精品解析：内蒙古赤峰市赤峰二中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2023级赤峰二中高二（上）月考 数学 出题人：郭桂玲 审题人：周婷 朱明瑛 （本套试题共7页，19小题，考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线平行时的参数值，再根据充分必要条件定义判断. 【详解】若，则，故， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2. PM2.5是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法错误的是（ ） A. 这10天中PM2.5日均值的众数为33μg/m3 B. 这10天中PM2.5日均值的中位数是32μg/m3 C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义可判断A，B选项正确，受极端值128的影响，平均数应该大于中位数，可判断选项C错误；根据数据波动的大小可判断方差的大小. 【详解】由题图可知，众数为33，中位数为32，故A，B中说法正确； 因为受极端值128的影响，所以平均数应大于中位数，故C中说法错误； 因为前4天曲线比后4天曲线波动大，所以前4天的方差大于后4天的方差，故D中说法正确. 故选：C. 3. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量投影的定义结合勾股定理即可求解. 【详解】因为，， ， 所以到直线的距离为． 故选：D 5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．” A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分层抽样原则可直接构造方程求得结果. 【详解】设北面有人，则，解得：. 故选：A. 6. 甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件概率求法，结合互斥事件加法求目标概率. 【详解】由题意，这两个零件中恰有一个一等品的概率为. 故选：C 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差是16 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样为等可能抽样及古典概型判断A，利用方差和标准差的计算公式及性质判断BD，利用百分位数的定义求解判断C. 【详解】对于选项，个体被抽到的概率为，故该选项正确； 对于选项，，解得， 则方差为，故该选项错误； 对于选项，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30， 由于%，其中第6个数为23，故该选项正确； 对于选项，设数据，，…，的均值为， 则数据，，…，的均值为， 因为数据，，…，的方差为， 所以数据，，…，的方差为 ，故该选项正确； 故选：ACD. 10. 同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A. 事件A与事件B对立 B. 事件A与事件B相互独立 C. 事件A与事件C相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知，即可判断是否相等. 【详解】由题意，得，，， 对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误； 对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确； 对于D，由上知，，故D错误． 故选：BC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由方向向量得斜率，从而得倾斜角． 【详解】由题意直线的一个方向向量是， 则直线的斜率为，因此倾斜角为. 故答案为：． 13. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，求异面直线与所成角的余弦值_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据向量加减法运算法则将分别用表示，再根据空间向量的数量积运算和夹角公式计算可得结果. 【详解】设，，， 则， 则， ， 所以， ， 因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 14. 甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是______；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求出所有结果；求出至少出现一个5点或6点的包含的结果；利用列举法求出甲取胜包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式求出事件的概率. 【详解】两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有种， 至少出现一个5点或6点的包含的结果有种， 由古典概型概率公式得至少出现一个5点或6点的概率是， 甲获胜包含的结果有：，，，，，，，、，，，，，共15个，由古典概型概率公式可得：甲取胜的概率为， 故答案为：； 【点睛】本题只要考查了分步乘法计数原理以及古典概型概率公式，属于基础题. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图. 求： （1）根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. （2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. （3）第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 【答案】（1）0.12，17万元 （2） （3）平均数，方差 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求得所求区间的频率，由题意求得的推销员不能完成月销售额目标得销售额即可求解； （2）利用举所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解； （3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可. 【小问1详解】 月销售额在小组内的频率为， 若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标， 根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为， 和及三组的频率之和为， 故估计月销售目标应定为万元； 【小问2详解】 第一组3人记为，第七组2人， 则选取2位推销员有 共10种情形， “选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M， 则事件M包含有共6种情形， 所以； 【小问3详解】 第一组3人，第七组2人， 则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为， 方差. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． （1）求角B的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 而，则， 由，得，，于是，又， 所以. 【小问2详解】 由，且的面积为，得，即，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面. （1）证明：⊥平面； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 如图，取中点，连接与交于点， ，∴， ∵，，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵平面⊥平面且平面平面，平面， ∴平面 又∵且， ∴， ∴AD⊥平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直. （2）由体积求出线段长，建立空间直角坐标系，找到两个面的一个法向量，由法向量求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为正方形中心，故， ∴， 又∵平面⊥平面且平面平面，平面， ∴平面 ， ∴ 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，∴，∴ 则 由1）可知是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则即 设则，即是平面的一个法向量， 设二面角为，则， ∴ 18. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果. 【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手” 则， 事件与相互独立，与相互独立 则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手” 即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是 （2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则 依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥 故“”的事件的概率为 【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题. 19. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点. （1）是否存在一点，使得面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； （2）若直线与平面CFG所成的角的正弦值为，求三棱锥的体积； （3）求三棱锥的外接球半径的最小值. 【答案】（1）存在点G为的中点，证明如下： 存在一点，当点为的中点，使得面， 连接，如图所示： 点分别是的中点，，又，且， 四边形是平行四边形，， 又平面，且平面平面. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）当点为的中点，使得面，用线面平行的判定定理证明； （2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，由线面角的向量法求得，确定的位置，再利用体积法转换后计算体积； （3）用向量法证明与平面垂直，证得三棱锥的外接球的球心在线段上，设，设，由，求得的关系，从而求得的范围，再由此求得半径的最小值． 【小问1详解】 存在点G为的中点，证明略； 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，连接， 则， 设，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 因为直线与平面CFG所成的角的正弦值为， 所以，解得（负值舍去）， 为中点，取中点，则，因此在平面内，且， 所以； 【小问3详解】 因为 所以即 因为平面平面，，所以平面， 又因为，所以与平面的交点是的外心，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球球心为， 设，则的坐标为，设， 则，即， 所以，设，则， 则， 而，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以， 三棱锥的外接球的半径， 因为，所以，所以， 三棱锥的外接球半径的最小值为. 【点睛】方法点睛：立体几何中涉及空间角、距离问题，常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求角和距离，此种方法把困难的空间想象转化为计算，减少了学生的思考难度，但对计算能力要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级赤峰二中高二（上）月考 数学 出题人：郭桂玲 审题人：周婷 朱明瑛 （本套试题共7页，19小题，考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. PM2.5是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法错误的是（ ） A. 这10天中PM2.5日均值的众数为33μg/m3 B. 这10天中PM2.5日均值的中位数是32μg/m3 C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差 3. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．” A. B. C. D. 6. 甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差是16 10. 同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A. 事件A与事件B对立 B. 事件A与事件B相互独立 C. 事件A与事件C相互独立 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为______. 13. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，求异面直线与所成角的余弦值_____． 14. 甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是______；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图. 求： （1）根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. （2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. （3）第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． （1）求角B的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面. （1）证明：⊥平面； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值. 18. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 19. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点. （1）是否存在一点，使得面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； （2）若直线与平面CFG所成的角的正弦值为，求三棱锥的体积； （3）求三棱锥的外接球半径的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $