第16期 5.1 定义与命题 5.2 为什么要证明 5.3 什么是几何证明 5.4 平行线的性质定理和判定定理（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 第一步、证明的定义 从已知条件出发，依据学过的定义、基本事实、定理 等，按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推 理，演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明．推理和 证明是有区别的，推理是证明过程的组成部分，一个证 明过程往往包含多个推理． 第二步、证明的结构 １．证明的基本结构是： 因为……（　　）， 所以……（　　）． “（　　）”里面写由因得果的依据，即“理由”． 例如，因为∠１和∠２是对顶角（已知）， 所以∠１＝∠２（对顶角相等）． 证明由“因”、“果”和“理由”三部分组成． ２．推理的形式有三种． （１）一因一果型． 上述的例子就是这种类型． （２）一因多果型． 如图１，因为ＡＤ∥ＢＣ（已知）， 所以∠１＝∠Ｂ（两直线平行， 同位角相等）， ∠２＝∠Ｃ（两直线平行，内错 角相等）． 这种类型的推理，在具体证明时应根据需要来选择 多个“果”中的某一个或某几个． （３）多因一果型． 例如，因为ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ（已知）， 所以ａ∥ｃ（平行于同一直线的两直线平行）． 这种类型的推理，必须多“因”都具备时，才能得出 “果”． 第三步、证明的步骤 证明的一般步骤如下： （１）根据题意，画出图形，即把命题中的文字语言 转化成图形语言．同时为了叙述的方便，还要在图上标 出必要的字母和符号． （２）根据条件和结论，结合图形，写出已知、求证， 这一步是向符号语言转化． （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明的过程．这一步是证明的核心．一般情况下，分析过 程不用写出来，只要求写出证明过程． 例　证明：两直线平行，内错 角的平分线互相平行． 已知：如图２，ＡＢ∥ ＣＤ，直线 ＭＮ交ＡＢ，ＣＤ于点Ｅ，Ｆ，过Ｅ，Ｆ两 点分别作∠ＢＥＦ，∠ＣＦＥ的角平分线ＥＨ，ＦＧ． 求证：ＦＧ∥ＥＨ． 分析：从结论出发，要证明ＦＧ∥ＥＨ，需证明内错角 ∠ＨＥＦ＝∠ＧＦＥ．从条件出发，由ＡＢ∥ＣＤ，可得∠ＢＥＦ ＝∠ＣＦＥ；由ＥＨ，ＦＧ分别是∠ＢＥＦ，∠ＣＦＥ的角平分线 可得∠ＨＥＦ＝∠ＧＦＥ． 证明：因为ＡＢ∥ＣＤ（已知）， 所以∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＥ（两直线平行，内错角相等）． 因为ＥＨ，ＦＧ分别是∠ＢＥＦ，∠ＣＦＥ的角平分线（已 知）， 所以∠ＨＥＦ＝１２∠ＢＥＦ，∠ＧＦＥ＝ １ ２∠ＣＦＥ（角平 分线的定义）． 所以∠ＨＥＦ＝∠ＧＦＥ（等量代换）． 所以ＦＧ∥ＥＨ（内错角相等，两直线平行）． 书 一、理解命题的定义 表示判断的语句叫做命题． 例１　下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？ （１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＞０； （２）如果∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°，那么∠Ａ与∠Ｂ互为补 角； （３）吸烟对身体有害； （４）画一个角； （５）对顶角； （６）内错角相等． 解：（１）（２）（３）（６）是命题，它们都指出了是什么 或不是什么，其中（３）不是数学范畴的命题．（４）（５）不 是命题，（４）只是描述一个过程，并没有作出判断，（５） 是一个几何名词． 二、识别真假命题 如果条件成立，那么结论一定成立的命题是真命 题；如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，即结论 不成立，这样的命题是假命题．判断一个命题是真命题 时，可以用演绎推理加以论证；而判断一个命题是假命 题时，只要举出一个符合该命题的条件，而不符合该命 题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反 例”． 例２　用下面图形中的∠１和∠２能说明“同位角 相等”是假命题的是 （　　） 解：Ａ选项，这两个角是内错角，故该选项不符合题 意；Ｂ选项，两直线不平行，同位角不相等，可以说明“同 位角相等”是假命题，故该选项符合题意；Ｃ选项，这两 个角是同旁内角，故该选项不符合题意；Ｄ选项，这两个 角不是同位角，故该选项不符合题意． 故选Ｂ． 三、区分条件与结论 命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知的 事项，结论是由已知事项推断出的事项．这样的命题可写 成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分 是条件，用“那么”开始的部分是结论．有些命题的条件和 结论不是很明显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成 “如果……，那么……”的形式，但在改写时，不能简单地 加上“如果”“那么”，应把省略的成分补充进去，即可改成 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 例３　指出下列命题的条件和结论． （１）同角的补角相等； （２）在同一平面内，两条直线不平行，它们一定相 交； （３）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行． 解：（１）命题可改写成：如果两个角是同一个角的 补角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的补 角；结论：这两个角相等． （２）条件：在同一个平面内，两条直线不平行；结 论：这两条直线一定相交． （３）条件：两条直线都与第三条直线平行；结论：这 两条直线也互相平行． 书 上期检测卷 一、１．Ａ；　２．Ｄ； ３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．Ｃ； ６．Ｄ；　７．Ｂ；　８．Ｃ． 二、９．１０℃；　１０．乙； １１．５８；　１２．９； １３．６； １４．１９５或４或 ２１ ５． 三、１５．这组数据的平 均数是９． １６．数据 ４，６，１０，２ｍ， ２ｎ的方差是１６． １７．甲的平均成绩为： ８５×７＋９０×３ ７＋３ ＝８６．５（分）； 乙的 平 均 成 绩 为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以 乙将被录取． １８．因为等腰三角形 的三边长度均为正整数， 且边长的众数是６，所以等 腰三角形的两腰长为６． 当６是最长边时，设最 短边为ｘ．因为最长边是最 短边的２倍，所以２ｘ＝６． 解得ｘ＝３．此时三角形的 周长是１５． 当６是最短边时，设最 长边为ｙ．因为最长边是最 短边的２倍，所以 ｙ＝１２． 此时不能构成三角形． 综上所述，这个三角 形的周长是１５． １９．（１）１１，７９，７８．８． （２）１１＋４＝１５（人）． １５＜１８，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝ １０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ， 总重不超． 所以这队运动员和这 ４位女士能一起安全地搭 乘这部电梯． ２０．何亮的成绩更稳 定．理由如下： 赵明在训练中排球垫 球个数的平均数为： １ ５ × （２５＋２３＋２７＋２９＋２１）＝ ２５，方差为：１５ ×［（２５－ ２５）２＋（２３－２５）２＋（２７－ ２５）２＋（２９－２５）２＋（２１－ ２５）２］＝８； 何亮在训练中排球垫 球个数的平均数为： １ ５ × （２４＋２５＋２３＋２６＋２７）＝ ２５，方差为：１５ ×［（２４－ ２５）２＋（２５－２５）２＋（２３－ ２５）２＋（２６－２５）２＋（２７－ ２５）２］＝２． 因为赵明、何亮的平 均成绩相同，但赵明成绩 的方差大于何亮成绩的方 差，所以何亮的成绩更稳 定． ２１．（１）８，７２． 书 １４期２版 ４．４数据的离散程度 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．乙． ４．（１）乙的平均成绩是：（８＋９＋８＋８＋７＋８＋９＋８＋８ ＋７）÷１０＝８（个）． （２）作图略．由统计图知甲的波动程度大于乙的波动程度． （３）乙，甲． ４．５方差 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．２；　４．３．６；　５．不变，变小． ６．（１）表格从左到右、从上到下依次填入８５，８５，８０． （２）初中代表队与高中代表队选手决赛成绩的平均数相 同，初中代表队选手决赛成绩的中位数高，故初中代表队的决 赛成绩较好． （３）初中代表队选手决赛成绩的方差为：１５×［（７５－８５） ２ ＋（８０－８５）２＋２×（８５－８５）２＋（１００－８５）２］＝７０； 高中代表队选手决赛成绩的方差为： １ ５ ×［（７０－８５） ２＋ （７５－８５）２＋（８０－８５）２＋２×（１００－８５）２］＝１６０． 因为７０＜１６０，所以初中代表队选手的成绩较为稳定． ４．６用计算器计算平均数和方差 基础训练　１．Ｃ；　２．２９０，１６０．７． ３．ｘ甲 ＝ １ １０×（７６＋７４＋７５＋７４＋７６＋７４＋７７＋７３＋７６ ＋７５）＝７５（ｇ），ｓ２甲 ＝ １ １０×［（７３－７５） ２＋３×（７４－７５）２＋２ ×（７５－７５）２＋３×（７６－７５）２＋（７７－７５）２］＝１．４； ｘ乙 ＝ １ １０×（７５＋７３＋７９＋７２＋７６＋７５＋７３＋７５＋７８＋ ７４）＝７５（ｇ），ｓ２乙 ＝ １ １０×［（７２－７５） ２＋２×（７３－７５）２＋（７４ －７５）２＋３×（７５－７５）２＋（７６－７５）２＋（７８－７５）２＋（７９－ ７５）２］＝４．４． 因为甲、乙的平均数一样，甲的方差比乙的方差小，所以甲 更稳定．故外贸公司应该选购甲厂家的产品． １４期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ 二、９．１０；　１０．小林；　１１．４．８；　１２．０．５；　１３．６或 －２； １４．５． 三、１５．（１）表格从左到右、从上到下依次填８，８，９． （２）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳 定，所以选择甲参加射击比赛． （３）变小． １６．该班应该选择甲参加学校的展示活动．理由如下： 甲的平均成绩为： １ ６ ×（１２．１＋１２．１＋１２．０＋１１．９＋１１．８ ＋１２．１）＝１２，方差为：１６×［３×（１２．１－１２） ２＋（１２．０－１２）２ ＋（１１．９－１２）２＋（１１．８－１２）２］＝ １７５； 乙的平均成绩为： １ ６ ×（１２．２＋１２．０＋１１．８＋１２．０＋１２．３ ＋１１．７）＝１２，方差为：１６×［（１２．２－１２） ２＋２×（１２．０－１２）２ ＋（１１．８－１２）２＋（１２．３－１２）２＋（１１．７－１２）２］＝１３３００． 因为１２＝１２，１７５＜ １３ ３００， 所以该班应该选择甲参加学校的展示活动． １７．（１）八（１）班的平均成绩是：１５×（８０＋８０＋９０＋８０＋ １００）＝８６（分）；八（２）班的平均成绩是：１５×（８０＋１００＋９５＋ ７０＋８５）＝８６（分）． （２）八（１）班成绩的中位数是８０分，八（２）班成绩的中位 数是８５分．因为八（１），（２）班的平均成绩相同，且８０＜８５，所 以八（２）班的竞赛成绩较好． （３）八（１）班竞赛成绩的方差是：１５ ×［３×（８０－８６） ２＋ （９０－８６）２＋（１００－８６）２］＝６４，且６４＜１１４，所以八（１）班的 成绩较为稳定． １８．（１）设ｘ１－ａ，ｘ２－ａ，…，ｘｎ－ａ的平均数为ｘ′，方差为 ｓ′２．所以ｘ′＝ １ｎ［（ｘ１－ａ）＋（ｘ２－ａ）＋… ＋（ｘｎ－ａ）］＝ｘ－ ａ．所以ｓ′２ ＝ １ｎ｛［（ｘ１－ａ）－（ｘ－ａ）］ ２＋［（ｘ２－ａ）－（ｘ－ ａ）］２＋… ＋［（ｘｎ－ａ）－（ｘ－ａ）］２｝＝ １ ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ ｘ）２＋… ＋（ｘｎ－ｘ）２］＝ｓ２．所以对任意实数ａ，ｘ１－ａ，ｘ２－ａ， …，ｘｎ－ａ的方差与ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的方差相同． （２）ｓ２ ＝ １ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ）２＋… ＋（ｘｎ－ｘ）２］＝ １ ｎ［（ｘ ２ １＋ｘ２２＋… ＋ｘ２ｎ）－２（ｘ１＋ｘ２＋… ＋ｘｎ）ｘ＋ｎｘ２］＝ １ ｎ［（ｘ ２ １＋ｘ２２＋… ＋ｘ２ｎ）－２×ｎｘ·ｘ＋ｎｘ２］＝ １ ｎ［（ｘ ２ １＋ｘ２２＋ … ＋ｘ２ｎ）－ｎｘ２］＝ １ ｎ（ｘ ２ １＋ｘ２２＋… ＋ｘ２ｎ）－ｘ２． （３）由（１）知将这１０个数都减去１７０，得 －１，２，－７，３，５， －２，０，－３，０，１．所以ｘ＝ １１０×（－１＋２－７＋３＋５－２＋０－ ３＋０＋１）＝－０．２．由（２），得ｓ２＝１１０×［（－１） ２＋２２＋（－７）２ ＋３２＋５２＋（－２）２＋０２＋（－３）２＋０２＋１２］－（－０．２）２ ＝ １０．１６．因为对任意实数ａ，ｘ１－ａ，ｘ２－ａ，…，ｘｎ－ａ的方差与ｘ１， ｘ２，…，ｘｎ的方差相同，所以这组数据的方差是１０．１６． 附加题　（１）Ｂ． （２）因为ｓ２Ｂ＝［３×（１９．９－２０）２＋５×（２０－２０）２＋（２０．１ －２０）２＋（２０．２－２０）２］÷１０＝０．００８，所以ｓ２Ａ ＞ｓ２Ｂ．在平均数 相同的情况下，Ｂ的波动性小，所以Ｂ的成绩好些． （３）从图中折线走势可知，尽管Ａ的成绩前面起伏较大，但 后面逐渐稳定，误差小，预测Ａ的潜力大，可选派Ａ去参赛（答案 不惟一，合理即可）． 书 一、用来说明一个概念含义的语句叫做这个概念的 定义． 例１　下列语句中，属于定义的是 （　　） Ａ．两点确定一条直线 Ｂ．同角或等角的余角相等 Ｃ．三角形两边之和大于第三边 Ｄ．点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 解析：定义能将被定义的事物或名词与其他事物或 名词区分开来，而Ａ，Ｂ，Ｃ都没有分别对直线、同位角、线 段作出定义． 故选Ｄ． 点悟：（１）定义的一般结构形式是“特征加范围”， 要避免使用含糊不清的术语，定义一般不使用否定的形 式； （２）定义的叙述形式是“……叫做……”，其中“叫 做”前面的部分是被定义项，后面部分是定义项； （３）定义帮助我们理解并记忆这个概念区别于其 他概念的本质属性． 二、经过推理得到证实的真命题叫做定理． 例２　判断下列语句是不是定理． （１）延长ＡＢ到点Ｃ； （２）锐角与钝角互为补角； （３）若ａ＞ｂ，则ａ２ ＞ｂ２； （４）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距 离相等． 解析：（１）中没有对事物作出判断，不是命题； （２）中作出了判断，但这个判断是错误的，例如锐 角与钝角分别为３０°和１００°，它们并不互补，所以它是 假命题； （３）中也作出了判断，但这个判断也是错误的，例 如ａ＝１，ｂ＝－２，则ａ＞ｂ，ａ２＝１，ｂ２＝４，但ａ２＞ｂ２不 成立，所以它也是假命题； 故（１）（２）（３）都不是定理． （４）不仅作出了判断，而且判断是正确的，所以它 是真命题，也是定理． 点悟：（１）假命题是命题，不可认为假命题不是命题； （２）定理是经过证明的真命题，假命题一定不是定理． 书 判断一个命题的真 假，只要能举出一个反例， 就可以说明它是假命题． 所谓反例，就是举出一个 例子，使它具备命题的条 件，而不符合命题的结论， 也就是说明某个命题不成 立的例子．由于反例在否 定一个命题时具有特殊的 威力，因此我们在学习数 学的过程中要会举反例， 那么，怎样来举反例呢？我 们可以采用下面的三种方 法： 方法１：用文字语言 例１　判断下列命题 的真假． （１）一个数的倒数等 于它本身的数不是０，就是 １； （２）一个三角形不是 锐角三角形，就是钝角三 角形． 解析：本题我们只要找出一个反例即可判断出命 题的真假． （１）－１的倒数也等于它本身，故此命题不正确， 是假命题； （２）直角三角形既不是锐角三角形，也不是钝角 三角形，故此命题不正确，是假命题． 方法２：用图形 例２　下列判断是否正确？若正确，请说明理由；若 不正确，请举出反例． （１）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三 角形全等； （２）有两边及其一角对应相等的两个三角形全 等． 解析：我们只要画出一个反例图形即可判断真假． （１）不正确．反例：如图１，在△ＡＢＣ和△ＡＢ′Ｃ中， ＡＣ＝ＡＣ，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ，高ＡＨ＝ＡＨ，但这两个三角形不全 等． （２）不正确．反例：如图２，在△ＡＢＣ和△ＡＢＣ′中， ＡＢ＝ＡＢ，ＡＣ＝ＡＣ′，∠Ｂ＝∠Ｂ，但这两个三角形不全 等． 方法３：用数据 例３　下列命题中是真命题的有 （　　） （１）如果ａ＞ｂ，ｂ＞ｃ，那么ａ＝ｃ； （２）如果ａ２ ＝ｂ２，那么ａ＝ｂ； （３）如果ｘ＞０，那么｜ｘ｜＝ｘ； （４）如果ｘ２ ＝４，那么ｘ＝２． Ａ．１个　　　　　　　Ｂ．２个 Ｃ．３个　　　　　　　Ｄ．４个 解析：（１）不正确，如３＞２，２＞１，但１≠３； （２）不正确，如（－２）２ ＝２２，但 －２≠２； （３）正确； （４）不正确，ｘ２ ＝４，则ｘ＝±２． 所以真命题只有１个． 故选Ａ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ ! " ! ! " !" #$% ! " % " $ ! # & ' ( ) * " &' ()* # $ " ! " ! " ! " ! % & ! ! '(! +,-./ 01234!"#$%&'()%*&'+,-$( '(" 56789: 01234./01,234( '()67;<=9: 01234!"5660789:%;<=>6? @AB,CDEF(<"7GA01,HIJK7LM NOPEF( '(*>?@ABC+DEF++D 01234QRSTU,4V#<WX##<P YZ#<[\]^_`D[abcd,efgh( " GH I J !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "! ' $ ! " ! ! !! $ ! " ! " " K G L M N " # ! " #! !!"# " $"% !" !"#$ !"#$%&' !"#$%&'" ()*+,-'. % ! OPQ0RSTUVWX $% Y ()*+ Z[\ "])^P_` !abcd0ef !abdghijklmn !abdopqrstuvew QDxyz{|^ y}4~€ ‚ƒ„…†|^‡ˆ4%+!*,-.-./Z0̀ & '( ~€ ) & '( ‰Š‹ ) # * +, #Œ€ ) & '(  Ž ) & '( I  -+./0, #  12./0, ‘’“ *34/5, ” • *3467( –—˜ Š™š ( › œž Ÿ   ¡¢: ‰£¤ Ÿ¥’ ¦ — §¨ž ©ª («¬ ­«® ‰¯ °P ±²› ³ : ´µ¶ Š·¸ 80-+( ( ¹ 809:( H ž ;<-+( ‰ º =>-+, » ¼ ?@AB, ½¾¿ #Àx&Á&^ ( #­Å|^ #zÆÇÈÉ4-)'!,'".!"'1 #ÀxÊË4!aÌÍÎϝÐÑÒÓÔ !)" ÕQDxyOPQ0z{Ç #Ö×zØ4-)---1 #ÏÙÇÚxÛ@4-)'!!'".!!"' -)'!!'".!").ZkÜ` #ÚÝ4Þ-ÀxÏÙÇËßàáâãäÖåZæ` #Ö×ÚÝÛ@4!!!2' #çèéêÚëìÚíîÚ #ÀxïáâãÌZÏ`Wgðñòx #óôqrõç9Õ4!*----*---!!- #óôÇÈö4-)'!!'".!"'' #Àx÷øùúûklüýstþvZÿ!Ï"#Ñ$%&'(ij) !! Õ`*ü]+sü,C-./]Þ-ÀxÏÙÇËß/0 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３揭阳二模）下列句子中，是命题的是 （　　） Ａ．你的作业完成了吗 Ｂ．美丽的天空 Ｃ．带根号的数都是无理数 Ｄ．过直线ｌ外一点作ｌ的平行线 ２．（２０２３翁源期末）如图１，已知ａ∥ｂ，∠１＝４５°， 则∠２＝ （　　） Ａ．３５° Ｂ．４５° Ｃ．５５° Ｄ．６５° ３．（２０２３顺平期末）如图２，在同一平面内，经过直 线ｌ外一点Ｏ的４条直线中，与直线ｌ相交的直线至少有 （　　） Ａ．４条 Ｂ．３条 Ｃ．２条 Ｄ．１条 ４．（２０２３中江期末）下列选项中，能说明命题“两个 锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是 （　　） Ａ．∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝６０° Ｂ．∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝９０° Ｃ．∠Ａ＝４０°，∠Ｂ＝５０° Ｄ．∠Ａ＝４０°，∠Ｂ＝１００° ５．三个连续自然数的和一定是 （　　） Ａ．５的倍数 Ｂ．３的倍数 Ｃ．奇数 Ｄ．偶数 ６．（２０２３上海虹口区期末）下列各图中，已知∠１＝ ∠２，则可以得到ＡＢ∥ＣＤ的是 （　　） ７．（２０２３西安雁塔区模拟）如图３，ＡＥ是位于公路 边的电线杆，为了使拉线 ＣＤＥ不影响汽车的正常通行， 电力部门在公路的另一边直立了一根水泥撑杆 ＢＤ，用 于撑起拉线．已知测得∠ＢＣＤ＝６０°，∠ＣＤＥ＝１５５°，则 ∠ＡＥＤ的大小为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．５５° Ｃ．４５° Ｄ．３０° ８．如图４，∠ＭＡＮ＝５２°，过射线ＡＭ上一点Ｃ作ＣＰ ∥ＡＮ，ＣＢ平分∠ＡＣＰ，依次作出∠ＢＣＰ的平分线ＣＢ１， ∠Ｂ１ＣＰ的平分线ＣＢ２，…，∠Ｂｎ－１ＣＰ的平分线ＣＢｎ，其中 点Ｂ，Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ－１，Ｂｎ都在射线ＡＮ上．若∠ＰＣＢｎ＝１° 时，则ｎ的值为 （　　） Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２３上杭期末）命题“内错角相等”的条件是 ，结论是 ． １０．（２０２３光山三模）如图５，已知∠ＣＢＤ＝９０°．若 ∠ＡＢＣ＝３６°，ＡＢ∥ＥＦ，则∠ＤＦＥ的度数是 ． １１．（２０２３漳平期末）如图６，已知直线ＥＦ⊥ＭＮ，垂 足为点Ｆ，且∠１＝１３８°，则当∠２＝ 时，ＡＢ∥ ＣＤ． １２．（２０２３泰州期末）下列命题：①全等三角形的对 应角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等边三角 形是锐角三角形；④如果点Ｐ（ｘ，ｙ）在第一象限，那么点 Ｐ的坐标满足 ｘｙ＞０，其中逆命题是真命题的是 （填序号）． １３．（２０２３通榆期末）如图７是超市里购物车的侧面 示意图，扶手ＡＢ与车底ＣＤ平行，∠２比∠３大１０°，∠１ 是∠２的２０１１倍，则∠２的度数是 ． １４．（２０２３鹤峰期末）如图８，△ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，点Ｄ在 边ＯＡ上，将图中的△ＣＯＤ绕点Ｏ按每秒１０°的速度沿 顺时针方向转动一周，在转动的过程中，在第 秒时，边ＣＤ恰好与边ＡＢ平行． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（２０２３确山期中，１２分）将下列命题改写成“如 果……，那么 ……”的形式，并判断它们是真命题还是 假命题，如果是假命题，请举出一个反例． （１）两个角的和等于１８０°，这两个角互为补角； （２）异号两数相加等于零； （３）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． １６．（２０２３临清期末，８分）如图９，已知 ＡＢ∥ ＥＦ， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ，试判断ＢＣ和ＤＥ的位置关系，并说明 理由． １７．（２０２３寻乌期末，１０分）如图１０，ＡＤ平分∠ＢＡＣ 交ＢＣ于点Ｄ，点Ｆ在ＢＡ的延长线上，点Ｅ在线段ＣＤ上， ＥＦ与ＡＣ相交于点Ｇ，∠ＢＤＡ＋∠ＣＥＧ＝１８０°． （１）ＡＤ与ＥＦ平行吗？请说明理由． （２）若点Ｈ在ＦＥ的延长线上，且∠ＥＤＨ＝∠Ｃ，则 ∠Ｆ与∠Ｈ相等吗？请说明理由． １８．（２０２３黔西南州期末，１４分）如图１１，ＡＤ∥ＢＣ， ＡＨ⊥ＢＧ于点Ｈ，点Ｃ在射线ＢＧ上，点Ｅ在线段ＡＢ上， ∠ＤＣＥ＝９０°，且ＤＣ∥ＡＢ，ＣＦ⊥ＢＧ于点Ｃ，交直线ＡＤ 于点Ｆ． （１）图中与∠Ｄ相等的角有 个； （２）若∠ＥＣＦ＝２５°，求∠ＢＣＤ的度数； （３）在（２）的条件下，点Ｃ（不与点Ｂ，Ｈ重合）从点 Ｂ出发，沿射线ＢＧ的方向移动，其他条件不变，求∠ＢＡＦ 的度数                                                                                                                                                                 ． 书 ５．１定义与命题 １．下列句子中，不是命题的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．直线ＡＢ垂直于ＣＤ吗 Ｂ．若｜ａ｜＝｜ｂ｜，则ａ２ ＝ｂ２ Ｃ．两直线平行，同位角相等 Ｄ．同角的余角相等 ２．（２０２３邢台襄都区月考）下列命题，不是基本事 实的是 （　　） Ａ．两点确定一条直线 Ｂ．两点之间线段最短 Ｃ．三边分别相等的两个三角形全等 Ｄ．同角的补角相等 ３．（２０２３河北模拟）能说明“相等的角是对顶角” 是假命题的一个反例是 （　　） ４．（２０２３西丰期末）下列命题是真命题的是 （　　） Ａ．２７８的立方根是 ± ３ ２ Ｂ．已知ａ，ｂ，ｃ是实数，若ａ＜ｂ，则ａｃ２≤ｂｃ２ Ｃ．若点Ｎ（ｍ－１，ｍ＋２）在ｘ轴上，则ｍ＝１ Ｄ．若∠１和∠２是同旁内角，则∠１＋∠２＝１８０° ５．（２０２３林州期末）将命题“在同一平面内，垂直 于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果 ……，那么……”的形式为 ． ６．如图，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，点Ｅ在 边ＢＤ上．从下面①②③中选取两个 作为已知条件，另一个作为结论，构 成一个命题，判断该命题的真假，并 加以验证． ①∠Ａ＝∠Ｄ；②ＢＡ＝ＢＤ；③ＡＥ＝ＤＣ． 你选择的已知条件是 ，结论是 （填序号）． ５．２为什么要证明 １．通过观察，你能肯定的是 （　　） Ａ．图形中线段是否相等 Ｂ．图形中线段是否相交 Ｃ．图形中线段是否平行 Ｄ．图形中线段是否垂直 ２．如图，从 Ａ地到 Ｂ地有 两条路可走，一条路是大半 圆，另一条路是４个小半圆．有 一天，一只猫和一只兔子同时 从Ａ地到Ｂ地．兔子见猫沿着大半圆行走，它便沿着 ４个小半圆行走．假设猫和兔子行走的速度相同，那么 下列结论正确的是 （　　） Ａ．猫先到达Ｂ地 Ｂ．兔子先到达Ｂ地 Ｃ．猫和兔子同时到达Ｂ地 Ｄ．无法确定 ３．（２０２３福州长乐区模拟）已知ａ，ｂ，ｃ是不完全相 等的任意实数，ｘ＝ａ－ｂ＋ｃ，ｙ＝ａ－ｂ－２ｃ，ｚ＝－２ａ＋ ２ｂ＋ｃ，则关于ｘ，ｙ，ｚ的值，下列说法正确的是 （　　） Ａ．都大于０ Ｂ．都小于０ Ｃ．至少有一个大于０ Ｄ．至多有一个大于０ ４．在学习中，小明发现：当ｎ＝１，２，３时，ｎ２－６ｎ的 值都是负数．于是小明猜想：当ｎ为任意正整数时，ｎ２－ ６ｎ的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的 理由． ５．３什么是几何证明 １．已知：如图 １，△ＡＢＣ 中，ＡＣ⊥ ＢＣ，Ｆ是边 ＡＣ上的 点，连接ＢＦ，作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ 于点Ｅ，过点Ｅ作ＤＥ⊥ＥＦ交 ＢＦ于点Ｄ． 求证：∠１＋∠２＝１８０°． 补充完成下面证明过程，并填上适当的推理依据． 证明：因为ＡＣ⊥ＢＣ（已知）， 所以∠Ｃ＝９０°（垂直的定义）． 因为ＥＦ∥ＢＣ（已知）， 所以∠ＡＦＥ＝ ＝９０°（　　　　）． 因为ＤＥ⊥ＥＦ（已知）， 所以∠ＤＥＦ＝９０°（垂直的定义）． 所以∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＦ（等量代换）． 所以 ∥ （　　　　）． 所以∠２＝∠ＥＤＦ（　　　　）． 又因为∠ＥＤＦ＋∠１＝１８０°（补角的定义）， 所以∠１＋∠２＝１８０°（等量代换）． ２．如图２，ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＥ平分 ∠ＡＯＣ，ＯＦ 平分∠ＤＯＢ．求证：ＯＥ与ＯＦ在同一条直线上． ５．４平行线的性质定理和判定定理 １．（２０２３莒南期中）下列说法正确的是 （　　） Ａ．在同一平面内，ａ，ｂ，ｃ是直线，且ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则 ａ∥ｃ Ｂ．在同一平面内，ａ，ｂ，ｃ是直线，且ａ⊥ｂ，ｂ⊥ｃ，则 ａ⊥ｃ Ｃ．在同一平面内，ａ，ｂ，ｃ是直线，且ａ∥ｂ，ｂ⊥ｃ，则 ａ∥ｃ Ｄ．在同一平面内，ａ，ｂ，ｃ是直线，且ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则 ａ⊥ｃ ２．（２０２３抚远期中）如图１，已知ＡＢ∥ＣＤ，∠ＣＤＥ ＝１４０°，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．６５° Ｃ．５０° Ｄ．４０° ３．（２０２３伊川模拟）如图２，直线ａ，ｂ被直线ｃ，ｄ所 截，下列条件中能说明ａ∥ｂ的是 （　　） Ａ．∠１＝∠２ Ｂ．∠２＋∠４＝１８０° Ｃ．∠３＝∠４ Ｄ．∠１＋∠４＝１８０° ４．（２０２３张家口宣化区期中）如图３表示钉在一起 的木条ａ，ｂ，ｃ，已知测得∠１＝５０°，∠２＝７５°．要使木 条ａ∥ｂ，木条ａ至少要沿箭头方向转动 °． ５．（２０２３凤翔期中）如图４，已知ＡＢ∥ＤＥ，且∠Ｃ ＝１１０°，则∠１与∠２的数量关系为 ． ６．（２０２３武汉东西湖区期 中）如图 ５，有一长方形纸片 ＡＢＣＤ，Ｅ为ＢＣ上一点，将纸片 沿ＡＥ折叠，Ｂ点落在长方形纸 片外的Ｆ点．若 ∠ＣＢＤ＝３６°， ＡＦ ∥ ＢＤ， 则 ∠ＢＡＥ ＝ °． ７．（２０２３临汾期末）如图６，已知 ＡＤ∥ ＢＣ，ＢＤ∥ ＡＥ，ＤＥ平分∠ＡＤＢ，且ＥＤ⊥ＣＤ．若∠ＢＥＤ＝２∠ＡＥＤ， 且∠ＢＥＤ＝３０°，求∠Ｃ的度数． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） （２０２３高碑店期末）如图，ＡＢ∥ＣＤ，点Ｐ在直线ＡＢ 上，作∠ＢＰＭ＝５０°，交ＣＤ于点Ｍ，点Ｆ是直线ＣＤ上的 一个动点，连接ＰＦ，ＰＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，ＰＮ平分∠ＭＰＦ． （１）若点 Ｆ在点 Ｅ的左侧且 ∠ＰＦＭ ＝３２°，求 ∠ＮＰＥ的度数； （２）将射线ＰＦ从（１）中的位置开始以每秒１０°的 速度绕点 Ｐ逆时针转动至 ＰＭ的位置，转动的时间为 ｔ秒，求当ｔ为何值时，△ＦＰＭ是直角三角形 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （２）小明的说法错误． 理由如下： 本次调查中平均每周 家务劳动时长的中位数是 ３．５ｈ． 因为小明平均每周家 务劳动时长是３．６ｈ，比中 位数大，所以他做家务劳 动的时长超过一半的人． （３）本次调查中，获奖 的学生有：５０－５－８－１５ ＝２２（名）． １ ５００ × ２２５０ ＝ ６６０（名） 答：获奖的学生约有 ６６０名． ２２．（１）①８，８，１．５６． ②八年级竞赛成绩的 众数为７分，方差为１．８８， 九年级竞赛成绩的众数为 ８分，方差为１．５６，又因为 两个年级竞赛成绩的平均 数相同，九年级竞赛成绩 波动小，所以应该给九年 级颁奖． （２）八年级的获奖率 为：（１０＋７＋１１）÷５０＝ ５６％； 九年级的获奖率为： （１４＋１３＋６）÷５０＝６６％． 因为６６％ ＞５６％， 所以九年级的获奖率 高． ２３．（１）ａ ＝６，ｂ＝ ４．７，ｃ＝４．７５． （２） 若 选 择 众 数 ４．７ｋｇ，这３００箱大枣共损 坏了：３００×（５－４．７）＝ ９０（千克）； 若选择平均数或中位 数４．７５ｋｇ，这３００箱大枣 共 损 坏 了：３００ ×（５ － ４．７５）＝７５（千克）． （３）若选择众数，１０× ５×３００÷（３００×５－９０）≈ １０．６４（元），所以至少定价 １０．７元才不亏本； 若选择平均数或中位 数，１０×５×３００÷（３００×５ －７５）≈１０．５３（元），所以 至少定价 １０．６元才不亏 本． ２４．（１）１４４．乙车间 ４月份工资为５千元的有： １０－５－２－１＝２（名）．补 图略． （２）由扇形统计图，得 甲车间员工工资为４千元、 ５千元、６千元、７千元、８千 元的员工分别有１名、２名、 ４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平 均工资为： １ １０×（４×１＋５ ×２＋６×４＋７×２＋８×１） ＝６（千元）， 方差为： １ １０×［（４－ ６）２＋２×（５－６）２＋４×（６ －６）２＋２×（７－６）２＋（８ －６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６， 所以甲车间员工的工 资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工 工资的中位数为： ６＋６ ２ ＝ ６（千元）． 因为甲车间员工工资 低于６千元的有３名，不低 于６千元的有７名， 所以新数据的中位数 小于原来甲车间工资的中 位数，所以ｎ的最小值为：７ －３＝４． 所以当这４名员工工 资低于６千元，且是较高工 资时，这４名员工的工资和 取得最大值． 所以这４名员工的工 资分别为 ４千元、４千元、 ５千元、５千元． 所以这４名员工的工 资和的最大值为：４＋４＋５ ＋５＝１８（千元）．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