福建省福州恒一高级中学（烟台山校区）2024-2025学年高三上学期第一次月考（10月）数学试题

2024-2025学年第一学期高三第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：150分；命题人：李鸿铭；审核人：陈群琼 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点对称 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则实数__________. 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在内的所有根之和为__________. 14. 已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的角平分线与交于点，求． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线在处的切线方程； （3）当时，试讨论函数的零点个数． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高三第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：150分；命题人：李鸿铭；审核人：陈群琼 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两集合的交集定义即得. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出，再求出复数的模. 【详解】复数，则， 所以. 故选：D 3. 下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案. 【详解】对A：因为函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 对B：，所以函数为偶函数，故B错误； 对C：根据正切函数的性质可知，函数在不具有单调性，故C错误； 对D：函数的定义域为，，故函数为奇函数， 又，所以函数在上单调递增. 故选：D 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可. 【详解】， 若函数在上单调递增， 则在上恒成立， 故在上恒成立， 故. 故选：B 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分段函数一侧的单调性，确定另一侧的单调性，再比较分界点处函数值的大小，求实数的取值范围. 【详解】因为函数在上是单调函数，并且当时，， ，所以函数在单调递增，所以时，也是增函数，所以，即， 并且在分界点处需满足当时，， 解得：， 综上可知 实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型. 8. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解. 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 则不等式，可变形为， 因为函数在上单调递增， 则不等式成立，则， 解得，1，2符合题意， 故选：CD. 10. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D. 【详解】对于A，函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故1是的极小值点，故A正确： 对于B，因为， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，，易知的单调性一致，而， 故至多有2个零点，故C错误； 对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点对称 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假. 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象， 又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则， 又为的导函数，所以，即，则， 又为奇函数，所以，即， 由上得，故，故， 即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于， 故，即，故4是的一个周期， 又，即，所以为周期为4的周期函数， 因为，令可得，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是上的奇函数，故，结合得， ， 故，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：（1）若函数为奇函数，则，两边求导，可得，所以为偶函数.即奇函数的导函数为偶函数； （2）若函数为偶函数，则，两边求导，可得，所以为奇函数.即偶函数的导函数为奇函数. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解. 【详解】定义域为， ， 所以， 故， 故答案为： 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在内的所有根之和为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】结合已知条件画出图象，由与图象交点的特征求得方程在内的所有根之和. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 又函数在为奇函数，且当时，， 由此画出在区间上的图象如下图所示. ， 由图可知，与图象的个交点， 其中两个关于直线对称，两个关于直线对称， 所以方程在内的所有根之和为. 故答案为： 14. 已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】切点为，则求导后可得斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图像交点的个数，结合图像即可得出答案． 【详解】设切点为．由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图像交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增 当x趋近于正无穷，趋近于0，当x趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图像如下图，且， 要使与的图像有三个交点，则． 则m的取值范围是：． 【点睛】方法点睛：由函数过某点处的切线条数求参的一般方法如下: （1）首先设切点，求导得切线斜率； （2）切线方程为：； （3）代入点构建方程； （4）利用函数与方程的思想处理由方程解的个数求参. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）1 （2）函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数； （2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值. 【小问1详解】 由可得：， 由题意，，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，则， 当时，，则在上是减函数； 当时，，在上是增函数. 故时，函数有极小值为，无极大值. 故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的角平分线与交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，结合同角关系式求解； （2）利用得出边的关系，从而求，再由余弦定理求得的可得结论． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 又三角形中，所以，而， 所以． 【小问2详解】 解法一：如图，由题意得，， 所以，即， 又，所以， 所以，即， 所以． 解法二：如图，中，因为， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线在处的切线方程； （3）当时，试讨论函数的零点个数． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分，两种情况，讨论的正负性可得单调性； （2）由题可得：，后由点斜式可得切线方程； （3）将的零点个数可看作直线与曲线图象的交点个数，后由导数知识研究函数的单调性，画出的大致图象，即可得答案； 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由，则，得， 曲线在处的切线的斜率为 故曲线在处的切线的方程为， 即； 【小问3详解】 由于，即， 即的零点个数可看作直线与曲线图象的交点个数问题； 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故， 当时，，当时，， 当趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷时，趋向于， 作出函数的图象如图： 当，即时，直线与曲线图象有个交点， 当，即时，直线与曲线图象有个交点， 当，即时，直线与曲线图象无交点， 故时，函数的零点个数是；时，函数的零点个数是； 时，函数的零点个数是； 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用零点存在性定理结合单调性处理，或将零点问题转化为直线与函数图象交点问题. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导得，对分和来讨论的单调性即可； （2）要证，只需证，结合（1）的结论得，即证恒成立. 令，利用导数求出的最大值即可得证. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， ①当时，在上单调递增； ②当时， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，要证，只需证， 由（1）得，， 即证恒成立. 令，则 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的最大值为，即. 恒成立，原命题得证. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 函数是上的“双中值函数”．理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①； ②不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②略 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $