精品解析：河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题

2025届高三10月大联考（新课标卷） 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，则（ ） A. 6 B. C. 5 D. 4. 已知，为非零向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则曲线在点处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小值为，则（ ） A. 直线为图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递减 C. 将的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 D. 当时，的值域为，则的取值范围为 11. 已知函数对任意实数都有，且，，则（ ） A B. C. D. 对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，且，则______. 13. 已知为锐角且，则______. 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）证明：是周期函数； （2）求的单调递增区间. 16. 在平面四边形中，，，且. （1）求的长； （2）若为的中点，求. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，向量，，且，所在平面内存在点，满足. （1）判断否为等腰三角形； （2）当时，求的面积； 18 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：当时，. 19. 阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）证明：对任意，，不等式恒成立； （2）设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： （3）设函数，若点是曲线一个拐点，且，其中，试证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三10月大联考（新课标卷） 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】集合，则，而， 所以. 故选：B 2. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式不等式化简可得或，即可根据真子集关系求解. 【详解】由可得，解得或， 设不等式成立的一个必要不充分条件构成的集合是, 则是的一个真子集，结合选项可知可以为， 故选：D 3. 已知函数，，则（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由里往外代入即可求解. 【详解】,, 故， 故选：A. 4. 已知，为非零向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由模长的坐标表示可得，再结合投影向量的定义分析求解. 【详解】由题意可得：， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 5. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简求解. 【详解】由题意可知， ， 故选：A 6. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【详解】函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线为，即， 该切线交轴于点，交轴于点， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D 7. 已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用方程组法求出的解析式，结合的奇偶性将上的零点和转化为上的零点和问题，令，转化为，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果. 【详解】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， ，，作出和在同一坐标系中的图象， 可知在内的零点有和两个， 故. 故选：B. 8. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出，再利用单调递增区间求出范围. 【详解】依题意，，而，则，， 由对任意，都有， 得函数在上单调递增， 当时，， 而余弦函数的递增区间为：， 则， 于是，解得，显然， 即，而，因此或， 所以的取值范围是或. 故选：C 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A；举例说明判断B；利用指数函数、幂函数单调性判断C；作差变形判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得函数在R上递减，在上递增，则，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的最小值为，则（ ） A. 直线为图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递减 C. 将的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 D. 当时，的值域为，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出，进而求出，再逐项分析判断即可. 【详解】函数， 其中由确定，依题意，，整理得， 而，解得，因此， 对于A，，即直线不是图象的对称轴，A错误； 对于B，当时，，而正弦函数在上递减， 因此在区间上单调递减，B正确； 对于C，是偶函数，C错误； 对于D，当时，的值域为，则当时， ，因此，解得，D正确. 故选：BD 11. 已知函数对任意实数都有，且，，则（ ） A. B. C. D. 对任意，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得. 【详解】对任意实数都有，且， 对于A，令，得，则，A正确； 对于B，令，得， 因此，B正确； 对于C，由，得，即函数是周期为4的周期函数， 又，即， 因此，C错误； 对于D，由，得， 又是周期为4的周期函数， 因此对任意，都有，即，D正确 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得. 【详解】依题意，，而，，且， 则，所以. 故答案为： 13. 已知为锐角且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据和差角公式以及二倍角公式化简可得，即可利用辅助角公式求解. 【详解】由可得， 由于为锐角，所以，故， 进而可得， 故， 故答案为： 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式可化为，利用为上的增函数可得对任意恒成立，结合参变分离可求的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 也就是， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 故原不等式即为，故对任意恒成立， 故对任意恒成立， 设，则， 设，则， 故在上为减函数，而， 故当时，即，故在上为增函数； 当时，即，故在上减函数， 故，故， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）证明：是周期函数； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得，利用三角函数周期性即可证明得出结论； （2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果. 【小问1详解】 由可得； 易知， 所以， 即可知是以为周期的周期函数 【小问2详解】 由复合函数单调性可知求得的单调递增区间即可； 易知恒成立，可得函数的定义域为； 因此只需，解得； 即的单调递增区间为. 16. 在平面四边形中，，，且. （1）求的长； （2）若为的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）在与中，由余弦定理分别求出与，然后在中，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 在三角形中，，， 所以由余弦定理得：， 所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 在三角形中，，所以， 所以， 所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以， 所以在中，由余弦定理得：. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，向量，，且，所在平面内存在点，满足. （1）判断是否为等腰三角形； （2）当时，求的面积； 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断； （2）画出图，在中，由正弦定理求出与，设，则求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，由正弦定理角化边得， 由余弦定理得：， 所以整理得：， 所以，所以，所以， 故是等腰三角形. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得： ，所以，， 当时，，如图， 所以在中，，，， 所以. 18. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：当时，. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （2）构造函数，利用导数证得，再利用函数单调性信不等式性质推理即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，，令， 依题意，恒成立，，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，，于是， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，令，求导得，函数上单调递增， 则，即，因此，， 令，求导得，即函数在上单调递增， ，即，于是， 所以. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 19. 阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）证明：对任意，，不等式恒成立； （2）设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： （3）设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证. （2）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可. （3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数，利用导数探讨单调性可得，再结合给定条件及函数的单调性推理即得. 【小问1详解】 当或时，不等式成立，令函数， ，，因此函数是上凸函数， 则对任意，，即， 所以对任意，，不等式恒成立. 【小问2详解】 函数，则，， 由点是曲线的拐点，得当时值与当时值符号相反， 因此，又，解得； ， ， 所以的图象关于拐点中心对称. 【小问3详解】 函数的定义域为，则，， 当时，，当时，，依题意，，， 当时，，即， 令 ，， 求导得， 即函数在上单调递增，，即， 而，则，即，因此， 当时，，当且仅当时取等号， 于是函数在上单调递增，又，因此，即， 所以. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存常数a使得，则函数图象关于直线对称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$