精品解析：内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰二中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

赤峰二中 2022级高三上学期第二次月考 数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ）． A. B. C. D. 5. 数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ） （参考数据：） A. B. C. 8min D. 7. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 8. 若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分) 9. 已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ） A. ﹣2 B. C. D. 10. 已知且， 则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. ab的最大值为 1 D. 的最大值为2 11. 设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则当取得最小值时， D. 若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在题中横线上) 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________. 13. 已知表示不超过的最大整数，如，，.若，则的取值范围是_________. 14. 已知实数，若关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围为___________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分． 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知数列的前项和为，其中，且. （1）求的通项公式. （2）设，求的前项和. 17. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，，，令. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰二中 2022级高三上学期第二次月考 数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解． 【详解】由题意， 阴影部分为. 故选：D． 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C. 考点：全称命题与存在性命题. 3. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D. 【详解】取，，，则，故A错误； 取，，，则，故B错误； 取，，则，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确． 故选：D 4. 设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，，，进而可得结果. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 5. 数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，由，得，故数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，则， 所以数列的前n项和为. 故选：B 6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ） （参考数据：） A. B. C. 8min D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间． 【详解】由题意可知，当时，，则，解得， 所以， 当时，，即， 则 ， 所以茶水泡制时间大的为7 min. 故选：B. 7. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先研究函数的奇偶性，得到是偶函数，研究当时函数的单调性，又，即得解. 【详解】 故是偶函数， 当时，， ， 令，解得；令，解得 即在上单调递减，在上单调递增，又， 故选：C 【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性，单调性研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题. 8. 若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解. 【详解】由，得，则，即函数的周期为4， 由是R上的奇函数，得，即， 于是，，即， 因此，AB错误； 由，取，得，则， 因此，取，得， 于是， 则，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分) 9. 已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ） A. ﹣2 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由题意得， 当时，， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件，所以 A， 所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题. 10. 已知且， 则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. ab的最大值为 1 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】配方后使用基本不等式可判断A；利用常数代换可判断B；直接使用基本不等式可判断C；先利用基本不等式求的最大值，然后可判断D. 【详解】对A，， 当且仅当时等号成立，A正确； 对B，， 当且仅当，即时等号成立，B错误； 对C，，当且仅当时等号成立，C正确； 对D，，当且仅当时等号成立， 所以，D正确. 故选：ACD 11. 设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则当取得最小值时， D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由前n项和的定义以及等比数列性质分析判断A；由题意结合等比数列性质分析判断B；根据题意结合基本不等式知：当且仅当时，取得最小值，进而可得结果判断C；举反例说明即可D. 【详解】由数列为正项等比数列，得， 对于A， ，即，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，当且仅当时取等号， 若取得最小值，则，即，解得，C错误； 对于D，例如，则，， 得， 而，，则，即，符合题意，但，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题判断选项D的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在题中横线上) 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为,，求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为,， 由两曲线有公切线得，解得， 则切点为，切线方程为， 根据两切线重合，解得． 故答案为：1． 13. 已知表示不超过的最大整数，如，，.若，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得则且，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】解：依题意，因为， 若，则，不符题意； 若，则，不符题意； 若，则，满足条件， 则. 解得，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查新定义运算，不等式的解法，属于中档题. 14. 已知实数，若关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，根据图象特点，要想方程有四个不同的实数根，需要令，这样有两个不同的实数根，，且，，才会有四个交点. 【详解】当时，，单调递减，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，在时，取得最小值， 画出的图象如图所示： 令，则方程为，要想方程有四个不同的实数根，结合的图象可知需要满足：有两个不同的实数根，，且，， 令，则 ，解得： 的取值范围 故答案为： 【点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 四、解答题(本大题共5小题，共77分． 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定的符号后，再利用平方关系求得； （2）（1）小题结论与已知联立方程组解得，由商数关系得，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即. 因为，则，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由解得， 所以； 所以. 16. 已知数列的前项和为，其中，且. （1）求的通项公式. （2）设，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到时，，再由，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合乘公比错位法求和，即可求解. 【小问1详解】 由，可得，则， 两式相减，可得，即， 又由，易知， 所以当时，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，可得， 则， 所以， 两式相减得 ， 所以. 17. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式. （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【小问1详解】 函数中，，由是奇函数，得， 即，整理得，解得， 函数定义域为， 由，得，即，整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递增， 故当时，， 由（1）得在的值域， 又， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数，，，令. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，分与分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可； （2）构造函数，利用导数求函数的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可； 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令，即，又，解得， 令，即，又，解得， 综上，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 【小问2详解】 令， 所以． 当时，因为，所以． 所以在上是单调递增函数， 又因为， 所以关于的不等式不能恒成立， 即关于的不等式不能恒成立． 当时，． 令，得， 所以当时，；当时，． 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为． 令，，当时， 所以在上是减函数， 又因为，， 所以当时，，所以恒成立，即恒成立 所以整数的最小值为2． 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分与进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18 （3） 显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【解析】 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； 【小问2详解】 由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $