精品解析：广东省肇庆市封开县广信中学2024-2025学年九年级上学期10月份作业大检查数学试题

2024—2025学年第一学期九年级上册第一阶段练习 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程； 综上：①④⑤是一元二次方程，共3个； 故选C． 2. 已知一元二次方程，下列判断正确的是 A. 该方程无实数根 B. 该方程有一个实数根 C. 该方程有两个不相等的实数根 D. 该方程有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的判别式判定根的情况，根据时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；由此即可求解． 【详解】解：一元二次方程， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：D． 3. 线段，点是上靠近点的黄金分割点，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的倍，较长的线段原线段的倍，可以提高解题速度．根据黄金分割的定义，知为较长线段，则，代入数据即可得出的值． 【详解】解：∵点是上靠近点的黄金分割点， ∴，为较长线段； ∴． 故选：B． 4. 若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故选：B． 5. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设有人参加聚会，根据题意， 得， 解得：（舍去） ∴有8人参加聚会 故选：C． 6. 代数式的最小值为（ ） A. B. C. D. 没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算. 【详解】， ， ， 当时，代数式的最小值为. 故选：. 【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值. 7. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 8. 如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴3＋1＝−p，3×1＝q， ∴p＝−4，q＝3， 所以这个一元二次方程是， 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 9. 近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（　 　） A. 2160(1－x) 2 = 1500 B. 1500(1＋x) 2 =2160 C. 1500(1－x) 2 =2160 D. 1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2 =2160 【答案】B 【解析】 【分析】设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，2013年李师傅的月退休金为1500(1+x)，2014年李师傅的月退休金1500（1+x）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x， 根据题意得：1500（1+x）2＝2160． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，满分18分） 11. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为___________人． 【答案】1000 【解析】 【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解．本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 【详解】解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：1000． 12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 13. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，先利用一元二次方程的定义得到，则，然后利用根与系数的关系进行计算即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根时，则，． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是___m（可利用的围墙长度超过6m）． 【答案】1 【解析】 【分析】设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6-2x），（6-2x）和x就是花圃的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解． 【详解】解：设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米． 依题意，得x（6-2x）=4． 整理，得x2-3x+2=0． 解方程，得x1=1，x2=2． 所以当x=1时，6-2x=4； 当x=2时，6-2x=2（不合题意，舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． 15. 已知关于的方程有两个实数根，，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，代入已知条件中，求得k的值再检验即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是和， ∴， ∴由得，， ∴， 解得，， 又∵ ∴ ∴符合题意， 故答案为： 16. 已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 三、解答题（一）（本大题4小题，每小题6分，满分24分） 17. 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）． （2）． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程没有实数根 【解析】 【分析】分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴方程没有实数根． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 19. 先化简：，再求值，其中m是方程的根． 【答案】6. 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据m是方程x2-x-2=0的根且m+1≠0，m≠0，可以得到m的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： = = =m（m+1） =m2+m， 由x2-x-2=0，得 x1=2，x2=-1， ∵m+1≠0，m≠0，m是方程x2-x-2=0的根， ∴m=2， 当m=2时，原式=22+2=6． 【点睛】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （1）当m＝0时，求方程的实数根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）x1＝，x2＝（2）m＜ 【解析】 【分析】（1）令m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可． 【详解】（1）当m=0时，方程为x2+x﹣1=0． △=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x，∴x1，x2． （2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，满分24分） 21. 如图，周长为的矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积． 【答案】原矩形的面积是 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是关键．设矩形的长是，则宽是，根据把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，即可列方程求得x的值，进而求得宽，则面积即可求解． 【详解】解：设矩形的长是，则宽是，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 则， 原矩形的面积为：， 答：原矩形的面积是． 22. 若规定两数，通过“”运算，得到，即，例如． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）60 （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算，解一元二次方程，准确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义公式进行乘法运算即可； （2）先根据新定义公式进行变形，再利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∴， 解得． 23. 如图，有一个宽，长的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的，求横向道路的宽度． 【答案】横向道路的宽为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设横向道路的宽为，则纵向道路的宽为，根据种植花的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积建立方程求解即可． 【详解】解：设横向道路的宽为，则纵向道路的宽为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：横向道路的宽为． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，满分24分） 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 25. 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期九年级上册第一阶段练习 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知一元二次方程，下列判断正确的是 A. 该方程无实数根 B. 该方程有一个实数根 C. 该方程有两个不相等的实数根 D. 该方程有两个相等的实数根 3. 线段，点是上靠近点的黄金分割点，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 代数式的最小值为（ ） A. B. C. D. 没有最小值 7. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( ) A. B. C. D. 9. 近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（　 　） A. 2160(1－x) 2 = 1500 B. 1500(1＋x) 2 =2160 C. 1500(1－x) 2 =2160 D. 1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2 =2160 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，满分18分） 11. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为___________人． 12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 13. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 14. 如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是___m（可利用的围墙长度超过6m）． 15. 已知关于的方程有两个实数根，，且，则的值为________． 16. 已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 三、解答题（一）（本大题4小题，每小题6分，满分24分） 17. 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）． （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简：，再求值，其中m是方程的根． 20. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （1）当m＝0时，求方程的实数根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，满分24分） 21. 如图，周长为的矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积． 22. 若规定两数，通过“”运算，得到，即，例如． （1）求的值； （2）若，求的值． 23. 如图，有一个宽，长的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的，求横向道路的宽度． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，满分24分） 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 25. 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $