精品解析：安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期返校开学测试数学试题

自主学习能力诊断 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若复数为纯虚数，则实数值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A B. 1 C. D. 2 3. 在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的个数是（ ） （1）若平面平面，则平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 （2）若平面平面，则平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 （3）若平面平面，且，过内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于 （4）如果平面平面，平面平面，，那么平面 A. B. C. D. 5. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 6. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 7. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 若，则的最大值为 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若 为锐角，则实数 的取值范围是 B. 已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为 C. 点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则 D. 点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心 11. 如图，在正四面体中，分别为侧棱上的点，且，为的中点，为四边形内（含边界）一动点，，则（ ） A B. 五面体的体积为 C. 点的轨迹长度为 D. 与平面所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，则为正整数的概率为______. 13. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为___________. 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角． （2）若向量与互相垂直，求k的值． 16. 某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛. （1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲领先的概率； （2）若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以赢得比赛的概率. 17. 如图，在四边形中，，，，. （1）若，求； （2）若，，求. 18. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求二面角的平面角的余弦值． 19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. （1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； （2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 自主学习能力诊断 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，在直角中，求得，结合斜二测画法的规则，即可求得原平面图形的高，得到答案. 【详解】如图所示，过点作， 因为四边形为直角梯形，且，，可得， 在直角中，可得， 根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为. 故选：C. 3. 在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的结论可求出结果. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 所以，所以. 故选：D 4. 下列命题中正确的个数是（ ） （1）若平面平面，则平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 （2）若平面平面，则平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 （3）若平面平面，且，过内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于 （4）如果平面平面，平面平面，，那么平面 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可. 【详解】对于（1），若平面平面，，平面内取与平行的直线， 该直线不垂直于平面，故（1）错误； 对于（2），若平面平面，，取平面内无数条与交线垂直的直线， 则平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故（2）正确； 对于（3），若内的任意一点取在交线上，则所作垂线不一定垂直于，故（3）错误； 对于（4），如图所示，平面平面，平面平面，， 由两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面可知， ，故（4）正确. 故选：B. 5. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C 6. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由频率分布直方图性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由频率分布直方图可得： ，解得，故①正确； 前三个矩形的面积为， 即第60百分位数为80，故②正确； 估计这200名学生竞赛成绩的众数为，故③错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确； 故选：B 7. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可 【详解】锐角中， ， 由余弦定理可得， 化简得：， 又 ． 故选：D 8. 已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点在平面上的射影点位置，再求出点到平面的距离最大和最小作答，结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】在矩形中，，，过点作于，交边于，如图， ，， 所以，，， 所以，，则， 则， 把沿折起到的过程中，，， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 由面面垂直性质定理可知，点在平面上的射影在直线上， 因为点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则当平面时， 点到平面的距离最大，于是， 当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时， 于是，从而， 而， 所以，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下： （1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 若，则的最大值为 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确； 对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D正确． 故选：BCD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若 为锐角，则实数 的取值范围是 B. 已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为 C. 点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则 D. 点 在 所在平面内，满足 且 ，则点 是 的内心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的数量积的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：对于A：因为，，， 所以， ， 因为为锐角，所以，解得， 当，即时，故且，故A错误； 对于B：不妨设、，设，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，所以，故B正确； 对于C：因为，取的中点， 则， 所以为的中点，连接，因为是的中点，所以， 是的中点，所以，， 所以，故C正确； 对于D：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上， ，可得，所以在的平分线上， 则点是的内心，故D正确． 故选：BCD 11. 如图，在正四面体中，分别为侧棱上的点，且，为的中点，为四边形内（含边界）一动点，，则（ ） A. B. 五面体的体积为 C. 点的轨迹长度为 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点的位置，利用线面垂直的性质、判定证得平面，再逐项分析计算即可. 【详解】对于A，取的中点，连接，依题意，是正的重心，则点在上， 由平面，得平面， 而平面，则，又，， ，在中，由余弦定理得， 显然，则，而平面， 则平面，又平面，所以，A正确； 对于B，由选项A知，正四面体的高，由已知， 平面平面，则平面，同理平面， 又平面，于是平面平面， 四面体为正四面体，高为，，因此五面体的体积： ，B正确； 对于C，由选项A知，，则，而， 以线段为直径的半圆交于，点的轨迹是此半圆在四边形及内部的弧和弧， 显然是的中点，而，，因此， 点的轨迹长度为，C错误； 对于D，由选项C知，是与平面所成角，，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：平行于锥体底面的平面去截该锥体，截得的锥体与原锥体的体积比等于它们高的立方比. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，则为正整数的概率为______. 【答案】##0.15 【解析】 【分析】计算基本事件总数，再找符合条件的基本事件，通过古典概型计算即可. 【详解】从中选两个不同的数作为对数的底数和真数， 共有个不同的基本事件， 其中为整数的只有三个基本事件， 所以概率为. 故答案为：. 13. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解、，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球的半径为，作出轴截面（一半）如图： 因为的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为，， 又，所以，， 所以，解得（负值已舍去）， 故所求体积之比为 故答案为： 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角． （2）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 由，得，设向量与的夹角为， 由，，又，所以， 所以，解得， 所以向量与的夹角为． 【小问2详解】 由向量向量与互相垂直，得， 所以，即， 解得或． 16. 某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛. （1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲领先的概率； （2）若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以赢得比赛的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即得. （2）确定乙以赢得比赛的事件，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. 【小问1详解】 设事件：单局比赛中甲领先，则， 所以单局比赛中甲领先的概率为. 【小问2详解】 设事件：乙以赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件， 则， 所以乙以赢得比赛的概率是. 17. 如图，在四边形中，，，，. （1）若，求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理即可求解， （2）由余弦定理得，由正弦定理得，两式结合即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 在中，由余弦定理得，得， 由正弦定理，得. 故. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得①， 在中，由正弦定理，得. 所以，代入①式得，得， 则，即. 18. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质可证得平面，结合线面垂直的判定和性质可证得，由等腰三角形三线合一可知，进而证得结论； （2）取的中点，过点作，结合线面垂直的性质和二面角平面角的定义可知所求平面角为，在中，根据长度关系可求得结果. 【小问1详解】 ，，为等边三角形， 为的中点，． 取的中点，连接， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． ，，平面，平面， 又平面， ，，平面，平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 为线段的中点，， 由（1）知：平面，平面， 平面，； 过点作，垂足为，连接， ，平面，平面， 又平面，， 为二面角的平面角， 在中，， 由（1）知：为等边三角形，为线段的中点， ， 由（1）知：平面，平面，， 在中，； 由（1）知：平面，又平面，， 又，，， 在中，， 即，解得：． 平面，平面，． 在中，， ， 二面角的平面角的余弦值为． 19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. （1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； （2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 【答案】（1） （2）（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为 【解析】 【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果； （2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据， 又，所以这组数据的第三四分位数为. 【小问2详解】 （i）由图表知，会计岗位的样本点为，则， 业务员岗位的样本点为，则， 后勤岗位的样本点为，则， 管理员岗位的样本点为，则， 所以，故小刚最适合业务员岗位. （ii）四种职业的推荐率分别为，且， 所以，得到， 又均小于20，所以，且， 故可得到， 设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，， 依题有①， ②， ③， ④， 由①③得， ， 整理得：， 故有三组正整数解， 对于第一组解，代入④式有，不成立； 对于第二组解，代入①式有， 解得或，代入②④式均不成立； 对于第三组解，代入②式有， 解得，代入①②③④均成立，故； 故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为. 【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$