精品解析：福建省龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

龙岩一中锦山学校2024-2025学年第一学期第一次月考 高一数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】解不等式可得； 又可知，可知A错误，B正确； ，即可得C错误，D错误 故选：B 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义和初等函数的单调性逐一检验四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为关于原点对称，，可知且，所以是非奇非偶函数，是增函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，故选项B不正确； 对于C：的定义域为，关于原点对称，且 是奇函数，在和单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项C不正确； 对于D：，作出其图象如图所示： 图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项D正确； 故选：D. 3. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值验证法，逐一判断即可得解 【详解】，，，，故选项A错误； 当时，，故选项B错误； ，，故选项C正确； 当时，，故选项D错误. 故选：C 4. 已知两个正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式常数代换技巧直接求解即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 则， 当且仅当即时，等号成立. 故选：D 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出再化简得出,即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是解得 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6. 已知函数的定义域为．记的定义域为集合，的定义域为集合．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由抽象函数的定义域求解可得集合，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域为，即，则， 则的定义域为，即； 又，则，所以， 所以的定义域为，即； 故，且，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 是定义在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是定义在上是增函数，利用分段函数的性质可知，由此即可求出结果. 【详解】由于是定义在上是增函数，所以，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果． 8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，关于原点对称的函数解析式，，根据题意只需，与，有交点，参变分离后，结合基本不等式求出，从而求出实数m的取值范围. 【详解】当时，，设，关于原点对称的函数解析式为， 当时，，，故， 故，， 要想存在“隐对称点”，则，与，有交点， 联立得，，即， 而，当且仅当时取等号， 故实数m的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示相同函数的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数，的定义域均为， 且，故A选项中的两个函数相等，A满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不相等，B不满足条件； 对于C选项，函数，的定义域均为， 且这两个函数的对应法则相同，故C选项中的两个函数相等，C满足条件； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数定义域不相同，故D选项中的两个函数不相等，D不满足条件. 故选：AC. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据特殊值判断B，利用判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 【详解】对于，当时，满足，此时，错误； 对于，，则，变形可得，当且仅当时等号成立，正确； 对于，，变形可得，则有，当且仅当时等号成立，正确； 对于，，当且仅当时等号成立，正确； 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法，令，可判断A；令，求得，再令，即可判断B；令即可判断C；令，，即可判断D. 【详解】因为函数的定义域为，， 对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，即， 令，则，即，故B错误； 对于C，令，则， 又函数定义域为，所以为偶函数，故C正确； 对于D，令，，所以， 若，则，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】易知. 故答案为： 13. 已知，则的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】∵，∴，求得，或， 故函数的定义域为或 由题即求函数在定义域内的增区间． 由二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题． 14. 已知a>1，函数f(x)＝，g(x)＝x＋＋4， 若对于任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的取值为__________. 【答案】17 【解析】 【分析】先求出f(x)在上的值域和g(x)在上的值域，然后根据题意的值域为的值域的子集，由集合的包含关系列出不等式组求解即可得答案. 【详解】解：，函数，即为， 由，可得在，上单调递增，所以的值域为，； 因为g(x)＝x＋＋4， 所以令，则g(t)， 由对勾函数单调性知，g(t)在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以g(x)的值域为， 因为对于任意的x1[1，3]，总存在x2[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以的值域为的值域的子集，即，，， 所以，解得， 所以． 故答案为：17． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用分式不等式的解法求出集合，然后由并集的定义求解即可； （2）利用，得到，然后由子集的定义，列出不等关系，求解即可． 【详解】解：（1）因为集合， 当时，， 所以； （2）因为，所以， ①当时，则，解得； ②当时，则有，解得． 综上所述，的取值范围为，． 16. 已知函数是奇函数． （1）求实数a值； （2）证明在区间上单调递减； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即可得到结果； （2）根据题意，由定义法即可证明函数的单调性； （3）根据题意，结合函数的单调性，即可求解不等式. 【小问1详解】 ∵是奇函数， ∴，则，经验证此时为奇函数. 【小问2详解】 ∵，∴， 设，则， ， ∵，∴，，则， 则，则， 即在区间上单调递减. 【小问3详解】 ， ∵在区间上单调递减， ∴不等式等价为， 即，解得或， 即不等式的解集为. 17. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：， （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益. 【答案】（1）；（2），最大值为260元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意即求解不等式； （2）根据题意求出的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值. 【详解】（1）当，超过1560，所以不满足题意； 当，载客人数不超过1560， 即，解得或，由于 所以； （2）根据题意， 则 根据基本不等式，，当且仅当，即时取得等号，所以， 即当时，平均利润的最大值为260元， 当时，单调递减，， 综上所述，最大值为260元. 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件. 18. 已知函数． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的下方，试确定实数m的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可得； （2）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，可设函数，，结合二次函数单调性求取最大值即可得解； （3）根据的对称轴，分、及讨论即可得. 【小问1详解】 由， 则， 即； 【小问2详解】 由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，故， 则有，即； 【小问3详解】 ， 则的对称轴为， 当时，在上单调递减， 故； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递增， 故； 综上所述，. 19. 若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 求的解析式； 求函数在内的“和谐区间”； 若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由. 【答案】；；存在，. 【解析】 【分析】 利用函数奇偶性的性质写出的解析式； 根据“和谐区间”的定义写出函数在内的“和谐区间”； 设为的一个“和谐区间”，则，即 ，同号，结合分类讨论得出结果. 【详解】解：为上的奇函数， 又当时，， 当时，； ； 设，在上单调递减， ，即，是方程的两个不相等的正根. 在内的“和谐区间”为. 设为的一个“和谐区间”，则，，同号. 当时，同理可求在内的“和谐区间”为. 依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限. 因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根. 由方程，即在内恰有一根， 令，则，解得； 由方程，即在内恰有一根， 令，则，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 【点睛】本题考查函数的性质，考查分类讨论思想，方程的应用，难度大，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩一中锦山学校2024-2025学年第一学期第一次月考 高一数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A B. C D. 4. 已知两个正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 9 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A B. ，或 C. ，或 D. 6. 已知函数的定义域为．记的定义域为集合，的定义域为集合．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 是定义在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示相同函数的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，，则的取值范围是______. 13. 已知，则的单调递增区间为______． 14. 已知a>1，函数f(x)＝，g(x)＝x＋＋4， 若对于任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的取值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数奇函数． （1）求实数a的值； （2）证明在区间上单调递减； （3）解不等式. 17. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：， （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益. 18. 已知函数． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的下方，试确定实数m的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值． 19. 若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 求的解析式； 求函数在内的“和谐区间”； 若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$