新课标新高考模拟原创卷(一)-2024年甘肃省新高考模拟十二卷数学

2024年普通高等学校招生新课标新高考卷(一) 本卷满分150分,考试时间120分钟。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若(1+i)z=3-i3,则z·z= ( ) A.3 B.5-4i C.5+4i D.5 2.设A,B 是两个非空集合,定义运算 A×B={x|x∈A∪B 且x∉A∩B},已知 A= x y= 1 2x-x2 ,B={y|y=ex,x>0},则A×B= ( ) A.(0,1]∪[2,+∞) B.[0,1)∪[2,+∞) C.[0,1] D.[0,2] 3.函数f(x)= 1 22cos 2x 2-1 ln(x2-1)的图象大致为 ( )     O x y A     O x y B     O x y C    O x y D 4.已知O 为坐标原点,点A 是圆C:(x+1)2+(y-2)2=5上的动点,延长OA 至点B,使得OB → =2OA→,则当|BC|最大时,点A 的坐标是 ( ) A.(4,2) B.(-2,4) C.(3,6) D.(6,3) 5.已知a=tan 0.02,b=ln 1.01,c=sin 0.02,则 ( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a 6.若函数的定义域为R,且满足g(x)=xf(x+2)与h(x)=f(1-x)都为奇函数,则下列选项 错误的是 ( ) A.f(2 024)=f(0) B.f(-3.5)+f(9.5)=0 C.∑ 2 024 i=1 f(i)=0 D.∑ 1 012 i=0 f(2i)=-f(0) C A P S B D 7.如图,在四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC=CD=2,SA=AD=DS =4,P 为侧棱SA 的中点,则四棱锥P-ABCD 外接球的体积为 ( ) A. 4π 3 B. 32π 3 C. 108π 3 D. 2π 3 8.已知函数f(x)= ln(1-x- -x),x≤0, 3x,x>0, 若对于任意的正数t,恒有f(a+t)>3 3 f(t),则a 的取值范围是 ( ) A.74 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 B.94,+∞ C.74 ,+∞ D.274,+∞􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin x+ 1 2 (2cos2x-1),则 ( ) A.2π是函数f(x)的一个周期 B.f(x)的图象关于直线x= π 2 对称 C.f(x)在 - π 2 ,π 2 上有两个极值点 D.f(x)的值域为 12,34􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 10.已知m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法错误的是 ( ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若m,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α C.若l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m D.若已知m⊂α,n⊂β,α∩β=l且m⊥l,m⊥n,则α⊥β 11.某校机器人社团共有16人,为备战机器人大赛分成甲乙两组,甲组有8名成员,其中5名男 生,3名女生;乙组有8名成员,其中4名男生,4名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组,再 从乙组随机抽取1人,A1 表示事件:“从甲组抽取的是男生”,A2 表示事件:“从甲组抽取的是 女生”,B 表示事件:“从乙组抽取1名女生”,则下列选项正确的是 ( ) A.A1,A2 不是对立事件 B.P(B)= 35 72 C.P(B|A1)= 5 9 D.P (B|A2)= 4 9 12.已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=6,点F1 到 一条渐近线的距离为 5,过点F2 的直线l与双曲线C 的右支交于A,B 两点,AF1⊥AB,则 下列结论正确的是 ( ) A.双曲线C 的渐近线方程为y=± 5 2x B.若P 是双曲线C 上的动点,则满足|PF2|=5的点P 共有两个 C.|AF1|=2+ 14 D.ΔABF1 内切圆的半径为 14-2 —73— 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量a=(3,-1),b=(t,1),<a,b>=45°,则b在a方向上的投影向量为 . 14.已知正项等比数列{an}的前项和为Sn,若S6=3,则S3+S9 的最小值为 . 15.x- 2x2 y (y-x)7 的展开式中x5y3 的系数为 .(用数字作答) 16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F 的直线交C 于A,B 两个不同点.若OA → ·OB→=-3,|AF|·|BF|=5,则直线的斜率为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17题10分;18 ~22题每题12分.) 17.记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知c2+ab-2b2=accos B-bccos A (1)求角C 的大小. (2)若c= 3,求2sin B-a 的取值范围. 18.已知数列{an}的前项和为Sn,且满足a1=2,Sn+1=4an-2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记bn= nan n2+3n+2 ,求数列{bn}的前n 项和Tn. —83— 19.如图,△ACD 和△BCD 都是边长为2的等边三角形,平面ACD⊥平面BCD,O 为CD 的中 点,且AO∥EB. (1)证明:EB⊥平面BCD (2)若点E 到平面ABC 的距离为25,求平面ECD 与平面BCD 夹角的正弦值. C A E B D 20.“昏旦变气候,山水含清晖。清晖能娱人,游子憺忘归。”这是我国南北朝诗人谢灵运的著名诗 句,描写了祖国的山水景色如同清灵的光芒,游历其中让人心旷神怡、流连忘返.旅游不仅可 以放松身心、缓解压力,还能丰富知识,拓宽视野更能推动经济发展.为发挥旅游资源优势,某 地举办了文化旅游系列活动,其中一项是“旅游知识竞赛”,该项目共有12 000人参加,从中随 机抽取了100名参与者并统计参赛成绩,并以此为样本绘制了频率分布直方图,如下图所示. (1)由直方图可认为答题者的成绩X 近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ 为样本平均数的估 计值,σ=9.25,试估计成绩不低于89分的人数. (2)根据筹委会的安排,参赛成绩在80分以上者颁发获奖证书,已知所有参赛者均来自于甲、 乙、丙三个地区,且人数之比为2∶5∶3,已知甲地区获奖的可能性为25%,乙地区获奖的可 能性为10%,若从参赛者中随机抽取一人发现获奖,求该参赛者来自于丙地区的概率是多少? 附:若随机变量服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X<μ +2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973. 3C      









4 M( —93— 21.已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 1 2 ,左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为 M, 过F1 的直线l交C 于A,B 两点.当l⊥x 轴时,ΔABM 的面积为 9 2. (1)求椭圆C 的方程. (2)若直线OP 与OQ 的斜率之积为- 3 4 (O 为坐标原点),点D 为射线OP 上一点,且OP→= PD→,若线段DQ 与椭圆C 交于点E,且5QE→=2QD→,求四边形OPEQ 的面积. 22.已知,函数f(x)=(1-x)(ex-1),g(x)=ln(x+1) (1)证明:当x>0时,f(x)<g(x); (2)若a>0且a≠1,函数 H(x)=g(x)-(1-ax)(ex-1)存在极小值点x0,证明:g(x0)≥ 0. —04— 2024年普通高等学校招生新课标新高考卷(一) 1.D 思路分析:利用复数的除法运算求出z,再利用复数的乘法求z·z. 解析:由题可得z=2-i,z=2+i,所以z·z=5.故选D. 2.A 思路分析:先分别化简两个集合,然后根据定义利用数轴求解. 解析:因为A={x|2x-x2>0}={x|0<x<2},B={y|y>1},所以A∪B=(0,+∞),A∩ B=(1,2),A×B=(0,1]∪[2,+∞),故选A. 3.B 思路分析:先化简函数解析式,再根据奇偶性,特殊值求解. 解析:由题可知函数f(x)=cos xln x2-1的定义域为{x|x<-1或x>1},又f(-x)= cos(-x)ln (-x)2-1=f(x),所以f(x)为偶函数,其图像关于y 轴对称,排除A,D,对于 C选项,因为f(2)=cos 2ln 22-1<cos π 2ln 3=0,故C错误,选B. 4.B 思路分析:利用相关点法求点B 的轨迹方程,再结合图形求解. 解析:设点B(m,n),则A m2 ,n 2 ,代入圆C 的方程得 m2+1 2 + n2-2 2 =5,得(m+2)2+ (n-4)2=20,则点B 的轨迹是以D(-2,4)为圆心,以25为半径的圆,且O,C,D 三点共线, D 在圆C 上,所以当A,D 重合时|BC|最大,此时点A 的坐标为(-2,4),故选B. 5.D 思路分析:根据结论tanx>x>sin x 在0, π 2 上恒成立得到a,c的大小关系,再构造函数 比较b,c的大小关系. 解析:因为tan x>x>sin x 在0, π 2 上恒成立,又0.02∈0,π2 ,所以tan 0.02>sin 0.02,设 f(x)=sin2x-ln (1+x),x∈ 0, π 6 ,则f'(x)=2cos 2x- 11+x>1- 11+x>0,所以 f(x)在0, π 6 上单调递增,所以f(0.01)>0,即sin0.02>ln 1.01,故选D. 6.D 思路分析:根据奇函数的定义得到f(x)的对称性和周期性,再根据选项逐个验证. 解析:因为g(x)+g(-x)=0,所以x[f(x+2)-f(-x+2)]=0,所以,f(x+2)=f(-x+ 2),所以f(x)图象关于直线x=2对称,又因为h(x)=f(1-x)为奇函数,所以f(1-x)= -f(1+x),所以f(x)图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是周期为4的函数.对于 A选项, f(2 024)=f(0),故A正确.对于B选项,因为f(9.5)=f(1.5)=-f(0.5)=-f(3.5), f(-3.5)+f(9.5)=0,故B正确.对于C选项,f(1)=f(3)=0,又f(2)+f(4)=f(2)+ f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以∑ 2 024 i=1 f(i)=0,故C正确.对于D选项,因为 f(2)+f(0)=0,所以 ∑ 1 012 i=0 f(2i)=[f(0)+f(2)]+[f(4)+f(6)]+…+[f(2 020)+ f(2 022)]+f(2 024)=f(2 024)=f(0),D错误.故选D. 7.B 思路分析:根据题目条件先确定四棱锥P-ABCD 外接球球心的位置,再求球半径,进而求 出球的体积. C A P S B DO 解析:取AD 的中点O,连接OB,OC,OP,因为AD=4,BC=2,所以OA= OD= 1 2AD=BC=2 ,又AD∥BC,则OA∥BC,所以四边形OABC 为平行 四边形,所以OC=AB=2,同理可得OB=2,因为SA=AD=DS=4且P 为侧棱SA 的中点,所以 DP⊥SA,在 Rt△PAD 中,OP= 1 2AD=2 ,则 OA=OB=OC=OD=OP=2.所以四棱锥P-ABCD 外接球的球心为O,半径为2,故外接球 的体积为32π 3 ,故选B. 8.C 思路分析:先确定f(x)=ln (1-x- -x)在(-∞,0]上的单调性,进而确定f(x)在R 上的单调性,然后根据单调性的可逆性求解. 解析:因为y= 1-x - -x = 1 1-x+ -x 在(-∞,0]上单调递增,所以 f(x)= ln (1-x- -x)在(-∞,0]上是增函数,又因为y=3x 在(0,+∞)上为增函数,且f(0)= 1=30,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.又因x>0时,fx+ 3 2 =3x+ 3 2=33f(x),由 f(a+t)>33f(t)可得,f(a+t)>f 3 2+t ,由单调性可知a+t>32+t,即a>32+ t-t,因为y= 3 2+t-t=- (t)2+t+ 3 2=- t- 1 2 2 + 7 4 ,当t= 1 4 时取最大值t= 7 4 , 所以a> 7 4 ,故选C. 9.AB 思路分析:先化简函数f(x),再结合选项分别用周期性的定义,函数的对称性,极值的定 义求解. 解析:因为f(x)=sin x+ 1 2 (2cos2x-1)=sin x+ 1 2cos 2x,对于A选项,因为f(x+2π)= sin(x+2π)+ 1 2cos 2(x+2π)=sin x+ 1 2cos 2x=f(x),所以,2π是函数f(x)的一个周期,故 A正确.对于B选项,因为f π 2+x =f π2-x ,故B正确.对于 C选项,可知f'(x)= cos x-sin2x=cos x(1-2sin x).令f'(x)=0,得cos x=0或sin x= 1 2 ,又x∈ - π 2 ,π 2 ,可 —68— 得x= π 6 ,故f(x)只有一个极值点,故C错.对于D选项,因f(x)=sin x+ 1 2 (1-2sin2x)= -sin x- 1 2 2 + 3 4 ,又sin x∈[-1,1],f(x)∈ - 3 2 ,3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故D错.故选AB. 10.ABD 思路分析:利用线面垂直,面面平行,面面垂直的判定定理及性质作出判断. 解析:若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,故A错.若m∥n,则l不一定与α垂直,故B错.l∥ α,l∥β,α∩β=m,则l∥m,若已知m⊂α,n⊂β,α∩β=l且m⊥l,m⊥n,则α 与β 未必垂 直.故D错.故选ABD. 11.BC 思路分析:利用对立事件的定义,全概率公式,条件概率公式求解. 解析:由定义可知,事件A1,A2 显然不是对立事件,所以 A错.由全概率公式,P(B)= 5 8× 4 9+ 3 8× 5 9= 35 72 ,故B正确.当A1 发生时,从乙组抽取1人且不是女生的概率为P(B|A1)= 5 9 ,C正确.同理可得P(B|A2)= 5 9 ,故D错.故选BC. 12.ACD 思路分析:先根据已知条件求双曲线的方程,再结合其几何性质求解. 解析:由题可知a=2,b= 5,c=3,F2(3,0),左顶点坐标为(-2,0).对于选项A,双曲线C 的渐近线方程为y=± b ax=± 5 2x ,故A正确.对于选项B,满足|PF2|=5的点P 的轨迹是 以F2 为圆心,以5为半径的圆.由 方 程 x2 4- y2 5=1 , (x-3)2+y2=25 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 可 得 x=-2, y=0 或 x= 14 3 , y= 102 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 x= 14 3 , y=- 102 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 共有三组解,所以圆与双曲线共有3个公共点,所以满足|PF2|=5的点P 共有 3个,故B错误.对于选项C,由双曲线的定义可知,|AF1|-|AF2|=4,即|AF2|=|AF1|- 4,又因AF1⊥AB,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|2+(|AF1|-4)2=36,可得 |AF1|=2+ 14或|AF1|=2- 14(舍),故C正确.对于选项D,|AF1|-|AF2|=4,|BF1| -|BF2|=4,两式相加可得|AF1|+|BF1|-|AB|=8,所以|AB|-|BF1|=|AF1|-8,因 为ΔABF1 为直角三角形,故其内切圆的半径为 |AF1|+|AB|-|BF1| 2 = 2|AF1|-8 2 = 2(2+ 14)-8 2 = 14-2 ,故D正确.故选ACD. 13.32 ,- 1 2 思路分析:根据题目条件求出t的值,进而确定向量b 的坐标,再根据投影向量的 定义求解. 解析:因为<a,b>=45°,所以,cos<a,b>= a·b |a||b|= 3t-1 10· t2+1 = 2 2 ,可得2t2-3t-2=0, 因为t> 1 3 ,所以t=2,b=(2,1).则b 在a 方向上的投影向量为|b|cos 45°· a |a|= 3 2 ,- 1 2 . 14.62-3 思路分析:利用等比数列的性质和基本不等式求解. 解析:由题可知S3,S6-S3,S9-S6,成等比数列,则(S6-S3)2=S3(S9-S6),又S6=3,所 以S9= 9 S3 +S3-3,则S3+S9= 9 S3 +2S3-3≥62-3,当且仅当 9 S3 =2S3,即S3= 32 2 时取 等号,则S3+S9 的最小值为62-3. 15.105 思路分析:利用二项展开式的通项及分类讨论思想求解. 解析:因为(y-x)7 的展开式的通项公式为Tr+1=(-1)rCr7xry7-r,分类讨论求x5y3 的系 数.因 为 xTr+1 = (-1)rCr7xr+1y7-r,当 x =4 时 x5y3 的 系 数 为 C47 =35,又 因 为 - 2x2 y Tr+1=(-2)·(-1)rCr7xr+2y6-r,当 x=3时 x5y3 的 系 数 为2C37=70,所 以 x- 2x2 y (y-x)7 的展开式中x5y3 的系数为105. 16.±2 思路分析:利用直线与抛物线的位置关系求解. 解析:设 F p2 ,0 ,直 线 AB 的 斜 率 不 为0,可 设 直 线 AB 的 方 程 为x=my+p2,由 y2=2px, x=my+ p 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 可得y 2-2mpy-p2=0,显然Δ>0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2= 2mp,y1·y2=-p2,x1+x2=m(y1+y2)+p=2m2p+p,x1·x2= p2 4. 因为OA→·OB→= -3,所以x1·x2+y1·y2=-3,即 p2 4-p 2=-3,又p>0,解得p=2.因为|AF|·|BF|= 5,所以(x1+1)·(x2+1)=5,即x1x2+x1+x2+1=5,,又x1+x2=4m2+2,x1·x2=1, 所以m=± 1 2 ,所以直线的斜率为±2. 17.思路分析:本题先利用余弦定理化简得出角C,再利用正弦定理结合三角恒等变换求出指定 范围。 解:(1)因为accos B= 1 2 (a2+c2-b2),bccos A= 1 2 (b2+c2-a2) —78— 所以c2+ab-2b2= 1 2 [(a2+c2-b2)-(b2+c2-a2)]=a2-b2, a2+b2-c2=ab,所以cos C= a2+b2-c2 2ab = 1 2 ,又C∈(0,π),所以C= π 3. (2)因为c= 3,C= π 3 ,由正弦定理可得 a sin A= c sin C=2 ,所以a=2sin A, 因为A+B+C=π,所以B= 2π 3-A , 所以2sin B-a=2sin2π3-A -2sin A= 3cos A-sin A=2cosA+π6 , 因为A∈0, 2π 3 ,所以A+π6∈ π6,5π6 ,- 3<2cosA+π6 < 3,故2sin B-a 的范围是(- 3,3). 18.思路分析:本题先结合题目条件利用递推公式的特点将条件化简,从而得出数列{an}的通项 公式.再利用裂项相消法求数列bn 的前n 项和Tn 解:(1)因为Sn+1=4an-2,所以Sn=4an-1-2(n≥2),两式相减可得an+1=4an-4an-1, 所以an+1-2an=2(an-2an-1),由题可知S2=4a1-2=6,所以a2=4,则a2-2a1=0, 所以an+1-2an=0,即an+1=2an,则数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列. 所以,an=2n.(或者由an=Sn+1-Sn,先求Sn,再求an) (2)由(1)可知,bn= nan n2+3n+2 = n·2n (n+1)(n+2)= 2n+1 n+2- 2n n+1 , 所以,Tn=b1+b2+…bn= 22 3- 21 2 + 2 3 4- 22 3 +…+ 2 n+1 n+2- 2n n+1 =2 n+1 n+2-1. 19.思路分析:本题利用线面平行的判定定理、二面角、点到平面的距离、空间向量的相关知识求 解. C A E B D O 解:(1)证明:如图,因为ΔACD 为等边三角形,又O 为CD 的中点,所以 AO⊥CD. 因为平面 ACD⊥平面BCD,平面 ACD∩平面 BCD=CD,AO⊂平面 ACD,所以AO⊥平面BCD. 又因为AO∥EB,所以EB⊥平面BCD. (2)如图,连接OB,以O 为原点,OA,OB,OC C A z xy E B O D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴,建立空间直角坐标系,设EB=a(a> 0),则D(1,0,0),C(-1,0,0),A(0,0,3), B(0,3,0),E(0,3,a)则AB→=(0,3,- 3), AC→=(-1,0,- 3),CE→=(1,3,a),CD→=(2,0,0) 设平面ABC 的法向量为n=(x1,y1,z1),由 AB→·n=0, AC→·n=0 得 3y1- 3z1=0 , -x1- 3z1=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 取z1=-1, 得x1= 3,y1=-1,则n=(3,-1,-1),则点E 到平面ABC 的距离为|CE →||cos<CE→,n>|= a 5 =25,则a=10,则E(0,3,10),CE→=(1,3,10). 设平面ECD 的法向量为m=(x2,y2,z2),由 CD→·m=0, CE→·m=0, 得 2x2=0, x2+ 3y2+10z2=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 取y2=10,得z2=- 3,m=(0,10,- 3)易知平面BCD 的一个法向量为μ=(0,0,1),则 cos<m,μ>= - 3 103 = - 309 103 ,所以平面与平面夹角的正弦值为 1- - 309 103 2 = 10 103 103 . 20.思路分析:本题利用频率分布直方图、正态分布、全概率公式、条件概率相关知识求解. 解:(1)由题可知, x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5所 以,μ=70.5,μ+2σ=70.5+2×9.25=89, 所以,P(X≥89)=P(X≥μ+2σ)= 1 2 (1-0.9545)=0.02275, 所以,成绩不低于89分的人数为0.02275×12000=273人. (2)设B=“从参赛者中随机抽取一人且获奖”,从参赛者中随机抽取一人来自甲、乙、丙三个 地区分别用A1,A2,A2 表示. 则P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3,P(B|A1)=0.25,P(B|A2)=0.1,由频率分布 直方图可知,P(B)=10(0.01+0.015)=0.25, 又因为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) 0.2×0.25+0.5×0.1+0.3P(B|A3)=0.25. 可得P(B|A3)=0.5,所以P(A3B)=P(A3)P(B|A3)=0.3×0.5=0.15, 所以,P(A3|B)= P(A3B) P(B)= 0.15 0.25= 3 5. 21.思路分析:根据椭圆的方程及性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的面积问题、向量共线等 相关知识求解. 解:(1)由题可知,离心率为e= c a= 1 2 ,所以a=2c, 又F1(-c,0),F2(c,0),当l⊥x 轴时,l的方程为x=-c,代入椭圆的方程可得y=± b2 a , 所以|AB|= 2b2 a ,所以三角形△ABM 的面积为 1 2× 2b2 a × (a+c)= 9 2 ,又a=2c,a2=b2+c2, —88— 可得b2=3,c2=1,a2=4.所以,椭圆C 的方程为 x2 4+ y2 3=1. P E x y O Q M D (2)因为5QE→=2QD→,所以S△PEQ= 2 5S△QPD= 2 5S△OPQ , 所以S四边形OPEQ= 7 5S△OPQ. 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 当PQ∥x 轴时,因为kOP·kOQ=- 3 4 ,又kOP=-kOQ, 所以kOP=± 3 2 , 不妨取kOP= 3 2 ,联立 y = 3 2x , 3x2+4y2=12, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 得 x= 2, y= 6 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 或 x=- 2, y=- 6 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (舍去) 故P 2, 6 2 ,Q - 2,62 ,所以S△OPQ=12×22× 62= 3. 当PQ 斜率不为0时,设PQ 的方程为x=my+t, 联立 x=my+t, 3x2+4y2=12, 得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0, 所以y1+y2= -6mt 3m2+4 ,y1y2= 3t2-12 3m2+4 . 因为kOP·kOQ=- 3 4 ,所以3x1x2+4y1y2=0, 所以3(my1+t)(my2+t)+4y1y2=0即(3m2+4)y1y2+3mt(y1+y2)+3t2=0, 所以(3m2+4)· 3t2-12 3m2+4 - 18m2t2 3m2+4 +3t2=0, 化简可得2t2-3m2-4=0,即2t2=3m2+4. 所以|PQ|= 1+m2· -6mt 3m2+4 2 - 4(3t2-12) 3m2+4 = 1+m2· 48(-t2+3m2+4) (3m2+4)2 . 点O 到直线PQ 的距离为 t 1+m2 , S△OPQ= 1 2|PQ| · |t| 1+m2 = 1 2|t|× 43× t2 3m2+4 = 3, 所以S四边形OPEQ= 7 5SΔOPQ= 73 5 . 22.思路分析:本题利用作差比较法构造新的函数,再求导数,由于分子部分符号难以确定,构造 新的函数通过其导数的符号确定其单调性和零点证明第一小问。对于第二小问,通过求导结 合第一问的结论获得导函数的两个零点,然后以两零点的大小作为标准分类讨论,获得 H(x)函数的极小值点,从而证明最终结论. 解:(1)设F(x)=g(x)-f(x)=ln (x+1)-(1-x)(ex-1),x>-1, F'(x)= 1 x+1- [-(ex-1)+(1-x)ex]= x[(x+1)ex-1] x+1 . 令u(x)=(x+1)ex-1,x>-1,则u'(x)=(x+2)ex>0, 则u(x)在(-1,+∞)上单调递增.又u(0)=0, 所以当x>0时,即F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增. 又F(0)=0,所以当x>0时,即F(x)>0,即x>0时,f(x)<g(x). (2)因为 H'(x)= 1 x+1+ (ax+a-1)ex-a = (x+1)(ax+a-1)ex-(ax+a-1) x+1 = (ax+a-1)[(x+1)ex-1] x+1 由(1)可知,u(x)=(x+1)ex-1在(-1,+∞)上单调递增且u(0)=0, 令 H'(x)=0,则x=0或x= 1 a-1. 若-1< 1 a-1<0 ,即a>1时,在 -1, 1 a-1 和(0,+∞)上,H'(x)>0,H(x)单调递增,在 1 a-1 ,0 上,H'(x)<0,H(x)单调递减. 所以x=0是 H(x)的极小值点,此时,g(0)=0. 若1 a-1>1 ,即0<a<1时,在(-1,0)和 1a-1 ,+∞ 上,H'(x)>0,H(x)单调递增,在 0, 1 a-1 上,H'(x)<0,H(x)单调递减,所以x=1a-1是 H(x)的极小值点,此时, g 1 a-1 =ln 1a>0. 综上,函数 H(x)=g(x)-(1-ax)(ex-1)存在极小值点x0,g(x0)≥0. 2024年普通高等学校招生新课标新高考卷(二) 1.D 解析:由题意可知A=[-1,3],B= 32 ,7 2 ,A∩B= 32,3 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 .故选D. 2.A 解析: 2 z+z= 2 1+i+1-i= 2(1-i) (1+i)(1-i)+1-i=1-i+1-i=2-2i. 故选A. —98—