣ是线段ＥＤ的垂直平分线； （３）△ＤＢＣ是等腰三角形吗？并说明理由． 分析：（１）欲证ＢＥ＝ＡＤ，只需证△ＢＡＤ≌△ＣＢＥ， 两三角形已具备∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＢ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，只需 再证一对角对应相等．（２）欲证明ＡＣ是线段ＥＤ的垂直 平分线，只需证明△ＡＥＤ是等腰三角形，利用等腰三角 形“三线合一”的性质证明．（３）欲说明 △ＤＢＣ是等腰 三角形，需判定ＣＤ＝ＢＤ，由（２）知ＣＤ＝ＣＥ，由（１）知 ＣＥ＝ＢＤ，显然有ＣＤ＝ＢＤ． 解：（１）因为 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ⊥ ＥＣ，所以 ∠２＋ ∠３＝９０°，∠１＋∠３＝９０°．所以∠１＝∠２．因为ＡＤ∥ ＢＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＢ＝９０°．又因为ＡＢ＝ＢＣ，所以 △ＢＡＤ≌△ＣＢＥ（ＡＳＡ）．所以ＡＤ＝ＢＥ． （２）因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＢＥ＝ＡＥ． 由（１），得ＡＤ＝ＢＥ，所以ＡＥ＝ＡＤ． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，所以∠４＝４５°． 所以∠５＝∠ＢＡＤ－∠４＝４５°．所以∠４＝∠５． 由等腰三角形的性质，得ＥＭ ＝ＭＤ，ＡＭ⊥ＤＥ． 所以ＡＣ是线段ＥＤ的垂直平分线． （３）△ＤＢＣ是等腰三角形．理由如下： 由（２），得ＣＤ＝ＣＥ． 由（１），得ＣＥ＝ＢＤ．所以ＣＤ＝ＢＤ． 所以△ＤＢＣ是等腰三角形． !" # $ % & ! ! ! !" #$% & ' % " $ ! " ! &' ()* "%$ ! ' & ! " ! ! "& ' $ % ( " ! # $ % " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 书 一、“三角形的外角与 它相邻的内角互补”的应 用 例１　在三角形的三 个外角（一个顶点只取一 个外角）中，钝角的个数至 少是 （　　） Ａ．３　　　　Ｂ．２ Ｃ．１　 Ｄ．０ 解：因为三角形的每 一个外角都与相邻的内角 互补，所以当相邻的内角 是锐角时，这个外角才是 钝角．又因为三角形中最 少有２个锐角，所以三角形 的三个外角中至少有两个 钝角．故选Ｂ． 二、“三角形的一个外 角大于与它不相邻的任意一个内角”的应用 例２　如图１，在△ＡＢＣ中， ＡＤ为ＢＣ边上的中线，ＡＥ为ＢＤ 边上的中线，ＡＦ为 ＤＣ边上的 中线，则下列结论错误的是 （　　） Ａ．∠１＞∠２＞∠３＞∠Ｃ Ｂ．ＢＥ＝ＥＤ＝ＤＦ＝ＦＣ Ｃ．∠１＞∠４＞∠５＞∠Ｃ Ｄ．∠１＝∠３＋∠４＋∠５ 解：Ａ．由三角形外角的性质可得∠１＞∠２＞∠３ ＞∠Ｃ，故此选项正确，不合题意；Ｂ．因为 ＡＤ为 ＢＣ边 上的中线，ＡＥ为ＢＤ边上的中线，ＡＦ为ＤＣ边上的中线， 所以ＢＥ＝ＥＤ＝ＤＦ＝ＦＣ，故此选项正确，不合题意； Ｃ．无法得出∠４＞∠５＞∠Ｃ，故此选项错误，符合题 意；Ｄ．因为∠１＝∠２＋∠４，∠２＝∠５＋∠３，所以∠１ ＝∠３＋∠４＋∠５，故此选项正确，不合题意．故选Ｃ． 三、“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和”的应用 例３　（２０２３抚顺顺城区三 模）如图２，直线ａ∥ｂ，直线ｃ分 别交ａ，ｂ于点Ａ，Ｃ，点Ｂ在直线ｂ 上，ＡＢ⊥ ＡＣ．若 ∠１＝１３０°，则 ∠２的度数是 ． 解：因为ＡＢ⊥ＡＣ，所以∠ＢＡＣ＝９０°．因为∠１＝ １３０°，所以∠ＡＢＣ＝∠１－∠ＢＡＣ＝４０°．又因为直线ａ ∥ｂ，所以∠２＝∠ＡＢＣ＝４０°．故填４０°． 书 如图１，线段ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，连接 ＡＤ，ＢＣ，我们把 △ＡＯＤ和 △ＢＯＣ叫做“对顶三角形”．根据 三角形外角的性质，得 ∠ＢＯＤ＝ ∠Ａ＋∠Ｄ；∠ＢＯＤ＝∠Ｂ＋∠Ｃ，从 而有∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ａ＋∠Ｄ，这一 结论称为“对顶三角形”的性质． 利用这一结论可巧妙地解决一些数学问题，下面分 类探索它的应用，供同学们参考． 探索一：求角度 例１　如图２，∠α的度数是 （　　） Ａ．１０° Ｂ．２０° Ｃ．３０° Ｄ．４０° 分析：根据“对顶三角形” 的性质求解即可． 解：根据“对顶三角形”的性质，得∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ ＋∠Ｄ． 所以３０°＋２０°＝４０°＋∠α． 解得∠α＝１０°． 故选Ａ． 探索二：探索角之间的关系 例２　一副三角板如图３所 示摆放，则∠α与∠β的数量关 系为 （　　） Ａ．∠α＋∠β＝１８０° Ｂ．∠α＋∠β＝２２５° Ｃ．∠α＋∠β＝２７０° Ｄ．∠α＝∠β 分析：根据“对顶三角形”的性质和三角形外角的 性质即可得到结论． 解：如图 ４，∠Ａ＝１８０°－ ９０°－∠Ｆ＝６０°． 根据“对顶三角形”的性 质，得 ∠ＤＣＥ＋∠Ｄ ＝∠Ｆ＋ ∠ＥＧＦ． 由对顶角相等，得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． 根据三角形外角的性质，得∠ＡＣＢ＝∠α－∠Ａ． 所以∠α－∠Ａ＋∠Ｄ＝∠Ｆ＋１８０°－∠β． 化简，得∠α＋∠β＝２２５°． 故选Ｂ． 书 三角形内角和定理是初中数学的重要定理之一，常 常与平行线、角平分线、垂线等结合在一起考查．下面举 例加以说明，供同学们参考． 一、平行线 例１　（２０２３岳阳三模）将 一副直角三角板如图１放置，已 知∠Ｅ＝６０°，∠Ｃ＝４５°，ＥＦ∥ ＢＣ，则∠ＢＮＤ＝ （　　） Ａ．４５°　　　　　Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．１０５° 解析：根据直角三角形的性质可得 ∠Ｆ＝３０°，∠Ｂ ＝４５°，根据ＥＦ∥ＢＣ可得∠ＢＤＮ＝∠Ｆ＝３０°，最后根 据三角形内角和定理即可得解． 因为 ∠ＥＤＦ＝∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｅ＝６０°，∠Ｃ＝ ４５°，所以 ∠Ｆ＝３０°，∠Ｂ＝４５°．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＢＤＮ＝∠Ｆ＝３０°．所以 ∠ＢＮＤ＝１８０°－∠ＢＤＮ－ ∠Ｂ＝１０５°． 故选Ｄ． 二、角平分线 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ 中，ＣＤ平分 ∠ＡＣＢ．已知 ∠Ａ ＝７４°，∠Ｂ＝４６°，则 ∠ＢＤＣ 的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１０６° Ｂ．１０４° Ｃ．１３６° Ｄ．１３４° 解析：由三角形内角和定理可求得 ∠ＡＣＢ的度数， 再由角平分线的定义求得∠ＡＣＤ的度数，最后利用三角 形外角的性质即可得解． 因为∠Ａ＝７４°，∠Ｂ＝４６°，所以∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ－∠Ｂ＝６０°．因为ＣＤ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＣＤ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝３０°．所以∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝１０４°． 故选Ｂ． 三、垂线 例３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，点 Ｄ在 ＡＣ上，ＤＥ⊥ ＡＢ．若∠ＡＤＥ＝１２０°，则∠Ｂ的度 数为 ． 解析：根据三角形外角的性质 和三角形内角和定理即可得解． 设直线ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ．因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＡＦＤ ＝９０°．因为∠ＡＤＥ＝１２０°，所以∠Ａ＝∠ＡＤＥ－∠ＡＦＤ ＝３０°．因为∠Ｃ＝９０°，所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ｃ－∠Ａ＝ ６０°． 故填６０°． ) ! " $ * & % % & ! $&! #&! !&! * ) $ ! ! #&! $%! " ! ! # % ' + ) & $ ! #&! $%! " ! ! $ ! +, ( - """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " $ & ' % ! ) " ! # $ % ! . ' / 0 1 ) $ % & ! ! ! 23 456 ! ! " ! $ & ) , - . ) & # / $ ! # ! 0 $ ) / ! ' & ! " ! " ! 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＝５０°． 因 为 ∠ＰＦＭ ＝ ３２°， 所 以 ∠ＭＰＦ ＝ １８０°－∠ＰＭＦ－∠ＰＦＭ ＝９８°． 因 为 ＰＮ 平 分 ∠ＭＰＦ， 所 以 ∠ＮＰＭ ＝ １ ２∠ＭＰＦ＝４９°． 因为ＰＥ⊥ＣＤ， 所以∠ＥＰＭ＝９０° －∠ＰＭＥ＝４０°． 所 以 ∠ＮＰＥ ＝ ∠ＮＰＭ－∠ＥＰＭ＝９°． （２）因为 ∠ＰＭＦ ＝５０°， 所以当 △ＦＰＭ是 直角三角形时，存在两 种情况： ①当∠ＦＰＭ＝９０° 时， 因为初始状态时 ∠ＦＰＭ ＝９８°， 所以转动的角度 为：９８°－９０°＝８°． 所以转动的时间 为： ８° １０°＝ ４ ５（秒）． ②当∠ＰＦＭ＝９０° 时，∠ＦＰＭ ＝４０°． 因为初始状态时 ∠ＦＰＭ ＝９８°， 所以转动的角度 为：９８°－４０°＝５８°． 所以转动的时间 为： ５８° １０°＝ ２９ ５（秒）． 综上所述，当 ｔ为 ４ ５或 ２９ ５时，△ＦＰＭ是 直角三角形． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３汉寿期中）在一个直角三角形中，一个锐 角等于３５°，则另一个锐角的度数是 （　　） Ａ．３５° Ｂ．５５° Ｃ．６５° Ｄ．１２５° ２．如图１，已知∠Ｂ＝３５°，∠Ｃ＝ｙ°，∠ＢＡＤ＝ｘ°， 则ｙ与ｘ之间满足的关系式是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ＋５５ Ｂ．ｙ＝ｘ＋３５ Ｃ．ｙ＝１２５－ｘ Ｄ．ｙ＝ｘ－３５ ３．如图２，两根长度都为１２米的绳子，一端都系在 旗杆上的点 Ａ处，另一端分别固定在地面两个木桩上， 则两个木桩离旗杆底部的距离ＢＤ与ＣＤ的关系是 （　　） Ａ．ＢＤ＞ＣＤ Ｂ．ＢＤ＜ＣＤ Ｃ．ＢＤ＝ＣＤ Ｄ．无法确定 ４．如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＢＣ上，ＡＢ∥ ＤＥ，∠Ｂ＝７８°，∠Ｃ＝６０°，则∠ＥＤＣ的度数为 （　　） Ａ．４２° Ｂ．６０° Ｃ．７８° Ｄ．８０° ５．如图４，直线ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ，ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ， ＰＦ⊥ＣＤ于点Ｆ．若ＰＥ＝ＰＦ，且∠ＡＯＣ＝５０°，则∠ＥＯＰ 的度数为 （　　） Ａ．６５°　　　Ｂ．６０°　　　Ｃ．４５°　　　Ｄ．３０° ６．（２０２３郓城期末）在正方形网格中，网格线的交 点称为格点．如图５，已知Ａ，Ｂ是两格点，如果点Ｃ也是 格点，且使得△ＡＢＣ是等腰三角形，那么点Ｃ有（　　） Ａ．４个 Ｂ．６个 Ｃ．８个 Ｄ．１０个 ７．（２０２３万源期末）如图６，在△ＡＤＥ和△ＡＢＣ中， ∠Ｅ＝∠Ｃ，ＤＥ＝ＢＣ，ＥＡ＝ＣＡ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＤＥ，垂 足为点Ｆ，ＤＥ交ＣＢ的延长线于点Ｇ，连接ＡＧ．若四边形 ＤＧＢＡ的面积为６，ＡＦ＝ ３２，则ＦＧ的长是 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．６ ８．（２０２３昌黎期末）如图 ７，在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝ ２０°，点Ｄ在边ＡＣ上（图７－①），先将△ＡＢＤ沿着ＢＤ翻 折，使点Ａ落在点Ａ′处，Ａ′Ｂ交ＡＣ于点Ｅ（图７－②），再 将△ＢＣＥ沿着ＢＥ翻折，点Ｃ恰好落在ＢＤ上的点Ｃ′处， 此时∠Ｃ′ＥＢ＝６６°（图７－③），则∠ＡＢＣ的度数为 （　　） Ａ．６６° Ｂ．２３° Ｃ．４６° Ｄ．６９° 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图８，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＢＣ＝ＣＤ，∠１＝４０°， 则∠２＝ ． １０．（２０２３咸阳秦都区期中）已知ＡＢ∥ＣＤ，一副三 角尺按如图９所示放置，∠Ｇ＝∠ＦＥＨ＝９０°，∠ＧＥＦ＝ ４５°，∠Ｈ＝６０°．若 ∠ＡＥＧ＝２６°，则 ∠ＨＦＤ的度数为 ． １１．（２０２３沈阳铁西区期末）如图１０，等边三角形纸 片ＡＢＣ的边长为６，Ｅ，Ｆ是边ＢＣ上的三等分点．分别过 点Ｅ，Ｆ沿着平行于 ＢＡ，ＣＡ方向各剪一刀，则剪下的 △ＤＥＦ的周长是 ． １２．如图１１，点Ｄ在ＢＣ边上，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ ＢＣ交ＡＣ于点Ｆ，ＢＤ＝ＣＦ，ＢＥ＝ＣＤ．若∠ＡＦＤ＝１４５°， 则∠ＥＤＦ＝ ． １３．如图１２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ在ＡＢ上， 满足ＢＣ＝ＢＤ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ交ＡＣ于点Ｅ，△ＡＢＣ 的周长为３６，△ＡＤＥ的周长为１２，则ＢＣ＝ ． １４．（２０２３深圳南山区期中）如图１３，在△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝α，点Ｄ在ＢＣ的延长线上，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＤ的平 分线交于点 Ａ１，∠Ａ１ＢＣ和 ∠Ａ１ＣＤ的平分线交于点 Ａ２，…，∠Ａ２０２２ＢＣ和∠Ａ２０２２ＣＤ的平分线交于点Ａ２０２３，则 ∠Ａ２０２３ ＝ ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（２０２３伊通四模，１０分）如图１４，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｄ，且ＤＥ＝ＤＢ， 试判断△ＣＥＢ的形状，并说明理由． １６．（１０分）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＋∠Ｃ＝２∠Ａ，∠Ａ∶ ∠Ｂ＝４∶５，求△ＡＢＣ中各角的度数． １７．（１２分）如图１５，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交 ＢＣ于点Ｄ，Ｅ是ＡＢ上一点，∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ，ＣＥ交ＡＤ于 点Ｆ． （１）求证：ＥＦ＝ＣＦ； （２）若∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＢＣＥ＝２０°，求证：△ＢＣＥ是 等腰三角形． １８．（１２分）如图１６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°， 点Ｄ是ＣＢ延长线上一点，点Ｅ是线段ＡＢ上一点，连接 ＤＥ，ＡＣ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＢＥ． （１）求证：ＡＢ＝ＤＢ； （２）ＢＦ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｆ，点Ｇ是线段ＦＢ延 长线上一点，连接ＤＧ，点Ｈ是线段 ＤＧ上一点，连接 ＡＨ 交ＢＤ于点Ｋ，连接ＫＧ．当ＫＢ平分∠ＡＫＧ时，求证：ＡＫ＝                                                                                                                                                                 ＤＧ＋ＫＧ． 书 ５．５三角形内角和定理 ５．５．１三角形内角和定理 １．（２０２３淄博博山区期末）在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝ ５０°，∠Ｃ＝７０°，则∠Ｂ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．如图１，直线 ｌ１，ｌ２分别与 △ＡＢＣ的两边 ＡＢ，ＢＣ 相交，且ｌ１∥ｌ２．若∠Ｂ＝３５°，∠１＝１０５°，则∠２的度 数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．４０° Ｄ．６０° ３．（２０２３滨海月考）一个三角形三个内角度数之比 为１∶２∶３，则最大内角的度数是 ． ４．（２０２３东台月考）如图２，点 Ｅ，Ｄ分别在 ＡＢ，ＡＣ 上．若∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝５０°，则∠１＋∠２＝ °． ５．（２０２３林州期末）如图３，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ６０°，∠Ｃ＝８４°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，点Ｅ是边ＡＣ 上一点，且∠ＡＤＥ＝ １２∠Ｂ，求∠ＣＤＥ的度数． ６．（２０２３扬州邗江区月考）在一个三角形中，如果 一个内角是另一个内角的３倍，这样的三角形我们称之 为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为 ２５°，７５°， ８０°的三角形是“三倍角三角形”． （１）△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４０°，△ＡＢＣ是“三 倍角三角形”吗？为什么？ （２）若△ＡＢＣ是“三倍角三角形”，且 ∠Ｂ＝３０°， 求△ＡＢＣ中最大内角的度数． ５．５．２三角形外角的性质 １．（２０２３济南模拟）将一副三角板（含３０°，４５°的 直角三角形）如图１摆放，则∠１的度数是 （　　） Ａ．９０° Ｂ．１３５° Ｃ．１２０° Ｄ．１５０° ２．在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝ｘ°，∠Ｂ＝（２ｘ＋１０）°，与 ∠ＡＣＢ相邻的外角的度数为（ｘ＋４０）°，则ｘ的值为 （　　） Ａ．１５ Ｂ．２０ Ｃ．３０ Ｄ．４０ ３．（２０２３城固模拟）如图２，若 ∠Ａ＝２７°，∠Ｂ＝ ４５°，∠Ｃ＝３８°，则∠ＡＦＤ的度数为 ． ４．如图３，求证：∠ＢＯＣ＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ． ５．（２０２３盐城大丰区月考）如图４，在 △ＡＢＣ中， ∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°，△ＡＢＣ的外角∠ＢＣＤ的平分 线ＣＥ交ＡＢ的延长线于点Ｅ． （１）求∠ＢＣＥ的度数； （２）过点Ｄ作ＤＦ∥ＣＥ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，求 ∠Ｆ的度数． ６．（２０２３宜兴月考）如图 ５，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４５°，∠Ｃ ＝３０°，点 Ｄ在边 ＢＣ上．若 △ＡＣＤ是 直 角 三 角 形， 则 ∠ＢＤＡ的度数为 ． ５．６几何证明举例 １．如图１，在△ＡＢＣ中，直线ＢＤ垂直平分ＡＣ，∠Ａ ＝２０°，则∠ＣＢＤ的大小是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．（２０２３六盘水月考）如图２，ＢＥ＝ＣＦ，ＡＥ⊥ＢＣ， ＤＦ⊥ＢＣ，要根据“ＨＬ”证明Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ，则还 要添加一个条件是 （　　） Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＢ＝ＣＤ Ｃ．ＡＥ＝ＥＦ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｃ ３．（２０２３重庆沙坪坝区升学）如图 ３，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，交ＢＣ边于点Ｄ．已知△ＡＢＤ的 面积为３０，ＡＢ＝１５，则线段ＣＤ的长为 ． ４．（２０２３济南期中）如图４，ＡＣ⊥ ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ＝ＢＣ，ＣＥ⊥ ＡＢ，ＤＦ ⊥ＡＢ，垂足分别是点Ｅ，Ｆ．求证： （１）△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ； （２）ＣＥ＝ＤＦ． ５．（２０２３达州通州区期末）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， 点Ｄ为线段ＢＣ上的一个动点（不与点 Ｂ，Ｃ重合），以 ＡＤ为一边向ＡＤ的左侧作△ＡＤＥ，使ＡＤ＝ＡＥ，∠ＤＡＥ ＝∠ＢＡＣ，过点Ｅ作ＢＣ的平行线，交 ＡＢ于点 Ｆ，连接 ＢＥ． （１）如图 ５－①，若 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝６０°，则 △ＢＥＦ是 三角形； （２）若∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ≠６０°，如图５－②，当点Ｄ 在线段ＢＣ上移动时，判断△ＢＥＦ的形状，并说明理由． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ分别是 ∠ＢＡＤ，∠ＡＢＣ，∠ＢＣＤ，∠ＡＤＣ的平分线．求证：ＡＢ＋ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＣＤ＝ＡＤ＋ＢＣ． !" !" ! ! !" ! #$%"& '()*+,-./ !" #$ %& 012345!"!#!"$6 !"#$%&'()*+ %&!'(!)*')$+ !",-%&'()*+ %&!'(!)*'')! ! ! !"#$ 789:;<=>?@A !# . %&'( ! 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