第十九章 几何证明【单元卷·测试卷】-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十九章 几何证明【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（ ） A．16 B．18 C．26 D．28 3．如图，在中，，平分，交于点，，，则点到的距离为（　　）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 6．如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如图，在 中，，，， ． 8．已知，两点之间的距离为，则实数 ． 9．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 10．中，，，作线段的垂直平分线交于D，交于E，，则 ．    11．如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 12．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 13．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． 14．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 15．如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 16．已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ． 17．我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”，现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是 ． 18．在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 20．已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 21．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 22．如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 23．如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 24．小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 25．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 几何证明【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 2．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（ ） A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 利用线垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵为中边的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 3．如图，在中，，平分，交于点，，，则点到的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 由条件可先求得的长，再根据角平分线的性质可知到的距离等于，可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴点到线段的距离为， 故选：D． 4．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【详解】解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 5．在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解答：解：， ， 故A能，不符合题意； ，， ， ， 故B能，不符合题意； ，， ， 故C不能，符合题意； ， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 6．如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，连接，作于点，于点，先证明，根据条件算出的面积，再求出与的比值即可解决问题． 【详解】设与相交于点，连接，作于点，于点，如图所示：       ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即和重叠部分的面积为， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 8．已知，两点之间的距离为，则实数 ． 【答案】或/或8 【分析】本题考查平面上两点间距离公式，掌握两点间距离公式是解题关键． 由两点间距离公式列式求解． 【详解】解：由题意， 解得：． 故答案为：或． 9．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，过作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：过作于， 是边上的高，平分，， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：20． 10．中，，，作线段的垂直平分线交于D，交于E，，则 ．    【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，连接，由线段垂直平分线的性质可求出，进而得，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接，    ∵作线段的垂直平分线交于D， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：1． 11．如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 【答案】40 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】解：∵垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处， 折断部分长为， 折断之前的高度为（米）， 故答案为：8． 13．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】过点C作，交于点E，交于点F，则有，结合正方形的性质得和，进一步可得，即可证，有，利用勾股定理求得，即可求得正方形的面积． 【详解】解：过点C作，交于点E，交于点F，如图， ∵直线，， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用平行线的性质和构造全等三角形． 14．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 15．如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：． 16．已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ． 【答案】24或 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图）    利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 17．我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”，现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是 ． 【答案】2或2 【分析】本题考查了新定义：“奇异四边形”，勾股定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质等；分类讨论：（1）当时，设，可得，，由全等三角形的性质得，，，由等腰三角形的判定及性质得，由的等积转换得，由勾股定理得，求出值，即可求解；（2）当时，设，且，，同理可求； 理解新定义，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（1）当时， 如图1所示： 设， ，， ， ， ，， 是等腰三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得：， 在中， ， ， 解得： 或， 或（舍去）， ， ； （2）当时，设，且， ，如图1所示： 同理可求得： 或， 或（舍去）， ∵， ； 综合所述，另一条直角边的长为或， 故答案：或． 18．在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 20．已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，得出，根据，，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，且， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中 ， ∴，     ∴，         ∵， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 21．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数； （2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ， 是的垂直平分线， ，， ； （2）解：是的垂直平分线，， ，， ， ． 22．如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【答案】点到地面的垂直距离 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故点到地面的垂直距离． 23．如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得出，从而可证明，得出，，得出，即可推出结论； （2）根据等面积法求出的长，从而得出的长，得出的面积，可推出结果． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又，平分， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 由（1）知，， 的面积为． 24．小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了两点间距离公式、勾股定理、轴对称求最短路线等知识． （1）根据题意把代数式变形后写出答案即可； （2）代数式变形后所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，设点A关于x轴的对称点为，则,要求的最小值，只要求的最小值，当三点共线时，取最小值，即为线段的长，进一步求出答案即可． 【详解】（1）解：或 ∴代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为或， 故答案为：或 （2）∵ 即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，如图所示： 设点A关于x轴的对称点为，则, ∴要求的最小值，只要求的最小值， 当三点共线时，取最小值，即为线段的长， 如图，过点B作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，相交于点C，则 ， ∴， 即代数式的最小值为． 25．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$