第18期 第15章小结与复习（参考答案见复习专号15版）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书书书 １８． （１０ 分 ） 如 图 １３ － ① ，在 Ｒ ｔ△ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，点 Ｄ 为 △ ＡＢＣ 外 一 点 ，且 ＢＤ ＝ ＢＣ ，∠ Ｄ ＢＣ ＝ ３０°，连 接 ＡＤ ． （１ ） 若 ＢＣ ＝ ４ ，则 Ｄ 到 ＢＣ 边 的 距 离 为 ； （２ ） 小 明 在 图 １３ － ① 的 基 础 上 ，以 ＡＢ 为 对 称 轴 构 造 △ ＡＢＤ 的 轴 对 称 图 形 △ ＡＢＥ ，得 到 图 １３ － ② ，连 接 ＣＥ ，请 判 断 △ ＢＣＥ 的 形 状 ，并 证 明 你 的 结 论 ． １９． （１０ 分 ） 定 义 ：一 个 三 角 形 ，若 过 一 个 顶 点 的 线 段 将 这 个 三 角 形 分 为 两 个 三 角 形 ，其 中 一 个 是 直 角 三 角 形 ，另 一 个 是 等 腰 三 角 形 ，则 称 这 个 三 角 形 是 等 直 三 角 形 ，这 条 线 段 叫 做 这 个 三 角 形 的 等 直 分 割 线 段 ． （１ ） 如 图 １４ ，已 知 Ｒ ｔ△ ＡＢＣ 中 ，∠ Ｃ ＝ ９０°，Ｄ Ｅ 是 ＡＢ 的 垂 直 平 分 线 ， 请 说 明 ＡＤ 是 △ Ａ ＢＣ 的 一 条 等 直 分 割 线 段 ； （２ ） 若 △ ＡＢＣ 是 一 个 等 直 三 角 形 ， 恰 好 有 两 条 等 直 分 割 线 段 ，∠ Ｂ 和 ∠ Ｃ 均 小 于 ４５°．求 证 ：△ ＡＢＣ 是 等 腰 三 角 形 ． ２０． （１２ 分 ） 在 等 腰 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，Ｄ 为 ＡＢ 上 一 点 ，Ｅ 为 ＣＤ 的 中 点 ． （１ ） 如 图 １５ ，连 接 ＡＥ ，作 ＥＨ ⊥ ＡＣ．若 ＡＤ ＝ ２ＢＤ ，Ｓ △ ＢＤ Ｃ ＝ ６ ，ＥＨ ＝ ２ ， 求 ＡＢ 的 长 ； （ ２ ） 如 图 １６ ，Ｆ 为 ＡＣ 上 一 点 ， 连 接 ＢＦ ，ＢＥ． 若 ∠ ＢＡＣ ＝ ∠ ＡＢＥ ＝ ∠ ＣＢＦ ，求 证 ：ＢＤ ＋ ＣＦ ＝ ＡＢ （ 提 示 ： 延 长 ＢＥ 构 造 全 等 三 角 形 ）． ２１． （１４ 分 ） 如 图 １７ ，△ ＡＢＣ ，△ ＣＤ Ｅ 都 是 等 边 三 角 形 ，ＡＤ ，ＢＥ 相 交 于 点 Ｏ ，点 Ｍ ，Ｎ 分 别 是 线 段 ＡＤ ，ＢＥ 的 中 点 ． （１ ） 求 证 ：ＡＤ ＝ ＢＥ ； （２ ） 求 ∠ Ｄ Ｏ Ｅ 的 度 数 ； （ ３ ） 求 证 ：△ Ｍ Ｎ Ｃ 是 等 边 三 角 形 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-./01234567 !"# 8 %&!' 8 ()9+,-./01:34567 ! ! " ! " # $ ! " # $ % ! " " % $ # ! ! # ! % $ # & ' ( " ! ! ! $ # ) ! % $ " # % * ! $ " ! ! % ! ! & ! " # $ % & ' ( ) * ! % + , 书 上期３版 一、１．Ｂ；　２．Ａ； ３．Ｄ；　４．Ｃ； ５．Ｃ；　６．Ｂ； ７．Ｂ；　８．Ｄ． 二、９．答案不惟一， 如ＯＤ＝ＯＣ； １０．１５０°； １１．１０； １２．９０°． 三、１３．图略（提示： 作线段 ＡＣ的垂直平分 线以及作∠ＢＡＣ的平分 线，两线的交点即为水 站Ｐ的位置）． １４．因为ＤＥ⊥ＡＢ， ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠Ｅ＝ ∠ＤＦＣ ＝ ９０°． 在 Ｒｔ△ＢＤＥ和 Ｒｔ△ＣＤＦ 中，因为 ＢＤ＝ＣＤ， ＢＥ＝ＣＦ{ ，所 以 Ｒｔ△ＢＤＥ ≌ Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）． 所 以 ＤＥ＝ＤＦ．所以ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ． １５．过点Ｄ作ＤＦ⊥ ＡＣ于点 Ｆ，图略．在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＤ ＝４， ∠Ｂ＝３０°，所以 ＤＥ＝ １ ２ＢＤ＝２．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ中∠ＢＡＣ的平分 线，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， 所以ＤＦ＝ＤＥ＝２．因 为Ｓ△ＡＣＤ ＝７，所以 １ ２× ２ＡＣ＝７．解得ＡＣ＝７． １６．（１）因为ＡＢ∥ ＣＤ， 所 以 ∠ＡＣＤ ＋ ∠ＣＡＢ ＝１８０°．因为 ∠ＡＣＤ ＝１１４°，所以 ∠ＣＡＢ＝６６°．由作法 知，ＡＭ是∠ＣＡＢ的平分 线． 所 以 ∠ＭＡＢ ＝ １ ２∠ＣＡＢ＝３３°． 书 线段的垂直平分线和 角的平分线是考试中的 “常客”，利用这“两线”的 性质可以帮助同学们解决 很多问题，下面选取几例 加以剖析，供同学们参考． 一、线段的垂直平分 线 例 １　 如 图 １，在 △ＡＢＣ中，ＤＥ是 ＡＣ的垂 直平分线，且分别交 ＢＣ， ＡＣ于点 Ｄ和 Ｅ，∠Ｂ ＝ ６０°，∠Ｃ＝２５°，则 ∠ＢＡＤ ＝ （　　） Ａ．５０°　　　Ｂ．７０° Ｃ．７５° Ｄ．８０° 解：因为ＤＥ是ＡＣ的垂直平分线，所以ＤＡ＝ＤＣ． 所以∠ＤＡＣ＝∠Ｃ＝２５°． 因为∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ＝２５°，所以∠ＢＡＣ＝９５°． 所以∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ＝７０°． 故选Ｂ． 二、角的平分线 例 ２　 如图 ２，点 Ｐ是 △ＡＢＣ的三个内角平分线的交 点．若△ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ， 面积为３６ｃｍ２，则点Ｐ到边ＢＣ 的距离是 ｃｍ． 解：过点Ｐ作 ＰＤ⊥ ＡＢ于 点Ｄ，ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，如图２． 因为点Ｐ是△ＡＢＣ的三个内角平分线的交点， 所以ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＰＢ ＋Ｓ△ＢＰＣ ＋Ｓ△ＡＰＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ ＋１２ＢＣ·ＰＥ＋ １ ２ＡＣ·ＰＦ＝ １ ２ＰＥ·（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ） ＝ １２ＰＥ×２４＝３６．解得ＰＥ＝３． 故填３． 三、线段的垂直平分线与角的平分线“联姻” 例３　如图３，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ边的垂直平分线 ＰＱ 与△ＡＢＣ的外角平分线交于 点Ｐ，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．若ＢＣ＝ ６，ＡＣ＝４，则ＣＥ的长度是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解：连接ＰＡ，ＰＢ，如图３． 因为ＣＰ是∠ＢＣＥ的平分线，ＰＤ⊥ＢＣ，ＰＥ⊥ＡＣ， 所以ＰＤ＝ＰＥ． 在Ｒｔ△ＣＤＰ和Ｒｔ△ＣＥＰ中， 因为ＣＰ＝ＣＰ，ＰＤ＝ＰＥ， 所以Ｒｔ△ＣＤＰ≌Ｒｔ△ＣＥＰ（ＨＬ）．所以ＣＤ＝ＣＥ． 因为ＰＱ是线段ＡＢ的垂直平分线，所以ＰＡ＝ＰＢ． 在Ｒｔ△ＡＥＰ和Ｒｔ△ＢＤＰ中， 因为ＰＡ＝ＰＢ，ＰＥ＝ＰＤ， 所以Ｒｔ△ＡＥＰ≌Ｒｔ△ＢＤＰ（ＨＬ）．所以ＡＥ＝ＢＤ． 所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝ＡＣ＋ＣＥ＋ＣＤ＝６． 所以ＣＥ＝ＣＤ＝ １２（ＢＣ－ＡＣ）＝１． 故选Ａ． 书 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的 距离和等于一腰上的高． 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｐ是底边 ＢＣ上任意一点， ＰＥ⊥ＡＣ，ＰＦ⊥ＡＢ，点Ｅ，Ｆ为垂足，ＢＨ为腰ＡＣ上的高． 求证：ＰＥ＋ＰＦ＝ＢＨ． 在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ可能为锐角、直角或钝角，因此 可画出三种图形，如图１，图２和图３． 下面就锐角三角形的情形给出证明． 证明：方法１：如图４，过点 Ｐ作 ＰＫ ⊥ＢＨ，垂足为点Ｋ． 因为ＰＥ⊥ＡＣ，ＢＨ⊥ＡＣ，所以四边 形ＰＥＨＫ为长方形，ＰＥ＝ＫＨ．因为 ＡＢ ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．因为 ＰＫ⊥ ＢＨ，ＡＣ⊥ＢＨ，所以 ＰＫ∥ ＡＣ．所以 ∠ＢＰＫ＝∠Ｃ＝ ∠ＦＢＰ．因为 ∠ＢＦＰ＝∠ＰＫＢ＝９０°，ＢＰ＝ＰＢ，所以 △ＢＦＰ≌△ＰＫＢ（ＡＡＳ）．所以ＰＦ＝ＢＫ．所以ＰＥ＋ＰＦ＝ ＫＨ＋ＢＫ＝ＢＨ． 方法２：如图５，连接ＡＰ． 因为Ｓ△ＡＢＰ ＋Ｓ△ＡＣＰ ＝ １ ２ＡＢ·ＰＦ＋ １ ２ＡＣ·ＰＥ＝ １ ２ＡＣ·（ＰＦ＋ＰＥ），Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ＡＣ·ＢＨ，又因为 Ｓ△ＡＢＰ ＋Ｓ△ＡＣＰ ＝ Ｓ△ＡＢＣ，所以 １ ２ＡＣ·（ＰＦ＋ＰＥ）＝ １ ２ＡＣ·ＢＨ．化简，得 ＰＥ＋ＰＦ＝ＢＨ． 注：当△ＡＢＣ为直角三角形或钝角三角形时，也可 以用类似的方法证得结论成立． 书 数学思想不仅是数学知识的精髓，更是数学的生命 和灵魂．在学习轴对称时，既要注重基础知识的掌握，又 要注意数学思想的挖掘和应用． 一、转化思想 例１　如图１，已知△ＡＢＣ是等腰 直角三角形，ＡＣ＝ＢＣ＝４，∠ＢＣＤ＝ １５°，Ｐ为ＣＤ上的动点，求｜ＰＡ－ＰＢ｜ 的最大值． 分析：要求｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值， 只需求出当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时 ＡＢ的 长度，利用轴对称以及等腰直角三角 形的性质进而求解． 解：作点Ａ关于ＣＤ的对称点Ａ′，连接Ａ′Ｃ，Ａ′Ｂ交ＣＤ 于点Ｐ′，此时Ａ′，Ｂ，Ｐ′三点共线，｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值 即Ａ′Ｂ的长度． 因为△ＡＢＣ是等腰直角三角形，ＡＣ＝ＢＣ＝４，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°．由题意知，ＣＤ垂 直平分ＡＡ′，所以ＡＣ＝Ａ′Ｃ．所以ＢＣ＝Ａ′Ｃ．因为∠ＢＣＤ ＝１５°，所以∠ＡＣＤ＝７５°．所以∠ＡＣＡ′＝１５０°，∠ＣＡＡ′ ＝∠ＣＡ′Ａ＝１５°．所以∠Ａ′ＣＢ＝６０°．所以△Ａ′ＢＣ是等 边三角形．所以Ａ′Ｂ＝ＢＣ＝４，即｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值 为４． 二、方程思想 例 ２　 如 图 ２， 在 △ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的一 点，且ＡＢ＝ＡＣ＝ＣＤ，ＢＤ＝ ＡＤ，求∠ＢＡＣ的度数． 分析：要求∠ＢＡＣ的度 数，已知条件中并没有涉及任何角的度数，但分析可知， 通过设未知数，利用三角形的内角和定理与平角的定义 即可列方程求解． 解：设∠Ｂ＝ｘ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＡＤ， 所以∠Ｃ＝∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ｘ． 所以∠ＡＤＣ＝Ｂ＋∠ＤＡＢ＝２ｘ． 因为ＡＣ＝ＣＤ， 所以∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＣ＝２ｘ． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝３ｘ． 在△ＡＢＣ中，由三角形的内角和定理，得３ｘ＋ｘ＋ｘ ＝１８０°． 解得ｘ＝３６°． 所以３ｘ＝１０８°，即∠ＢＡＣ＝１０８°． ! % + # " * ) % ! ! # + # " * , ) % ! ! -. /01 # ! " ! +" * ) % # ! ' % +" * !")# % ) ! #+" * ! ! # $ " ! ! ( ! 23 456 ! # +! + " !! $ ! ! ! 7 8 / 9 : ! ! # $ % ! " % + " $ # - ! ! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ; !" <=>?'( @(ABC!"!"#$%&'()*+,-./ 0)*+,123456" #".70)*+,189:;<=>?12@ A<BC56" ! " #! !!!" " $"% !" ()'#&*+'")( !"#$%&'" ()*+,-'. !"#$ !"#$%&' ()* + !DE ( +"#$%, #" $ ! + ! ( % * !FG (H" +IJ, K8LMN@OP K8LNQRSTUVWX K8LNYZ[\]^_`Oa bcdefgh+ eiCjkl mnopqrh+s*C,-!#.)$)$/!0, ) *+ jkl , ) *+ tuv , # - .+ /wl , ) *+ x y , ) *+ z { -./01+ / | 23/01+ /}~ -4506+  € -4578+ ‚ƒ u„… † ‡ ˆ=‰ Š ‹ ŒŽ t Š‘} ’ ‚ “”‰ •–k †9— ˜9™ tkš ›{I œ‡ ž Ž Ÿ ¡ u0¢ 91-.+ ƒ £ 91:;+ /¤¥ <=-.+ t ¦ >?-.+ 4 § @ABC+ ¨©ª 书 （２）由作法知 ＡＭ 平 分 ∠ＣＡＢ， 所 以 ∠ＣＡＭ ＝∠ＭＡＢ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＭＡＢ ＝∠ＣＭＡ．所以 ∠ＣＡＭ ＝∠ＣＭＡ．因为 ＣＮ⊥ ＡＭ，所 以 ∠ＡＮＣ ＝ ∠ＭＮＣ．在 △ＡＣＮ和 △ＭＣＮ 中， 因 为 ∠ＣＡＮ＝∠ＣＭＮ， ∠ＡＮＣ＝∠ＭＮＣ， ＣＮ＝ＣＮ { ， 所 以 △ＡＣＮ ≌ △ＭＣＮ（ＡＡＳ）． １７．ＯＥ ＋ ＯＦ ＝ ２ＯＤ．理由如下： 过点Ｐ作ＰＧ⊥ＯＢ 于点 Ｇ，图略．所以 ∠ＦＧＰ＝９０°．因为 ＰＧ ⊥ＯＢ，ＰＤ⊥ＯＡ，ＯＣ平 分 ∠ＡＯＢ，所以 ＰＤ ＝ ＰＧ，∠ＥＤＰ＝９０°．因为 ∠ＰＥＯ ＋ ∠ＰＦＯ ＝ １８０°，∠ＰＦＯ ＋∠ＰＦＧ ＝１８０°，所以∠ＰＥＯ＝ ∠ＰＦＧ．在 △ＰＥＤ和 △ＰＦＧ 中， 因 为 ∠ＰＥＤ＝∠ＰＦＧ， ∠ＥＤＰ＝∠ＦＧＰ， ＰＤ＝ＰＧ { ， 所 以 △ＰＥＤ ≌ △ＰＦＧ（ＡＡＳ）．所以 ＤＥ ＝ＧＦ．在 Ｒｔ△ＰＯＤ和 Ｒｔ△ＰＯＧ 中， 因 为 ＯＰ＝ＯＰ， ＰＤ＝ＰＧ{ ， 所 以 Ｒｔ△ＰＯＤ ≌ Ｒｔ△ＰＯＧ（ＨＬ）． 所 以 ＯＤ＝ＯＧ．所以 ＯＥ＋ ＯＦ＝ＯＤ＋ＤＥ＋ＯＦ＝ ＯＤ＋ＧＦ＋ＯＦ＝ＯＤ＋ ＯＧ＝２ＯＤ． 附加题　（１）过点 Ｅ作ＥＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ， ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，ＥＧ⊥ ＡＣ于点 Ｇ，图略．因为 ∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分 线交于点Ｅ，所以ＥＤ＝ ＥＦ＝ＥＧ．所以点 Ｅ在 ∠Ａ的平分线上． （２）连接 ＡＥ，图 略．由（１），得ＥＤ＝ＥＦ ＝ＥＧ＝４．因为△ＡＢＣ 的面积为３６，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＥ＋Ｓ△ＢＣＥ＋Ｓ△ＡＣＥ ＝１２ＡＢ·ＥＦ＋ １ ２ＢＣ· ＥＤ ＋ １２ＡＣ· ＥＧ ＝ １ ２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）×４ ＝３６．解得 ＡＢ＋ＢＣ＋ ＡＣ＝１８．所以△ＡＢＣ的 周长是１８． 书 上期２版 １５．４角的平分线 １５．４．１角平分线的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　４．３或５； ５．１２． ６．过点Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，图略． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＣ， 所以ＤＭ ＝ＤＥ＝５，Ｓ△ＡＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＤＥ＝１５． 所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＭ ＝４０． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＤ ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝５５． 因为ＡＦ是△ＡＢＣ的中线， 所以Ｓ△ＡＣＦ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ ＝２７．５． 所以Ｓ△ＡＤＦ ＝Ｓ△ＡＣＦ －Ｓ△ＡＣＤ ＝１２．５． 能力提高　７．因为ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ， 所以∠ＤＰＥ＝∠ＢＡＤ，∠ＤＰＦ＝∠ＣＡＤ． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． 所以∠ＤＰＥ＝∠ＤＰＦ． 所以点Ｄ到ＰＥ和ＰＦ的距离相等． １５．４．２角平分线的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．５６°． ４．图略． ５．过点Ｏ作ＯＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，图略． 因为ＢＤ是△ＡＢＣ的一条角平分线，ＯＭ⊥ＡＢ，ＯＥ ⊥ＢＣ， 所以ＯＥ＝ＯＭ． 由题意知ＯＥ＝ＯＦ，ＯＦ⊥ＡＣ， 所以ＯＭ ＝ＯＦ． 所以点Ｏ在∠ＢＡＣ的平分线上． ６．（１）过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，图略． 因为∠Ｂ＝９０°，所以ＥＢ⊥ＡＢ． 因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以ＢＥ＝ＦＥ． 因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＢＥ＝ＣＥ． 所以ＣＥ＝ＦＥ． 因为∠Ｃ＝９０°，所以ＥＣ⊥ＣＤ． 所以ＤＥ平分∠ＡＤＣ． （２）因为ＥＦ⊥ＡＤ，所以∠ＡＦＥ＝∠ＤＦＥ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＡＦＥ中，因为 ＡＥ＝ＡＥ， ＢＥ＝ＦＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＡＦＥ（ＨＬ）． 所以ＡＢ＝ＡＦ． 在Ｒｔ△ＤＣＥ和Ｒｔ△ＤＦＥ中，因为 ＤＥ＝ＤＥ， ＣＥ＝ＦＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＤＣＥ≌Ｒｔ△ＤＦＥ（ＨＬ）． 所以ＤＣ＝ＤＦ． 所以ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＦ＋ＤＦ＝ＡＤ． 能力提高　７．点Ｍ． ８．（１）因为ＥＦ⊥ＡＢ，∠ＡＥＦ＝５０°， 所以∠ＦＡＥ＝４０°． 因为∠ＢＡＤ＝１００°， 所以∠ＣＡＤ＝１８０°－∠ＢＡＤ－∠ＦＡＥ＝４０°． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＤ于点Ｇ，ＥＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 图略． 因为∠ＦＡＥ＝∠ＤＡＥ＝４０°，ＥＦ⊥ＢＦ，ＥＧ⊥ＡＤ， 所以ＥＦ＝ＥＧ． 因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＥＦ⊥ＢＦ，ＥＨ⊥ＢＣ， 所以ＥＦ＝ＥＨ． 所以ＥＧ＝ＥＨ． 所以ＤＥ平分∠ＡＤＣ． （３）因为Ｓ△ＡＣＤ ＝１５，所以 １ ２ＡＤ·ＥＧ＋ １ ２ＣＤ·ＥＨ ＝１５，即 １２×４ＥＧ＋ １ ２×８ＥＨ＝１５． 解得ＥＧ＝ＥＨ＝ ５２． 所以ＥＦ＝ ５２． 所以Ｓ△ＡＢＥ ＝ １ ２ＡＢ·ＥＦ＝ １ ２×７× ５ ２ ＝ ３５ ４． !"# !$"%&'( 书 专题一　轴对称图形 １．中华文明是一种独特的文明，其汉字也是非常 独特的．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下 面４个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．爱 Ｂ．国 Ｃ．敬 Ｄ．业 ２．已知点Ａ（ａ－１，３）与点Ｂ（２，－２ｂ－１）关于ｘ轴 对称，则２ａ＋ｂ＝ ． ３．如图１，画出下列图形的所有对称轴． ４．为美化校园，学校准备在如图２所示的一个圆形 空地上修建花坛，现在征集设计方案，要求设计的方案 由圆和三角形组成（圆和三角形的个数不限），并使整 个圆形场地成轴对称图形，请你在图上画出你设计的 方案． 专题二　等腰三角形 １．已知等腰三角形的两边长分别是ｍ，ｎ．若ｍ，ｎ满 足｜ｍ－８｜＋（ｎ－４）２ ＝０，那么它的周长是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．１６或２０ Ｄ．２０ ２．在等腰△ＡＢＣ中，如果过顶角顶点Ａ的一条直线 ＡＤ将△ＡＢＣ分割成两个等腰三角形，那么∠ＢＡＣ＝ （　　） Ａ．９０° Ｂ．１０８° Ｃ．９０°或１０８° Ｄ．无法确定 ３．如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝８，ＡＤ，ＣＥ分别 是△ＡＢＣ的两条中线，ＣＥ＝６，Ｐ是ＡＤ上一动点，则ＢＰ ＋ＥＰ的最小值是 ． ４．如图２是４×４的正方形网格，每个小正方形的 顶点称为格点，且边长为１，点Ａ，Ｂ均在格点上，在网格 中建立平面直角坐标系．如果点Ｃ也在此４×４的正方 形网格的格点上，且△ＡＢＣ是等腰三角形，请写出一个 满足条件的点Ｃ的坐标 ，满足条件的点Ｃ一共 有 个． ５．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ为线段ＢＣ上的一个 动点（不与点Ｂ，Ｃ重合），以ＡＤ为一边向ＡＤ的左侧作 △ＡＤＥ，使ＡＤ＝ＡＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，过点Ｅ作ＢＣ的平 行线，交ＡＢ于点Ｆ，连接ＢＥ． （１）如图 ３－①，若 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝６０°，则 △ＢＥＦ是 三角形； （２）若∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ≠６０°，如图３－②，当点Ｄ 在线段ＢＣ上移动时，判断△ＢＥＦ的形状，并说明理由． 专题三　垂直平分线与角平分线 １．如图１，在△ＡＢＣ中，直线 ＢＤ垂直平分 ＡＣ，∠Ａ ＝２０°，则∠ＣＢＤ的大小是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．如图２，在等边△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ上任意一点，过 点Ｄ作 ＤＥ⊥ ＡＢ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ ＡＣ于点 Ｆ，ＢＧ平分 ∠ＡＢＣ，ＧＨ⊥ ＢＣ于点 Ｈ．若 ＤＥ＋ＤＦ＝４，则 ＧＨ＝ ． ３．如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＡＢ，∠Ｂ＋∠Ｄ ＝１８０°．求证：ＣＡ平分∠ＢＣＤ． ４．如图 ４，在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝９０°，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＡＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，交ＢＥ于点Ｇ，ＡＤ平分∠ＭＡＣ， 交ＢＣ于点Ｄ，交ＢＥ于点Ｆ．求证：线段ＢＦ垂直平分线 段 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＡＤ． !"#$%&'()*+ #$%!&%'(!')* !",-%&'()*+ #$%!&%'(!!'% ! ! !"#$ )&*+,-./012345%(6 !" 7 ! ' ! ! ! " # $ % & # & " ' ! $ ! $ # &" ' ! $ ! " ! $ # & ! " ! " ( ' $ ) & # ! " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 89 + :;<9= 2>?@ABCD5E !%%( ! ! ! " * + ! ' ! , " ! ! &! &! " # & ! ! ! !FG!H"%&'( IJKL( 书书书 《 轴 对 称 图 形 与 等 腰 三 角 形 》 章 节 检 测 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 ９０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一 、 精 心 选 一 选 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 得 分 答 案 二 、 细 心 填 一 填 得 分 　 １１ ． ； 　 　 　 １２ ． ； 　 １３ ． ； 　 　 　 １４ ． ； 　 １５ ． ． 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 １０ 小 题 ， 每 小 题 ４ 分 ， 共 ４０ 分 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 下 列 交 通 标 志 图 案 ，是 轴 对 称 图 形 的 是 （ 　 　 ） ２． 如 图 １， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ，Ａ Ｄ ⊥ ＢＣ ，且 ＢＣ ＝ ４， 则 ＢＤ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ ．４ ３． 如 图 ２， 由 正 六 边 形 和 正 三 角 形 组 成 的 图 形 为 轴 对 称 图 形 ， 该 图 形 的 对 称 轴 的 条 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ ．４ ４． 如 图 ３， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，已 知 点 Ｄ 在 ＢＣ 上 ，且 ＢＤ ＋ ＡＤ ＝ ＢＣ ，则 点 Ｄ 在 （ 　 　 ） Ａ ．Ａ Ｃ 的 垂 直 平 分 线 上 Ｂ． ∠ ＢＡ Ｃ 的 平 分 线 上 Ｃ． ＢＣ 的 中 点 处 Ｄ ．Ａ Ｂ 的 垂 直 平 分 线 上 ５． 有 一 条 笔 直 的 河 流 ｌ， 牧 马 人 从 Ｐ 地 出 发 ，到 河 边 Ｍ 处 饮 水 ， 然 后 到 Ｑ 地 ，现 有 如 下 四 种 方 案 ，则 牧 马 人 行 走 路 径 最 短 的 是 （ 　 　 ） ６． 如 图 ４， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｂ Ｄ 平 分 ∠ ＡＢ Ｃ， 点 Ｅ 在 ＢＣ 的 垂 直 平 分 线 上 ．若 ∠ Ａ ＝ ６０ °， ∠ ＡＢ Ｄ ＝ ２４ °， 则 ∠ ＡＣ Ｅ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．４ ８° Ｂ． ５ ０ ° Ｃ． ５５ ° Ｄ ．６ ０° ７． 如 图 ５， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｂ Ｄ 平 分 ∠ ＡＢ Ｃ， ＥＤ ∥ ＢＣ ．已 知 ＡＢ ＝ ３， ＡＤ ＝ １， 则 △ ＡＥ Ｄ 的 周 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ ．５ ８． 如 图 ６， 四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＤ ，点 Ｂ 关 于 ＡＣ 的 对 称 点 Ｂ′ 恰 好 落 在 ＣＤ 上 ．若 ∠ ＢＡ Ｄ ＝ α， 则 ∠ ＡＣ Ｂ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．４ ５° Ｂ． α － ４５ ° Ｃ． １ ２ α Ｄ ．９ ０ ° － １ ２ α ９． 如 图 ７， 等 边 △ ＡＢ Ｄ 中 ，点 Ｅ 为 ＡＤ 边 上 一 点 ，Ｂ Ｃ ＝ Ｄ Ｃ， 连 接 ＣＥ ，Ｃ Ｅ 与 ＢＤ 交 于 点 Ｆ， 且 ＣＥ ∥ ＡＢ ．若 ＡＢ ＝ ８， ＣＥ ＝ ６， 则 ＣＦ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ ．４ １０ ．如 图 ８， 四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＢＣ ＋ ＡＤ ， ∠ Ｃ ＝ ５２ °， 且 ∠ ＡＤ Ｂ ＋ ∠ ＣＢ Ｄ ＝ １８ ０° ，则 ∠ Ａ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．７ ６° Ｂ． ５２ ° Ｃ． ３８ ° Ｄ ．２ ４ ° 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ５ 小 题 ， 每 小 题 ４ 分 ， 共 ２０ 分 ） １１ ．如 图 ９ 所 示 的 ４ 组 图 形 中 ，左 、右 两 个 图 形 成 轴 对 称 的 是 （ 填 序 号 ） ． １２ ．在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，点 Ａ（ － ２， － ３） 关 于 ｙ轴 对 称 的 点 Ｂ 的 坐 标 是 ． １３ ． △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ， ∠ Ａ ＝ ∠ Ｃ， 则 ∠ Ｂ ＝ °． １４ ．如 图 １０ ， △ ＡＢ Ｃ 的 边 ＣＢ 关 于 ＣＡ 的 对 称 线 段 是 ＣＢ ′， 边 ＣＡ 关 于 ＣＢ 的 对 称 线 段 是 ＣＡ ′， 连 接 ＢＢ ′， 点 Ａ′ 落 在 ＢＢ ′ 所 在 的 直 线 上 ， ∠ ＡＢ Ｂ′ ＝ ５ ６ °， 则 ∠ ＡＣ Ｂ ＝ °． １５ ．在 等 边 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｅ 是 ∠ ＡＢ Ｃ 的 平 分 线 上 一 点 ， ∠ ＡＥ Ｂ ＝ １０ ５° ， 点 Ｐ 在 △ ＡＢ Ｃ 的 边 上 ．若 ＡＥ ＝ ＥＰ ， 则 ∠ ＡＥ Ｐ 的 度 数 为 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 ６ 小 题 ， 共 ６０ 分 ） １６ ．（ ６ 分 ） △ ＡＢ Ｃ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 １１ 所 示 ， 网 格 中 小 正 方 形 的 边 长 为 １ 个 单 位 长 度 ． （ １） 将 △ ＡＢ Ｃ 沿 ｘ 轴 方 向 向 右 平 移 ７ 个 单 位 长 度 ，再 向 下 平 移 ６ 个 单 位 长 度 后 得 到 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ ，请 画 出 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ ； （ ２） 将 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 关 于 ｘ 轴 对 称 得 到 △ Ａ ２ Ｂ ２ Ｃ ２ ，请 画 出 △ Ａ ２ Ｂ ２ Ｃ ２ ． １７ ．（ ８ 分 ） 如 图 １２ ，在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｄ Ｅ 垂 直 平 分 ＢＣ ，分 别 交 ＢＣ ，Ａ Ｂ 于 点 Ｄ ， Ｅ， 连 接 ＣＥ ，Ｂ Ｆ 平 分 ∠ ＡＢ Ｃ， 交 ＣＥ 于 点 Ｆ． 若 Ｂ Ｅ ＝ ＡＣ ， ∠ ＡＣ Ｅ ＝ １２ °， 求 ∠ ＥＢ Ｆ 的 度 数 ． + M N O P Q R S !"#$%&!' ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 ! " # 8 % & ! ' 8 ( ) 9 + , - . / 0 1 : 3 4 5 6 7 ! $ " ! # & ! " ! " # & $ ! % ! " # & $ ! ( ! " # & ' $ , - . / ! ' ! ) # " ! " ! & ! ! ! " # & ! * # " & ! - ) % . - ) % . , - . / - ) % . - ) % . ! " # $ ! 0 , # ! " * + ! ! ! # & ' ! $ " ! ! ' ! ! # !" ! " # ! ! ":;TUT% 1 "VZ[\% "]^_`aX#$%!&%'(!'%) ":;bcXdefghijklmno !$'E*p;q)&*+]^_ "rs]tX#$###) "iu_v;wxX#$%!#%'(!!'% #$%!#%'(!'$(!yz( "v{X|}:;iu_c~J€‚rƒI„( "rsv{wxX!!!*% "…†‡ˆv‰Šv‹Œv ":;J€f!i(1Ž‘; "’“”•–…—EX!"####"###!!# "’“_`aX#$%!#%'(!'%% ":;˜™š›œyžŸ ¡¢£I¤¥i¦§l¨©ªM«.¬­ !! E(®žH¯ ž°±²³9H|}:;iu_c~´µ ! ! ' " & / # ' ( $