精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025届高三上学期10月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高三2024年10月份月考数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可解答. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次不等式与一元二次不等式求得集合，进而可求得. 【详解】， 或， 所以或=. 故选：D. 3. 设是定义域为R奇函数，且.若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性与已知关系，证明是周期函数，利用函数周期性与奇偶性结合已知条件，求函数值即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 则，故是以为周期的周期函数， 由，则. 故选：B. 4. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】函数是R上的增函数， ，解得. 故选：D. 5. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得到，令，从而将问题转化成求在区间上的最值，即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是，， 故选：B. 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 7. 已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意表示出与，令，，，结合题目所给条件列式求解，再由两式化简可推导出的周期为，从而代入计算. 【详解】因为为奇函数，所以①； 又为偶函数，所以②； 令，由②得：，又， 所以，得， 令，由①得：； 令，由②得：， 所以. 得时，， 结合①②得，， 所以函数的周期为，所以. 故选：B 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数在上单调递增， 则，， 则. 故选：A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，可判断A；B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B；C选项，由，可求定义域判断C；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足，当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立， 当时，由对一切实数恒成立， 可得，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是， 所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确； C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，C说法不正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故， 则，故，D说法不正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的定义域为，若满足，且函数图像关于中心对称，则（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由对称性可得，再结合题中函数关系及可得A正确；由及累加可得B正确；由周期性可得C错误；由对称性和累加可得D正确； 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且函数图像关于中心对称， 所以， 又， 所以， 取可得， 又，所以，故A正确； 对于B，由可得， 累加之后可得，故B正确； 对于C，由和可得周期不是2024，故C错误； 对于D，由函数图像关于中心对称，且，， 所以， 由B的累加可得，故D正确； 故选：ABD. 11. 设函数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数的图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，进而结合导数分析单调性，得到恒成立，从而判断A；分析可得函数与互为反函数，图象关于直线对称，结合图象即可判断B；表示出函数图象上的点与原点距离，进而结合基本不等式求解判断C；令，进而结合导数分析单调性，从而判断D. 【详解】对于A，设， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即恒成立，故A错误； 对于B，函数，则，即， 所以函数与互为反函数，图象关于直线对称， 且直线为函数与唯一的公切线，故B正确； 对于C，函数图象上的点与原点距离为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数图象上的点与原点距离的最小值为，故C错误； 对于D，令， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得极小值，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设函数，若成立的充分条件为，则实数m的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，然后利用求解的范围，由得，即可根据充分条件列不等式求解. 【详解】利用倍角公式、诱导公式化简，利用其单调性可得的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出． 函数 ， ，，,． 成立的充分条件是, 故成立的充分条件为， 且，即． 则实数的取值范围为． 故答案为：． 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 14. 若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为______，在上的零点个数为______． 【答案】 ①. ②. 350 【解析】 【分析】对于求函数的最小正周期，有公式，我们需要根据已知条件求出的值.再令，即，解出，再根据区间确定个数. 【详解】令，得，则． 令，得，则． 令，得，则． 因为，所以，解得． 所以的最小正周期为． 当时，， 令，得， 所以在上的零点个数为350． 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，对，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集. （2）利用函数的思想构造函数，借助二次函数分类讨论求函数的值域，进而列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 令，解得或， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为， 所以当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得， 令，依题意，，取值集合包含于， 而，当，即时，上单调递增，则，无解； 当，即时，则，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 若二次函数对任意都满足，其最小值为，且有 （1）求的解析式； （2）解关于的不等式； （3）设函数，求在区间的最小值. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的解析式，代入条件运算得解； （2）将代入，对其对应方程的两根大小讨论得解； （3）求得的解析式和对称轴，根据对称轴和区间的位置关系进行分类讨论，根据二次函数的单调性结合对称轴，求得函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 由，则对称轴为，且最小值为， 所以设，，又， ，解得， . 小问2详解】 由（1），，即， 其对应方程的根为， 当即时，解不等式得或， 当即时，解不等式得， 当即时，解不等式得或， 综上，不等式的解集为： 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【小问3详解】 由（1），，对称轴，， 当即时，在上单调递增，则； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当即时，在上单调递减，则. . 17. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式. （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【小问1详解】 函数中，，由是奇函数，得， 即，整理得，解得， 函数定义域为， 由，得，即，整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递增， 故当时，， 由（1）得在的值域， 又， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若时，不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论，求出函数的单调区间. （2）根据给定条件，将不等式分离参数得，再构造函数，，利用导数求出函数的最大值即可. 【小问1详解】 函数，求导得，由，得， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增. 【小问2详解】 依题意，不等式在时有解，即在时有解， 令，，求导得， 由，得；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 19. 已知集合，若存在数阵满足：①；②；则称为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个好数阵，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值； （2）先证是不同于的“好数阵”，再证、，列举两个“好数阵”，即可证明； （3）假设为“好集合”，根据新定义可得，证明不是偶数即可求解. 【小问1详解】 ，由“好数阵”的定义， 知，， 故，，，，进一步得到. 从而，，. 【小问2详解】 如果是一个“好数阵”， 则，. 从而， . 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应. 对于“好数阵”， 已证数阵和是不同的数阵， 故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则； 如果，则.所以，当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. 【小问3详解】 若是“好数阵”， 则 ， 所以， 这表明一定是偶数. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新蔡县第一高级中学高三2024年10月份月考数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义域为R奇函数，且.若，则（ ）. A. B. C. D. 4. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 10. 已知函数的定义域为，若满足，且函数图像关于中心对称，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数的图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设函数，若成立的充分条件为，则实数m的取值范围是_________. 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 14. 若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为______，在上的零点个数为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求不等式解集； （2）若，对，使得成立，求取值范围. 16. 若二次函数对任意都满足，其最小值为，且有 （1）求解析式； （2）解关于的不等式； （3）设函数，求在区间的最小值. 17. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）讨论在区间上单调性； （2）若时，不等式有解，求的取值范围. 19. 已知集合，若存在数阵满足：①；②；则称为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个好数阵，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$