精品解析：内蒙古包头市第四十五中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

包四十五中学2023－2024学年第一学期月考 初二数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知四个实数：，，，，是有理数的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，，是无理数， 是有理数， 故选A． 【点睛】本题考查实数，有理数等知识，解题的关键是理解实数的分类，属于中考常考题型． 2. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 3. 等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，， 则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键． 4. 如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，即可求出正方形的面积． 【详解】解：， ， 正方形的面积． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，运用勾股定理求出的长是解答本题的关键． 5. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对选项A和B进行判断，根据二次根式的除法法则对选项C进行判断，根据二次根式的性质对选项D进行判断，最后得出答案即可． 【详解】解∶ A．与不能合并，所以A选项的计算错误； B．，所以B选项的计算正确； C．=，所以C选项的计算正确； D．，所以D选项的计算正确； 故选∶A． 【点睛】本题考查了二次根式的计算∶先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 6. 已知m=，则以下对m的估算正确的（　　） A. 2＜m＜3 B. 3＜m＜4 C. 4＜m＜5 D. 5＜m＜6 【答案】B 【解析】 【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵m==2+， 1＜＜2， ∴3＜m＜4， 故选B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 0.25的平方根是0.5 B. 没有立方根 C. 0的平方根和立方根都是0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据一个数的平方是a，那么这个数叫做a的平方根；一个数的立方是a，那么这个数叫做a的立方根进行分析即可． 【详解】解：A. 0.25的平方根是，故A错误． B.任何数都有立方根，故B错误． C. 0的平方根和立方根都是0，故C正确． D.，，故D错误． 故选：C． 8. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误； B、，与不是同类二次根式，故此选项错误； C、与不是同类二次根式，故此选项错误； D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式． 9. 如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ） ​ A. 北偏东40° B. 北偏东50° C. 东偏北60° D. 东偏北70° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由题意得：， ∴点B在点O的北偏东50°方向， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到． 10. 如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　) A. 12 cm B. 11 cm C. 10 cm D. 9 cm 【答案】C 【解析】 【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB==10（cm）. 故选C. 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 的立方根是3，则的值是 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据立方根的定义得到，即可求出的值． 【详解】的立方根是3 解得， 故答案为：10． 【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 14. 在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，平移性质，由题意得，，，根据勾股定理得，然后利用平移性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， 根据平移性质可得地毯的长度至少需， 故答案为：． 15. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】由数轴得到a﹣2＜0，然后化简原式即可． 【详解】解：由数轴可知，0＜a＜2， ∴a﹣2＜0， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，以及数轴的相关内容，注意，是解题的关键． 17. 已知x，y为实数，且，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性和运算，被开方数非负得到，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点均在正方形格点上，则下列结论：①；②；③；④点到直线的距离是2．其中正确的有______（将正确答案的序号填在横线上）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用勾股定理即可判断①；利用勾股定理的逆定理即可判断②；利用割补法求出的面积进而求出点A到直线的距离即可判断③④． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵， ∴点A到直线的距离是， ∴结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，点到直线的距离，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题（共46分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握一个数的平方是，叫做的平方根，一个数的立方为，叫做的立方根，是解题的关键． （1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【小问1详解】 解：， ∵， 解得：或； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， 解得：． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算除法，最后算加减即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 21. 已知一个正数m的两个平方根为和． （1）求m，n的值； （2），的平方根是多少？ 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵正数m的平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴，, ∴； 【小问2详解】 由（1）得：， ∵， ∴，， ， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 22. 如图，在中，D是上的一点，已知，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． ∴是直角三角形． （2）13 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理逆定理证明即可； （2）先说明是直角三角形，然后运用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形， ∴， ∴． 在中， ． ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，证得是直角三角形是解答本题的关键． 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：为直角三角形． 理由如下：由题意， ， ， ， ∴， ∴，为直角三角形． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状； （2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键. 24. 如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【解析】 【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包四十五中学2023－2024学年第一学期月考 初二数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知四个实数：，，，，是有理数的是（　　）． A. B. C. D. 2. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 3. 等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知m=，则以下对m的估算正确的（　　） A. 2＜m＜3 B. 3＜m＜4 C. 4＜m＜5 D. 5＜m＜6 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 0.25的平方根是0.5 B. 没有立方根 C. 0的平方根和立方根都是0 D. 8. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 9. 如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ） ​ A. 北偏东40° B. 北偏东50° C. 东偏北60° D. 东偏北70° 10. 如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　) A. 12 cm B. 11 cm C. 10 cm D. 9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 4的平方根是_______． 12. 的立方根是3，则的值是 _____． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______． 14. 在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需______． 15. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 16. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简＝___． 17. 已知x，y为实数，且，则______． 18. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点均在正方形格点上，则下列结论：①；②；③；④点到直线的距离是2．其中正确的有______（将正确答案的序号填在横线上）． 三、解答题（共46分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 已知一个正数m的两个平方根为和． （1）求m，n的值； （2），的平方根是多少？ 22. 如图，在中，D是上的一点，已知，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 24. 如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $