精品解析：山西省长治市长治学院附属太行中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学题

太行中学2024—2025学年第一学期第一次月考 高一数学试题 考试时间120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 一.单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题，故A错； ∵，，∴，B正确； ，C错； ，D错； 故选:B 2. 已知a，b＞0，且ab＝1，则（　　） A. a+b＞2 B. a+b≥2 C. a+b＜﹣2 D. a+b≤﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件取特殊值可排除A，C，D，再根据基本不等式证得B正确． 【详解】因为a，b＞0，且ab＝1，则取a＝b＝1可排除A， 取a＝2，b，可排除C，D． 对于B：a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时取等， 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的性质及基本不等式的应用，考查了计算能力，属基础题． 3. 集合满足，，，则集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 4. 已知命题，.则（ ） A. 为真命题，命题的否定：， B. 为假命题，命题的否定：， C. 为真命题，命题的否定：， D. 为假命题，命题的否定：， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到命题的否定. 【详解】对方程，因为，所以方程无解. 故命题为假命题. 又因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题的否定为：，. 故选：B 5. 给定集合,则“”是“”的条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，由此得出“”是“”的何种条件. 【详解】因为，所以“”是“”的充分条件， 又因为，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查充要条件的判断，难度较易.在判断是的何种条件时，可以分两步进行：（1）判断充分性，（2）判断必要性，综合二者得到最后对应是何种条件. 6. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解. 【详解】，即， 又是的必要不充分条件， 所以， 故选：D. 7. 若，，，则的最小值为　　 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出，再化解，利用均值不等式可求最小值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 当且仅当，即时， 故选：． 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值的方法，考查均值不等式的适用条件，属于中档题． 8. 定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于， 故两个阴影部分均为， 于是， （1）若，则，， 而， 成立； （2）反之，若， 则由于，， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】运用基本不等式，应注重条件的满足“一正”，如A，B项排除；同时应关注等号成立条件是否满足，如D项；有时还要进行拼凑项，如C项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选:CD. 10. 下列表述正确的是（ ）． A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的单调性、不等式的性质等知识逐个验证选项即可． 【详解】A．如果，， 取，，，，则，故A错误； B．由于在为单调增函数， 从而若，那么，故B正确； C．如果，，则， 而在上单调递减，从而，故C正确； D．如果，则，故，故D正确． 故选：BCD． 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知集合，，若，则实数m组成的集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 命题，成立的充要条件是 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断B、C、D，根据集合的包含关系求出参数的值，即可判断A； 【详解】解：对于A：，， 若，则或或，即或或， 解得或或，即实数m组成的集合为，故A错误； 对于B：当时不等式恒成立，故B错误； 对于C：命题，为真命题，即在上成立， 令，，所以， 所以，故C正确； 对于D：若即且，所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分要条件，故D错误； 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 给出下列命题： ①，； ②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③，； ④存在一个四边形，它的对角线互相垂直. 上述命题的否定中，真命题的序号为______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先对命题进行否定，然后在进行命题的判断. 【详解】命题①否定：，.当时，成立，∴命题①否定是真命题； 命题②否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不是0. ∵15能被5整除，且末尾不为0，∴命题②否定是真命题； 命题③的否定：，.∵， ∴命题③否定是真命题； 命题④的否定：所有的四边形，它的对角线互相不垂直. 菱形是四边形且菱形的对角线相互垂直，∴命题④否定是假命题； 故答案为：①②③ 13. 能够说明“若，，均为正数，则”是真命题的一组数，可以为________，________．（写出一组即可） 【答案】 ①. 1 ②. 2（只要满足即可） 【解析】 【分析】由命题是真命题，得，进而可得. 【详解】因为命题“若，，均为正数，则”是真命题， 所以，因为，，均为正数， 所以可得，不妨取，. 故答案为：1；2. 14. 已知正数满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【详解】 ， 因为 ，所以 实数c的取值范围是. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知x>0，求函数y＝的最小值； （2）已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）将y＝，变形为y＝x＋＋5，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件. （2）根据0<x<，则1－2x>0，将y＝x(1－2x)，变形为y＝×2x(1－2x)，再利用基本不等式求解. 注意等号成立的条件. 【详解】（1）∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝即x＝2时等号成立. 故y＝ (x>0)的最小值为9. （2）∵0<x<，∴1－2x>0， ∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了变形转化的能力，属于中档题. 16. 已知集合，，，实数集为全集． （1）求， （2）如果，求的取值范围． 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的运算求解即可. （2）由得出，分类讨论，两种情况，由包含关系得出的取值范围． 【小问1详解】 因为集合，，所以. 因为或，所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，即，也即时，满足条件； 当时，由有，解得， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示； （2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合； （3）若中至多有一个元素，试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） ；（3）或. 【解析】 【分析】（1）若1∈A，则a＝﹣3，解方程可用列举法表示A； （2）若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B． （3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，②A中一个元素也没有，分别求出即可得到a的取值范围． 【详解】解：（1）∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1＝0的一个根， ∴a+2+1＝0，即a＝﹣3， 此时A＝{x|﹣3x2+2x+1＝0}． ∴x1＝1，，∴此时集合； （2）若a＝0，方程化为x+1＝0，此时方程有且仅有一个根， 若a≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4﹣4a＝0，即a＝1时， 方程有两个相等的实根x1＝x2＝﹣1，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合B＝{0，1}； （3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a＝0或a＝1， ②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1， 综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a＝0} 【点睛】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题． 考点：1、元素与集合的关系；2、集合的表示. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 【答案】（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值即可. 【小问1详解】 由题意得，所用篱笆总长为， 因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. 【小问2详解】 由题意得，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是. 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若比远离1，且，求实数的取值范围； （2）对任意两个不相等的实数，证明比远离； （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】（1） （2）证明：， , 因为，所以， 所以， 所以比远离； （3）比更远离，理由如下： 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 从而， ①时，， ， 即； ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【解析】 【分析】（1）首先由题意可知，，再根据，求解不等式； （2）由条件证明，首先去绝对值，再比较大小； （3）分和两种情况证明不等式. 【小问1详解】 由题意，， 因为，所以，即， 两边平方，得，解得： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2024—2025学年第一学期第一次月考 高一数学试题 考试时间120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 一.单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b＞0，且ab＝1，则（　　） A. a+b＞2 B. a+b≥2 C. a+b＜﹣2 D. a+b≤﹣2 3. 集合满足，，，则集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知命题，.则（ ） A. 为真命题，命题的否定：， B. 为假命题，命题的否定：， C. 为真命题，命题的否定：， D. 为假命题，命题的否定：， 5. 给定集合,则“”是“”的条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则的最小值为　　 A. 2 B. C. D. 8. 定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列表述正确的是（ ）． A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，那么 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知集合，，若，则实数m组成的集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 命题，成立的充要条件是 D. “”是“”的充分不必要条件 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 给出下列命题： ①，； ②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③，； ④存在一个四边形，它的对角线互相垂直. 上述命题的否定中，真命题的序号为______. 13. 能够说明“若，，均为正数，则”是真命题的一组数，可以为________，________．（写出一组即可） 14. 已知正数满足，则的取值范围是_____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知x>0，求函数y＝的最小值； （2）已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值. 16. 已知集合，，，实数集为全集． （1）求， （2）如果，求的取值范围． 17. 已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示； （2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合； （3）若中至多有一个元素，试求的取值范围. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若比远离1，且，求实数的取值范围； （2）对任意两个不相等的实数，证明比远离； （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $