精品解析：江西省九江市永修县外国语学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

永修县外国语2024—2025学年八年级数学第一次随堂检测 注意事项：本卷共五大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. 0.2 C. D. 2. 以2，3为直角边直角三角形斜边长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 3. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 10，8，4 C. 7，25，24 D. 7，15，12 4. 下列说法错误的是（ ） A. 是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的平方根为 D. 负数没有平方根 5. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （ ） A. 3 B. C. D. 6. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 的相反数是______． 8. ____．（填“＞”、“＜”或“=”） 9. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么______． 10. 如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=_____． 11. 如图，在中，，，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是_____． 12. 等腰△ABC的面积为30，其中一边AB=10，则BC=_____． 三、解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 若的三边长满足等式； （1）求值； （2）求的面积． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图a中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图b中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； 16. 如图，在中，，于点，，，求的长． 17. 已知：和是的两个不同的平方根 （1）求的值． （2）求平方根． 四、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． （1）求的长； （2）求的长． 19. 阅读下面的内容：因为，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： （1）求的整数部分和小数部分． （2）若和的小数部分分别是和，求的值． 20. 如图，已知长方体的长为、宽为、高为．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到点，那么最短的路程是多少？ 五、解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 已知，，，．回答下列问题． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 22. 我们将，称为一对“对偶式”，因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，例如：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供方法，解答以下问题． （1）分母有理化______；______； （2）化简 （3）求值． 六、解答题（共1小题，每题12分，共12分） 23. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足的周长为，求此时的值； （2）若点在的平分线上，求此时的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永修县外国语2024—2025学年八年级数学第一次随堂检测 注意事项：本卷共五大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. 0.2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 2. 以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出第三边长即可． 【详解】以2，3为直角边的直角三角形斜边长为， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 3. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 10，8，4 C. 7，25，24 D. 7，15，12 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵42+82≠102，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故本选项正确； D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的平方根为 D. 负数没有平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢的长度是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度． 【详解】解∶设折断处离地面的高度是x尺，则折断处离竹梢的长度是尺， 由勾股定理可得：， 即：， 解得： 故折断处离地面的高度是4.2尺． 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理． 6. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键． 8. ____．（填“＞”、“＜”或“=”） 【答案】＞． 【解析】 【详解】∵5＞4， ∴＞2． ∴﹣1＞2﹣1，即﹣1＞1． ∴． 故答案为：＞． 9. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据题中的新定义计算列式计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：18． 10. 如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=_____． 【答案】70 【解析】 【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70． 【详解】设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示： 则，，. ∵a2+b2=c2， ∴． 即S1+S2=S3． ∴S3=70． 故答案为70. 【点睛】本题考查了圆的面积公式和勾股定理的应用，注意发现此图中的结论：S1+S2=S3． 11. 如图，在中，，，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是_____． 【答案】- 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据半径相等，可得答案． 【详解】由勾股定理，得 OA＝＝， 由半径相等，得OP＝OA＝， ∴点表示的实数是- 故答案为：-． 【点睛】本题考查了数轴，利用了实数与数轴的一一对应关系． 12. 等腰△ABC的面积为30，其中一边AB=10，则BC=_____． 【答案】或或或10 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求出高CD，分当AB为底边、当AB、AC为腰，且△ABC为锐角三角形和钝角三角形与当AB与BC为腰四种情况，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解∶过点C作CD⊥AB于D， ∵△A BC的面积为30， ∴AB×CD=30，即10×CD=30， 解得，CD=6， 如图1，当AB为底边， CA=CB时， ∵CD⊥AB，AB=10， ∴AD=DB=AB=5， ∴； 当AB、AC为腰，且△ABC为锐角三角形， AB=AC= 10时，如图2， ∵在Rt△ACD中，， ∴BD=AB-AD=2， ∴； 当AB、AC为腰，且△ABC为钝角三角形， AB=AC= 10时，如图3， ∵在Rt△ACD中，， ∴BD=AB+AD=18， ∴； 当AB与BC为腰时， ∵AB= 10， ∴ BC= AB= 10， 综上所述，BC的长为或或或10， 故答案为： 或或或10． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，根据题意正确分类画出图形讨论求解是解题的关键，注意分类讨论时，应做到不重不漏． 三、解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法及加法运算，利用平方根的定义解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式的性质，计算二次根式乘法，再加减即可； （2）先将方程变形为，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ． 14. 若的三边长满足等式； （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形的逆定理，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据非负数的性质求出的值； （2）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，然后求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：在中，， ∴是直角三角形且， ∴的面积为． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图a中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图b中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格中作三角形．熟练掌握勾股定理，以及无理数的定义，是解题的关键． （1）利用勾股定理：，画一个三边分别为：的三角形； （2）由，画出一个三边分别为：的三角形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：． 16. 如图，在中，，于点，，，求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理即可求解的长，根据等面积法可求的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的运用，几何图形中等面积法求高的计算，掌握以上知识是解题的关键． 17. 已知：和是的两个不同的平方根 （1）求的值． （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 四、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长，然后由翻折的性质求得，即可求解； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 小问1详解】 解：∵在中，两直角边，， ， 由折叠的性质可知：， ； 【小问2详解】 解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 19. 阅读下面的内容：因为，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： （1）求的整数部分和小数部分． （2）若和的小数部分分别是和，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数和小数部分问题，正确理解题意是解题关键． （1）根据即可求解； （2）由（1）即可确定和，即可求解． 小问1详解】 解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； 【小问2详解】 解：的小数部分是，的整数部分是5， 的小数部分是， ，， ． 20. 如图，已知长方体的长为、宽为、高为．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到点，那么最短的路程是多少？ 【答案】最短路程是 【解析】 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图利用勾股定理进行计算，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图， 根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿，，，，，剪开，得图1，； （2）沿，，，，，剪开，得图2，； （3）沿，，，，，剪开，得图3，. 综上所述，最短路径应为图1所示，所以，即，因此最短路程是． 五、解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21 已知，，，．回答下列问题． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及二次根式的应用，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形是解决此题的关键. （1）根据，，易证是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可求解出的角度； （2）根据四边形的面积就等于两个直角三角形的面积之和即可求解. 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵，． ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 解：∵都是直角三角形， ∴． 即四边形的面积为． 22. 我们将，称为一对“对偶式”，因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，例如：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． （1）分母有理化______；______； （2）化简 （3）求的值． 【答案】（1）， （2）2 （3）3 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法，分母有理化即可得答案； （2）将每个加数分母有理化，再相加即可； （3）将每个加数分母有理化，再相加减即可． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 六、解答题（共1小题，每题12分，共12分） 23. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足的周长为，求此时的值； （2）若点在的平分线上，求此时的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3）当t为或5或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据的周长为，可得，，在中根据勾股定理列出方程可求得t的值； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴由勾股定理得， 如图，连接， ∵周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图1，过P作于E，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$