精品解析：广东省广州市越秀区广州市第十六中学2024-2025学年九年级数学上学期10月月考试卷

2024学年第一学期十六中教育集团阶段教学质量反馈 九年级数学（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x …… 0 1 2 3 …… y …… 5 0 m …… 那么m的值为（ ） A. B. C. 0 D. 5 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 8. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 9. 如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A. 10m或5m B. 5m或8m C. 10m D. 5m 10. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（ 　　） A. B. C. 3 D. 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到三角形，则点的坐标为________． 13. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________ 14. 抛物线的对称轴是直线，则的值为___． 15. 若a是方程的一个根，则代数式的值是__________． 16. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论： ①；②；③； ④若，，是该抛物线上的三点，则； ⑤（t为实数）． 其中正确结论的序号有__________． 三、解答题（本大题共9题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，已知点A，B的坐标分别为，，将绕点A按逆时针方向旋转得到． （1）画出； （2）直接写出点C关于原点对称的点的坐标． 19. 某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 20. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 0 1 2 …… y …… 5 0 …… （1）求该二次函数的表达式； （2）根据二次函数图象，直接写出不等式的x的取值范围． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 23. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止． （1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝ cm2； （2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？ （3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？ 24. 已知关于的方程有两个相等的实数根． （1）若，求的值； （2）在中，已知点，点，点在轴上，且该方程的解是点的横坐标． ①过点作轴，交边于点，求证：的长为定值； ②求面积的最小值． 25. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期十六中教育集团阶段教学质量反馈 九年级数学（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选∶D． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 5. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x …… 0 1 2 3 …… y …… 5 0 m …… 那么m的值为（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可． 【详解】解：由上表可知函数图象经过点和点， ∴对称轴为， ∴当时的函数值等于当时的函数值， ∵当时，， ∴当时，． 故选：C． 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 7. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【详解】根据韦达定理，得：， 则=2-1=1. 故选：A. 8. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数． 【详解】解：如图，设AD与BC交于点F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 9. 如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A. 10m或5m B. 5m或8m C. 10m D. 5m 【答案】C 【解析】 【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米， 根据题意得：（30﹣2x）x＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10． 当x＝5时，30﹣2x＝20＞15， ∴x＝5舍去． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（ 　　） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋BC＝4，m＝AB×BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去），则BC＝，然后计算m的值． 【详解】∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝m， 即AB＋BC＝4，m＝AB×BC， ∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝3， 在Rt△ABE中，AE＝AD−DE＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB， ∴AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去）， ∴BC＝8−2AB＝， ∴m＝××＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 12. 如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到三角形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出、，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，旋转角为， ∴， ∴轴， ∵等边的边长为2， ∴， ∵， ∴，， 又∵在第四象限， ∴点的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 13. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________ 【答案】-1 【解析】 【详解】由二次函数的定义可知自变量的最高指数为2，且系数不等于0，可得3a2-1=2；解得a=±1；又因a-1≠0；即a≠1；最终可求得a=-1． 故答案为-1. 点睛：此题主要考查了二次函数的概念，由二次函数的定义可知自变量的最高指数为2，且系数不等于0，列出方程与不等式解答是关键. 14. 抛物线的对称轴是直线，则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：，对称轴是直线， ，即，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线是解题的关键． 15. 若a是方程的一个根，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论： ①；②；③； ④若，，是该抛物线上的三点，则； ⑤（t为实数）． 其中正确结论的序号有__________． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据抛物线的对称轴可对结论①进行判断；根据抛物线与轴的两个交点坐标的位置可判断出抛物线与轴交点的位置，进而可对结论②进行判断；根据抛物线与轴的两个交点坐标的位置可判断出点的位置，进而可对结论③进行判断；根据抛物线的开口向下，且对称轴为直线可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，据此可对结论④进行判定；根据抛物线的对称轴可求出顶点坐标为，由此可判定为抛物线的最大值，据此可对结论⑤进行判断，进而可得出答案． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线， ， ，故结论①正确； ②抛物线的开口向下，与轴的一个交点在和之间， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 抛物线与轴的交点在负半轴上， ，故结论②错误； ③对于，当时，， 抛物线与轴的另一个交点在和之间，开口向下， 点在第二象限， ， 由①， ， ，即：，故结论③正确； ④抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大， ，故结论④不正确． ⑤对于，当时，，当为实数）时，， 抛物线的对称轴为直线， 点为抛物线的顶点， 又抛物线的开口向下， 为抛物线的最大值， ，即：，故结论⑤正确； 综上所述：正确的结论是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 三、解答题（本大题共9题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 18. 如图，已知点A，B的坐标分别为，，将绕点A按逆时针方向旋转得到． （1）画出； （2）直接写出点C关于原点对称的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图、关于原点中心对称的性质，根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． （1）将点C，B的坐标分别绕点A按逆时针方向旋转得到对应点，，顺次连接各点即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标特点求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 19. 某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程，难度不大． 设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，，根据该市2020年底和2022年底的充电站数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设新建充电站的数量的年平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（舍去）． 答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为． 20. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 0 1 2 …… y …… 5 0 …… （1）求该二次函数的表达式； （2）根据二次函数图象，直接写出不等式的x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，关键是求出函数的解析式． （1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）根据函数的图象，求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可知抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， ， ∴ 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 点的对称点为， 不等式的的取值范围是或． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 【答案】（1） 证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 23. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止． （1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝ cm2； （2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？ （3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？ 【答案】（1）8；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题可设出发后，符合已知条件： 在（1）中，，，，得出，即可求出经过2秒钟后的面积； 在（2）中，，，，进而可列出方程，求出答案； 在（3）中，，，，利用勾股定理和列出方程，求出答案． 【详解】解：（1）、同时出发，经过秒钟，， 当， ， 故答案是：8． （2）设出发时，则运动的时间为秒，由题意得： ， ， 解得： 因此经4秒点离点，点离点，符合题意． 答：先出发，再从出发后，． （3）设经过秒钟后，则，，， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：经过秒钟后． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍． 24. 已知关于的方程有两个相等的实数根． （1）若，求的值； （2）在中，已知点，点，点在轴上，且该方程的解是点的横坐标． ①过点作轴，交边于点，求证：的长为定值； ②求面积的最小值． 【答案】（1）1 （2）①1；②1 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式计算即可． （2）①根据方程确定点C的横坐标，判定点C的位置，统一字母表示，确定直线的解析式，再确定点D的坐标，计算的长即可． ②根据得到即，结合，计算即可． 【小问1详解】 ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 当时， ． 【小问2详解】 ①∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 点， ∵点， ∴， ∴点C在点B的左侧， ∵，， ∴，点， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，是定值． ②∵， ∴即， ∴， ∴面积的最小值为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求方程的解，一次函数的解析式，完全平方式的性质，熟练掌握根的判别式，解析式的确定，完全平方式的非负性是解题的关键． 25. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 【答案】（1）②③ （2） ①证明：连接，如图： 由旋转的性质可得：，，， ∴为等边三角形，即 由四边形的内角和性质可得： ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴四边形是勾股四边形 ② 【解析】 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对选项逐个判断即可； （2）①连接，利用旋转的性质得到，即，即可求解；②延长交延长线于点，由推出，等腰三角形的性质得到，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①平行四边形， ∵， 不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形； ②矩形，由矩形的性质可得：，所以 满足勾股四边形的定义，是勾股四边形； ③有一个角为直角的任意四边形，如图， 则： 满足勾股四边形的定义，是勾股四边形； ④有一个角为60°的菱形， ∵， 不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形； 故答案为：②③ 【小问2详解】 ①略 ②延长交延长线于点，如图： 由题意可得：， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $