第07讲 圆锥曲线中的离心率问题（高阶拓展、竞赛适用）（7类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第07讲 圆锥曲线中的离心率问题 （高阶拓展、竞赛适用） （7类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第12题,5分 求双曲线的离心率 无 2024年新I卷，第16题,15分 求椭圆的离心率 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达走理求参数 2023年新I卷，第5题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 由椭圆的离心率求参数的取值范围 无 2023年新I卷，第16题,5分 利用定义解决双曲线中集点三角形问题 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 无 2022年全国甲卷（文科）， 第11题,5分 根据离心率求椭圆的标准方程 根据a、b、c求椭圆标准方程 2022年全国甲卷（理科）， 第10题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 已知两点求斜率 2022年全国乙卷（理科）， 第11题,5分 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 用和、差角的正弦公式化简、求值 正弦定理解三角形 2022年新I卷，第16题,5分 根据离心率求楠圆的标准方程 椭圆中焦点三角形的周长问题 2021年全国乙卷（理科）， 第11题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 根据二次函数的最值或值域求参数 2021年全国甲卷（理科）， 第5题,5分 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分 【备考策略】1.理解离心率的定义及对曲线的影响 2.能用定义法求离心率 3.能用文中其他方法快速求解离心率 4.能求解离心率的相关最值问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 知识讲解 1、 椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2、 双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 考点一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（全国·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 4．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; 5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·二模）如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于 ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 考点二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 1. 已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为) A. B. C. D. 2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为 A． B． C． D． 5．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2024·山东菏泽·高三统考）设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 . 考点三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率 1．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为 A． B． C． D． 2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A．1 B． C． D．2 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点四、斜率乘积求离心率 1．（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点五、余弦定理求离心率 1．（2021·全国·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．或 C．或 D．或 1．（2024·湖南长沙·二模）已知，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点六、构造齐次方程求离心率 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（    ）    A． B． C． D． 考点七、离心率的范围及最值问题 1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（北京·高考真题）椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 1．（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 6．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）椭圆的左顶点为，点均在上，且点关于点轴对称，若直线均存在斜率，且斜率之积为，记的离心率为，则（     ）. A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 三、填空题 10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 . 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 7．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·陕西西安·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为 ． 9．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 10．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 1．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 3．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 4．（2022·全国·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 7．（全国·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 8．（全国·高考真题）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 9．（重庆·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 10．（天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 11．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（福建·高考真题）已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆锥曲线中的离心率问题 （高阶拓展、竞赛适用） （7类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第12题,5分 求双曲线的离心率 无 2024年新I卷，第16题,15分 求椭圆的离心率 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达走理求参数 2023年新I卷，第5题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 由椭圆的离心率求参数的取值范围 无 2023年新I卷，第16题,5分 利用定义解决双曲线中集点三角形问题 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 无 2022年全国甲卷（文科）， 第11题,5分 根据离心率求椭圆的标准方程 根据a、b、c求椭圆标准方程 2022年全国甲卷（理科）， 第10题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 已知两点求斜率 2022年全国乙卷（理科）， 第11题,5分 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 用和、差角的正弦公式化简、求值 正弦定理解三角形 2022年新I卷，第16题,5分 根据离心率求楠圆的标准方程 椭圆中焦点三角形的周长问题 2021年全国乙卷（理科）， 第11题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 根据二次函数的最值或值域求参数 2021年全国甲卷（理科）， 第5题,5分 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分 【备考策略】1.理解离心率的定义及对曲线的影响 2.能用定义法求离心率 3.能用文中其他方法快速求解离心率 4.能求解离心率的相关最值问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 知识讲解 1、 椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2、 双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 考点一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 3．（全国·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率． 【详解】由已知可得， ，故选D． 【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混． 4．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. 5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解. 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，， 因此， 又椭圆的离心率， 故选：A. 2．（2024·安徽·模拟预测）双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一条渐近线过点得，代入即可求解． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 将点代入中，得， 故离心率， 故选：A． 3．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 4．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值. 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 5．（2024·山东·二模）如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于 ． 【答案】/. 【分析】由等边三角形性质可得，然后由双曲线的定义可得的关系，即可求得离心率. 【详解】因为是等边三角形，点是的中点，则， 又，所以， 因为点在双曲线上，所以， 所以． 故答案为： 6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即可求解. 【详解】设椭圆的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，． 因为椭圆的离心率为，所以在直角三角形中，，故，． 故选：D 考点二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 1. 已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为) A. B. C. D. 2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，         故离心率e＝选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为，，则， 是等腰三角形，， ，， 由正弦定理即，解得， 双曲线过点，由双曲线的定义可得， 解得离心率， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手： （1）根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值； （2）已知条件构造出，，的等式或不等式，结合化出关于，的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围. 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 2．（2023·北京·校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由题意可得：， 因为，整理得. 故选：D. 4．（2024·山东菏泽·高三统考）设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 . 【答案】. 【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，， 由椭圆的定义可得，，又， 在△中，由勾股定理可得：，即， ， 故答案为：. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目. 考点三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率 1．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知 |AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为,所以 ，所以 . 2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有 ① 再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ② 由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，不妨令，    由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率. 【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，， 设，由，且， 故，， 由点在椭圆上，故，整理得， 故离心率， 故选：B. 考点四、斜率乘积求离心率 1．（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】设，由直线的斜率公式，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，由离心率公式即可求解. 【详解】由题意得， 设，可得， 即， 又直线与直线斜率之积为2， 得， 则离心率. 故选：. 2．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 1．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值. 【详解】直线经过原点，设，，. . 又，，两式相减，得. ，.离心率为. 故选：B. 2．（2024·湖北·模拟预测）椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，设，，由，可得，进而可求离心率. 【详解】由题可得，设，，则， 又，则，， 则，． 故选：B 考点五、余弦定理求离心率 1．（2021·全国·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解. 【详解】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D 4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由直线的斜率得和，由得和，中，由余弦定理列方程求椭圆的离心率. 【详解】由题知在轴上方，直线的斜率为，则，． 由，，得， 所以由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理得， 整理得，得，即， 解得或， 故椭圆的离心率为或． 故选：C. 1．（2024·湖南长沙·二模）已知，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示， 设关于原点对称的点为，则为平行四边形， 由可知，，，三点共线，且， 设，则，在中，，解得， 注意到， 在中结合余弦定理可得，， 解得，则，所以， 故选：C. 2．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 3．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到四边形为矩形，由直线过原点且倾斜角为，在和中，利用余弦定理计算得，结合椭圆的定义,求得离心率，进而计算出. 【详解】如图所示，    因为，且分别为和的中点，，所以四边形为矩形， 又直线过原点且倾斜角为，即，，且为等腰三角形， 所以，在中，根据余弦定理可得，即， 同时，在中，根据余弦定理可得，即， 所以，可得， . 故选：B. 4．（2024·浙江·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由 可得，由于与等高， 所以，    又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， 在中，， 化简可得，解得， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出，其次需要根据建立关系. 考点六、构造齐次方程求离心率 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件三角形面积计算出点的坐标，代入椭圆的方程得到的等式，化简得出离心率的值；. 【详解】如图所示，，所以圆的方程为， 令，则，由图可知， 令，则或，所以. 设点，因为的面积为， 所以，解得， 又因为直线的方程为，因为点在直线上， 所以令，得，所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以，化简得， 所以，所以，因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得，进而求出离心率. 【详解】由以为直径的圆过椭圆的右焦点，得，即， 而，则，又， 由，得， 则，即，因此， 整理得，解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C 2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线，直线的方程，即可求出交点的坐标，从而得到点坐标，依题意可得点在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程，即可得解. 【详解】设椭圆的焦距为， 则直线，直线， 联立，解得，即， 因为，故． 因为，所以点在椭圆上， 将代入椭圆的方程得，即， 即，解得或（舍去）. 故选：A 4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用向量可求得点的坐标，结合椭圆方程运算求解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 由题意可得：，则， 因为，则，解得， 即，且点在椭圆上， 则，整理得，解得，即. 考点七、离心率的范围及最值问题 1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 2．（北京·高考真题）椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据准线方程公式，由椭圆的方程可得，表示出的长，又，所以把和的长度分别代入，化简即可求出离心率的取值范围，再根据椭圆的离心率小于1，取交集即可. 【详解】因为椭圆的准线方程为，所以，又因为， 则由，得到，所以，又因为，所以， 故， 故选：D. 3．（湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可. 【详解】设点， 因为线段的中垂线过点，所以，即， 化简得， 因为，所以，即， 所以， 又因为，所以，解得. 故选：D. 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当时，取得最小值为3. 【详解】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，整理可得，根据题意结合二次函数分析可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可设：， 则 ， 令，则， 注意到，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在内的最小值为， 则， 整理得，解得，不合题意； 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：. 可得椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：设，整理得，换元，分类讨论对称轴的取值范围，结合二次函数最值求的取值范围. 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性， 找到当分别位于的左、右顶点时，有最大值，求出离心率的取值范围. 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得． 在椭圆中，， 得． 在双曲线中，， 得．从而，得， 则，即， 即． 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：B 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【答案】A 【分析】首先求出，再结合题干中的条件可知，通过解不等式可得的取值范围，结合双曲线的离心率公式可得答案. 【详解】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 1．（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据离心率公式求得椭圆和椭圆离心率，列式求解求得，进而可得解. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆离心率为， 椭圆的离心率， 则由题意可知，解得. 所以的长轴长为. 故选：D. 2．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可． 【详解】由直线得，直线过定点， 由题意得，点在椭圆上或椭圆内部， 所以，则，所以椭圆焦点在轴上， 所以， 故选：C． 3．（2024·江苏南京·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出的长度，进而通过，可以得到的长度，再次应用勾股定理，求出的长度，最后根据为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的性质得到离心率的表达式，再根据得到的范围 ，代入中即可求解. 【详解】由题意可得． 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B． 5．（2024·全国·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，过点作轴，求得，代入双曲线方程求解. 【详解】如图所示： 因为为等腰三角形，且顶角为， 所以，过点作轴，垂足为， 在中，则，故， 代入双曲线方程得，解得，即， 所以，解得. 故选：D 6．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为( )， 即, 所以渐近线的斜率为， 即， 解得， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 7．（2024·全国·模拟预测）椭圆的左顶点为，点均在上，且点关于点轴对称，若直线均存在斜率，且斜率之积为，记的离心率为，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】由题可得，设. 则， 又， 则. 则. 故选：C 二、多选题 8．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义得到，，再由即可求出离心率的取值范围，即可判断. 【详解】因为，又，所以，， 又，即， 所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD. 故选：BCD 9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 【答案】CD 【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可； 【详解】对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和， 而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和， 显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误； 对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确． 故选：CD. 三、填空题 10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】借助斜率与垂直的关系可得，即可得离心率. 【详解】由直线的斜率为，故有， 即，则. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据椭圆的定义可得，由，根据余弦定理可得，再由离心率公式求解即可. 【详解】    由题可知， 所以，解得， 由 得， 整理得， 所以. 故选：A. 2．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 4．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率， 双曲线的离心率，可得， 令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即， 则此时，即， 则的最大值是. 故选：B. 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，过作与，易得，，设，结合双曲线的定义分别求出对应边，在和中，由勾股定理得和之间的关系，即可求解. 【详解】 设双曲线的右焦点为，连接，过作与，则， 因为，， 所以， 因为，所以，即为线段的中点， 因为为的中点，所以， 所以，， 设， 则，， ， 所以， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， 所以， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，所以. 故选：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法： （1）直接法：直接求出，，求解； （2）变用公式，整体求出； （3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出，，的关系； （4）构造，的齐次式，解出. 6．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， 则 ， 即，，所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： 一：求出，代入公式计算； 二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 7．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】 我们首先来证明一个引理：若，则， 证明如下：设，则由余弦定理有 ，即， 所以， 所以，从而引理得证； 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得， 由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形为等边三角形，进一步得出的齐次式关系即可求解. 二、填空题 8．（2024·陕西西安·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，，在中，利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义即可求出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】由题可设，， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，即， 在中，，，， 所以， 即，解得， 则所求双曲线的离心率为． 故答案为：． 9．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解. 【详解】如图，， 显然四边形是矩形，所以， 由题意，，所以， 设，则，所以， 又点P在第一象限，所以， 故，即，所以， 椭圆C的离心率 ， 由可得， 又， 所以， 故. 故答案为：. 10．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】过点作，根据题意，得到，设，由为的角平分线，求得，化简得到，结合任意的都成立，列出方程组，求得，即可求解. 【详解】如图所示，过点作交于点，可得， 因为，所以， 设，则， 由为的角平分线，可得， 所以， 由，可得， 所以， 整理得， 若对于任意的都成立，则必有，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：.    1．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 3．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：， 离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 4．（2022·全国·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 5．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 6．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于是，即，所以． 故答案为：；． 7．（全国·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率． 【详解】由已知可得， ，故选D． 【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混． 8．（全国·高考真题）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 9．（重庆·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：， 即：a|PF1|=|cPF2| 设点（x0，y0）由焦点半径公式， 得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0） 解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)． 考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围． 点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围． 10．（天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线的准线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 则有 ∴，，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度． 11．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为，，则， 是等腰三角形，， ，， 由正弦定理即，解得， 双曲线过点，由双曲线的定义可得， 解得离心率， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手： （1）根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值； （2）已知条件构造出，，的等式或不等式，结合化出关于，的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围. 12．（福建·高考真题）已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意有可得坐标，进而求得的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】依题意知，若双曲线焦点为，， ∴，则△的高为，即， ∴，代入双曲线方程：，整理得：， ∵， ∴，整理得，得， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：利用双曲线、等边三角形、中点的性质求点坐标，由点在双曲线上可得双曲线参数的齐次方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$