精品解析：安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高三上学期10月教学质量诊断测试数学试题

芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解化简集合，，利用交集的运算求即可. 【详解】因为， 则， 故选：C 2. 一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图圆心角为（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，母线为，根据题意可得，代入圆心角公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面半径为，母线为，则圆锥的侧面积为， 由题意得，解得， 所以圆锥底面圆的周长即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 所以该扇形的圆心角. 故选：D 3. 函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（ ） A. B. 1 C. 9 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用，求得，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函数的最值. 【详解】因为函数， 所以， 因为在时取得极值， 所以，解得， 所以，， ， 令，则，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值为. 故选：C. 4. 《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 5. 已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把方程仅有4个不相等的实数根，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， ∴实数的取值范围是. 故选:A. 6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 7. 已知定义在上的函数满足，当时，.若对任意，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性，结合函数图象进行求解即可. 【详解】当时，， 且定义在上的函数满足， 所以函数的大致图象为 因为，， 所以，， 所以由，可得， 当时，由的， 所以对任意，都有， 得实数的取值范围为，则实数的最大值为. 故选：B. 8. 设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得， 从而，， 构造函数，有单调性得，再化简得， 再构造函数，求得最大值即可. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 即， 设函数，， ， 所以函数在为增函数， 所以所以， 设函数， ， 所以函数在为增函数，在为减函数， 所以， 所以的最大值为， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设．且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合不等式的性质、基本不等式求得正确答案. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，设，则，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时满足，，所以，故D正确． 故选：ACD 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 的解集为 C. ，都有 D. 函数有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】由奇偶性求出当时函数的解析式，即可判断A，分类讨论解不等式，即可判断B，由于的值域为，所以，都有，即可判断C，由，，又，即可判断D. 【详解】时，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，故A错误； 当时，由，得， 当时，由，得； 所以的解集为，故B正确； 当时，，， 令，则， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以， 且当时，，， 当时，，， 令，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 且当时，，， 所以的值域为，， 所以，都有，故C正确； 因为，，又，所以有3个零点，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先令，参变分离化简，得，我们将题中函数零点个数问题转化为，函数交点问题，然后求得a的取值范围；利用图像可知两个零点的大小关系，然后去验证两个关系即可；然后利用两个的关系，利用基本不等式判断；假设正确，利用零点与的关系消元，然后利用不等式性质以及构造函数证明即可. 【详解】令， 令， 由题可知，，， 令，得， 显然，当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； ，得示意图 所以都符合题意，故A错误； 由示意图可知 ， 显然， 当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等， 因为，所以互为倒数，即，故B正确； ， 等且仅当时等号成立， 因为，所以，故C正确； 因为，要证， 即证， 因为，所以， 即证， 我们分别证明，， 证明： 因为， 所以， 证明： 要证，即证， 不妨设，得， 显然，当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 故，故，即， 所以证得，即证得， 即得，故选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：零点问题解决的关键是转化，有变量的式子，我们经常参变分离，然后将零点问题转化为两个函数的交点问题，画图判断即可；对于选择题中的一些选项，我们可以假设正确，然后验证即可；题中存在多个变量，我们经常需要找到变量之间的关系，然后消元，变成一个变量，然后解决即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以由三角函数的定义可得：， . 故答案为： 13. 已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可. 【详解】设曲线与的切点分别为，， 因为，，则两切线斜率，， 所以，， 所以，所以， 即， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合结合集合交集、补集运算即可； （2）确定，即可求解. 【小问1详解】 所以或 所以 【小问2详解】 因为，所以， 则即，需满足且，解得 所以实数a的范围是. 16. 已知函数． （1）若函数，判断的值域； （2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）为非奇非偶函数；值域为；（2） 【解析】 【分析】（1）根据定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数；利用分离常数的方式可知，根据的范围求得，从而得到的值域；（2）将问题转化为有实根；构造，根据复合函数单调性求得单调性，根据单调性求得的值域，进而得到的范围. 【详解】（1）由得定义域为： 因此定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数 由题意知： 当时， 所以 所以函数的值域为 （2）方程有实根，即有实根 构造函数 则 因为函数在上单调递减，而在上单调递增 所以复合函数是上的单调递减函数 所以在上最小值为，最大值为 即，所以当时，方程有实根 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方程根的个数的问题，关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题，通过求解值域得到结果. 17. 已知在处的切线方程为． （1）求函数的解析式： （2）是的导函数，证明：对任意，都有． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，， 所以， 令， 则， 所以时，， 即在上单调递减， 所以，即， 所以，即 【解析】 【分析】（1）根据条件得到关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，令，然后求导得到其在上的最大值，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，，且，则， 即，即，所以 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：是函数的两个零点，则有①，②， ①-②得，即， ， 因为有两个零点，所以不单调， 因为，得， 所以． 若要证明成立， 只需证， 即证，令，则， 则不等式只需证， 即证， 令， ，令， 令，因为，得在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 所以有， 故有，不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求导，对进行分类讨论的单调性； （2）利用方程组，得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明. 【小问1详解】 ． ①当时，在上单调递增． ②当时，令得，即在上单调递增； 同理，令得，即在上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 若使有两个零点，则，即，解得， 且，当时，，则有， 所以的取值范围为． （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明. 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 【答案】（1） 设函数为恒切函数，则有， 使且，即， 解得，故函数是恒切函数. （2）（i）； （ii）当时，， 函数为恒切函数.又， 所以存在，使得，即. 令，则， 当时，递减；当时，递增. 所以当时， ，， 故在上存在唯一， 使得，即. 又由， 得， 由得，所以. 又，所以当时，有唯一零点， 故由得，即. . 【解析】 【分析】（1）对求导，利用恒切函数的定义求出，即可判断； （2）（i）根据恒切函数的定义解方程，用表示，再利用导数即可求解的取值范围； （ii）由的值可得的值，从而可得的解析式，利用新定义，可得，令，求出的取值范围，由，从而可得的取值范围，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由函数为恒切函数可知， 存在，使得且， 即解得，， 设，， 当时，递增；当时，递减. ，即实数的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着很好的效果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图圆心角为（    ）． A. B. C. D. 3. 函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（ ） A. B. 1 C. 9 D. 4 4. 《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，当时，.若对任意，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设．且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 的解集为 C. ，都有 D. 函数有2个零点 11. 已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则______. 13. 已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______. 14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 16. 已知函数． （1）若函数，判断的值域； （2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围. 17. 已知在处的切线方程为． （1）求函数的解析式： （2）是的导函数，证明：对任意，都有． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $