精品解析：广东省清远市连南县田家炳民族中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

2023～2024九年级数学月考试题（12月） 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 下列函数是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. y＝x－4 2. 关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　） A. y的值随x的值增大而减小 B. 它的图象在第一、三象限 C. 它的图象是双曲线 D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上 3. 下列各点不在反比例函数y=的图象上的应是（　　） A. （6，-2）                  B. （6，2）         C. （3，4）         D. （-3，-4） 4. 如图，已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B.若△AOB的面积为1，则k的值为( ) A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 5. 如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(3,2),那么另一个交点的坐标为（ ） A. (2,3) B. (3,-2) C. (-3,2) D. (-3,-2) 6. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察k₁，k₂，k₃的大小关系为（　　）     A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，当______时，是的反比例函数． 12. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____． 13. 已知点（-1，a）（2，b）在反比例函数的图象上，则a_____b．（填“>”“<”“=”） 14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的腰AB经过原点，底边BC与x轴平行，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），则点C的坐标为_____． 15. 如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为_____． 16. 如图，反比例函数y（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是_____． 三、解答题（本大题4小题，17，18每小题8分，19，20每小题10分，共36分） 17. 已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时). (1)求关于的函数表达式. (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 18. 如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△ABC的面积． 19. 如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． （1）若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； （2）连接，求的最小值． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024九年级数学月考试题（12月） 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 下列函数是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. y＝x－4 【答案】B 【解析】 【分析】若符合的形式，则是反比例函数； 【详解】A．是正比例函数，本选项不符合题意； B．是反比例函数，本选项符合题意； C．是二次函数，本选项不符合题意； D．是一次函数，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的表达式，熟记反比例函数的定义是解题关键． 2. 关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　） A. y的值随x的值增大而减小 B. 它的图象在第一、三象限 C. 它的图象是双曲线 D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数y=的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析 【详解】A．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意； B．k=4＞0，图象位于一、三象限，正确，不符合题意； C．反比例函数的图像是双曲线，正确，不符合题意； D．∵ab=ba，∴若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上，故正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 3. 下列各点不在反比例函数y=的图象上的应是（　　） A. （6，-2）                  B. （6，2）         C. （3，4）         D. （-3，-4） 【答案】A 【解析】 【分析】点在双曲线函数图像上,只需横纵坐标乘积等于k即可. 【详解】解：由双曲线定义可知横纵坐标乘积等于k即表示点在双曲线函数图像上, 逐个排除ABCD选项,只有A项符合要求. 故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的性质,属于简单题,熟悉双曲线的性质是解题关键. 4. 如图，已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B.若△AOB的面积为1，则k的值为( ) A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系． 【详解】依据比例系数k的几何意义可得三角形的面积等于 解得 故选B. 【点睛】考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键. 5. 如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(3,2),那么另一个交点的坐标为（ ） A. (2,3) B. (3,-2) C. (-3,2) D. (-3,-2) 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数图象经过原点，反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，故这两个函数图象的两交点是关于原点对称的，再根据点的坐标关于原点对称的性质即可得. 【详解】由正比例函数图象和反比例函数图象的性质得，图象的两个交点是关于原点对称的 根据点的坐标关于原点对称的性质“横坐标和纵坐标均变为相反数”得：另一个交点的坐标为 故答案为：D. 【点睛】本题考查了正比例函数图象和反比函数图象的性质、以及点的坐标关于原点对称的性质.平面直角坐标系中，点变换规律如下：（1）关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即；（2）关于轴对称时，横坐标变为相反数，纵坐标不变，即；（3）关于原点对称时，横坐标和纵坐标均变为相反数，即. 6. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使成立的取值范围是或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据反比例函数的图象的性质判断函数值的大小，由反比函数可知，即可得出反比例函数分布再在一三象限，且在各自象限内随着x的增大而减小，进而可判断函数值的大小． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，且在各自象限内随着x的增大而减小， ∵在第三象限， 在第一象限， ∴，，， 又∵， ∴， ∴ 故选：D． 8. 如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称， 则△ABC的面积=2|k|=2×4=8． 故选A． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 9. 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 10. 如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察k₁，k₂，k₃的大小关系为（　　）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据图象所在的象限，判断出，再根据的图象在的图象的上方，得到，即可．掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】解：∵的图象在第二象限，，的图象在第一象限，且的图象在的图象的上方， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，当______时，是的反比例函数． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的定义，形如或的函数叫做反比例函数．据此得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在，当，即时， 是的反比例函数． 故答案为：1． 12. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积． 【详解】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3， 则四边形的面积为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 13. 已知点（-1，a）（2，b）在反比例函数的图象上，则a_____b．（填“>”“<”“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据k2≥0，则k2+1>0，把点（-1，a）（2，b）代入反比例函数解析式，求出a、b，即可求解． 【详解】解：∵无论k为何实数，k2≥0, ∴k2+1>0， 把（-1，a）代入，得a=-( k2+1)<0 把（2，b）代入，得b=>0 ∴a<b， 故答案为：<． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求得k2+1>0是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的腰AB经过原点，底边BC与x轴平行，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），则点C的坐标为_____． 【答案】（3，﹣4）． 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据等腰三角形的性质求得D的坐标，进而求得C的坐标． 【详解】解：作AD⊥BC于D， ∵BC等腰三角形ABC的底边， ∴CD＝BD， ∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4）， ∴B（﹣1，﹣4）， ∴D（1，﹣4）， ∴BD＝2， ∴CD＝BD＝2， ∴C（3，﹣4）， 故答案为（3，﹣4）． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及反比例函数的图象与性质． 15. 如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，而围成的三角形的面积为． 由于是同一双曲线的点，则围成的三角形虽然形状不同，但是面积均为． 【详解】设双曲线的解析式为, 则，，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，反比例函数y（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是_____． 【答案】（2，2）或（2，6）或（6，-2） 【解析】 【分析】由图象过点A求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标（4，2），利用中点公式求点D的坐标． 【详解】解：∵反比例函数y（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4) ∴k=2×4=8 ∴反比例函数解析式为 ∵点B(4，0)，BC⊥x轴，交反比例函数的图象于点C ∴当x=4时，y=2 即点C的坐标为（4，2） 令点D的坐标为（x，y） ①当AB，CD为对角线时 解得 ∴点D的坐标为（2，2） ②当AC，BD为对角线时 解得 ∴点D的坐标为（2，6） ③当AD，BC为对角线时 解得 ∴点D的坐标为（6，-2） 综上可知，点D的坐标为（2，2）或（2，6）或（6，-2） 故答案为：（2，2）或（2，6）或（6，-2）. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求两函数的交点坐标，利用中点公式分情况求构成平行四边形的点坐标． 三、解答题（本大题4小题，17，18每小题8分，19，20每小题10分，共36分） 17. 已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时). (1)求关于的函数表达式. (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】(1)v=；(2)平均每小时至少要卸货20吨． 【解析】 【分析】（1）直接利用vt=100进而得出答案； （2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案． 【详解】(1)由题意可得：100=vt， 则； (2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴t≤5， 则v≥=20， 答：平均每小时至少要卸货20吨． 【点睛】考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 18. 如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝2x+1，y＝ （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用直线的解析式求得点A坐标，利用坐标表示出线段CA，BC的长度，利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 ∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3）， ∴a+1＝3， ∴a＝2． ∴一次函数的解析式为y＝2x+1， ∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3）， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝． 【小问2详解】 令y＝0，则2x+1＝0， ∴x＝﹣． ∴A（﹣，0）． ∴OA＝． ∵BC⊥x轴于点C，B（1，3）， ∴OC＝1，BC＝3． ∴AC＝1＝． ∴△ABC的面积＝×AC•BC＝． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 19. 如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． （1）若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； （2）连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，设点的纵坐标为，根据列方程，求出，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，得到的最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，， ， 点在反比例函数的第一象限内的图象上， ， 设点的纵坐标为， ， ， ， 点在这个反比例函数的图象上， 点的横坐标为， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，连接， 则，， ， 的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象和性质，轴对称求最短距离，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=； （2）S△AOB=； （3）点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）将点B坐标代入直线y=x+1中，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案； （2）先求出点C的坐标，再求出点A的坐标，即可求出答案； （3）设点P的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵点B（-2，n）在直线y=x+1上， ∴n=-1， ∴B（-2，-1）， ∵点B（-2，-1）在反比例函数y=的图象上， ∴k=-2×（-1）=2， ∴反比例函数的解析式为y=； 【小问2详解】 解：∵直线AB：y=x+1①与x轴交于点C， ∴C（-1，0）， ∴OC=1， 由反比例函数的解析式为y=②， 联立①②解得，或， ∴A（1，2）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC（yA-yB）=×1×（2+1）=； 【小问3详解】 解：设P（m，0）， ∵A（1，2）， ∴OP=|m|，AP=，OA=， ∵△AOP是等腰三角形， ∴①当OP=AP时，|m|=， ∴m=， ∴P（，0）； ②当OP=OA时，|m|=， ∴m=±， ∴P（，0）或（-，0）； ③当OA=AP时，=， ∴m=0或m=2， ∴P（2，0）； 即点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $