第二十七章 圆与正多边形【单元卷·测试卷】-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十七章 圆与正多边形【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列说法正确的是（   ） A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等 C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等 2．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 3．如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 6．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．经过点D，且半径等于的圆的圆心的轨迹是 ． 8．已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 9．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ． 10．如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ． 11．在矩形中，如果以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合，那么 的值等于 12．点P是外一点，分别与相切于点A，B，连结，已知的半径为1，，则劣弧的长为 ． 13．正四十八边形中心角的十倍角的余弦值为 ． 14．如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 15．若一个正多边形无对角线，则这个正多边形外接圆直径与自身边长之比为 16．如图，已知等腰直角中，，D是斜边的中点且，以B为圆心，为半径画弧，交于F，以C为圆心，为半径画弧，分别交，于E，G，则阴影部分的面积为 ．    17．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 18．如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且，若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．如图，已知是的外接圆，．    (1)求的正弦值； (2)求弦的长． 20．如图，是的直径，是的弦，如果．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 21．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 22．如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 23．如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 24．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 25．已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且． (1)如图1，如果平分，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆与正多边形【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列说法正确的是（   ） A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等 C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，三角形的内心和外心及圆周角定理，掌握相应定理的内容及应用条件是解题的关键．分别根据垂径定理、三角形外心内心和圆周角定理逐项判断即可． 【详解】A、当直径所平分的弦也是直径时则这两条直径不一定垂直，故A不正确，不符合题意； B、只有在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧才相等，故B不正确，不符合题意； C、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，则到三边的距离相等，故C正确，符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，则到三个顶点的距离相等，故D不正确，不符合题意； 故选：C 2．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 3．如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角的性质，圆的内接四边形互补，等边三角形的判定，解题的关键是求出． 【详解】解：如下图，连结， ， ， ， ， 故选：C． 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为，过点作于点，交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设圆心为，过点作于点，交于点，连接，   四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， 在中， 即： 解得：， 故选：B． 5．如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】本题考查的是两圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，再证明，求解，，再结合两圆的位置关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是外切． 故选B 6．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，利用可得为圆的直径，再利用点为中点，点为中点，可得，分别为三角形的中位线，则得，，，，从而，，则得；利用，可得，，，则得，所以；过点作于点，则为等腰直角三角形，；在中，利用直角三角形的边角关系即可解答． 【详解】解：连接、、，如图， ， ． 为的直径， ． 点为中点，点为中点， 是的中位线，是的中位线． ，，，． ， ． ， ． 为等腰直角三角形． ． ，， ． ． ， ． ． ， ． 过点作于点，则为等腰直角三角形， ． 在中， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、特殊角的三角函数值、解直角三角形、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及推论等知识点．灵活利用解直角三角形的知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．经过点D，且半径等于的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】以点D为圆心，长为半径的圆． 【分析】本题考查了轨迹，理解几何语句并根据圆的定义，判断出圆心的轨迹是一个圆解题的关键．经过点D且半径等于的圆的圆心的轨迹也就是到定点D的距离等于定长的所有点的集合，然后根据圆的定义解答即可． 【详解】解：根据题意，圆心的轨迹是到定点的距离等于定长的所有点的集合， 根据圆的定义，即：以点D为圆心，长为半径的圆． 故答案为：以点D为圆心，长为半径的圆． 8．已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 【答案】外 【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理得，可知点到圆心的距离大于的半径，则点在外，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 的半径为，且， 点到圆心的距离大于的半径， 点在外， 故答案为：外． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 9．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ． 【答案】10 【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出． 【详解】解：∵与内切，的半径为4，设的半径为，的长等于6，， ∴只可能是 ∴的半径为． 故答案为：10 10．如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，进而得出答案． 【详解】解：根据点P在内时，圆的直径是，所以半径是4． 故答案为：4． 11．在矩形中，如果以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合，那么 的值等于 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长以及线段的比．解题的关键是弄懂的长就是的周长．由题意可知：的长就是的周长，列式即可得出结论． 【详解】解：∵以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合， ∴的长就是的周长， ∴， ∴． 故答案为：． 12．点P是外一点，分别与相切于点A，B，连结，已知的半径为1，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形内角和，求弧长等知识，掌握切线的性质是关键．先画出图形，由切线性质得，由四边形内角和得，由弧长公式即可求解． 【详解】解：画图如下： 分别与相切， ， 由四边形内角和得， 则劣弧的长为； 故答案为：． 13．正四十八边形中心角的十倍角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由正四十八边形中心角的十倍为，如图，中，，，则，在上取点，连接，使，则，设，则，，，由勾股定理得，，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为， 如图，中，，，则， 在上取点，连接，使， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键． 14．如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，向量以及垂径定理，先过点和分别作、，证明四边形是矩形，再运用垂径定理得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点和分别作、， ∵过点A作的平行线交两圆于C、D， ∴， ∵、， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， 则． 故答案为：． 15．若一个正多边形无对角线，则这个正多边形外接圆直径与自身边长之比为 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，正多边形的性质，画出图形，设，利用三角函数即可求解． 【详解】∵正多边形无对角线， ∴该正多边形是等边三角形，如图所示 ∴ 设，则 ∴， ∴正多边形外接圆直径与自身边长之比为 故答案为：． 16．如图，已知等腰直角中，，D是斜边的中点且，以B为圆心，为半径画弧，交于F，以C为圆心，为半径画弧，分别交，于E，G，则阴影部分的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是的面积减去扇形的面积和右上角空白部分的面积，由题目中的数据可以求出各部分的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：等腰直角中，，D是斜边的中点且， ∴， ， ∴， ∴阴影部分的面积是：， 故阴影部分的面积是4． 故答案为：4 17．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 【答案】1.5或4.5 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为；外离；外切；相交；内切；内含． 根据两圆内切时圆心距两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可． 【详解】解：设半径是，根据题意， 分两种情况： 如图1，，， ， ， 解得； 如图2，，， ， ， 解得． 故答案为1.5或4.5． 18．如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且，若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，，则，再由等边三角形的性质推出，得到，设的边长为x，则的边长为，证明求出x的值，进而可求出的长，然后可求的值． 【详解】解；如图，连接，，则D在上． ∵是直径，点F恰好落在圆上， ∴， ∵均为等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 设的边长为x，则的边长为， ∵、、均为等边三角形， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 经检验，是原方程的解 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等边三角形的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．如图，已知是的外接圆，．    (1)求的正弦值； (2)求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为点；根据垂径定理，即可求的正弦值； （2）延长交于点，由，是的外接圆得出垂直平分，根据即可求弦的长； 【详解】（1）解：过点作，垂足为点．   ，， ， ， ， 在中， ； （2）解：延长交于点．    ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵是的外接圆， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 在中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的性质、锐角三角函数、垂直平分线的判定，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题的关键． 20．如图，是的直径，是的弦，如果．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）∵， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 21．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，由得，结合，即可求解； （2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解； 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切 （2）解：设的半径为， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴， 解得： 22．如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 【答案】(1)相切，理由见详解 (2)见详解 【分析】（1）由圆周角定理得到，证得，根据相似三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）由弧和圆周角的关系证得，根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得，由等腰三角形的判定定理即可证得结论． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）证明：∵， ∴， 点是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧和圆周角的关系，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 23．如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； （2）连接交于．连接，先根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，在中，求得，再证明由得，由此即可解题. 【详解】（1）证明：①四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． （2）解：连接交于．连接，   菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． ∴ ． 24．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25．已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且． (1)如图1，如果平分，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）如图2中，作于，于，设．首先证明，解直角三角形求出，（用表示）即可解决问题． （3）由，推出，分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， 平分， ， ， ，， ， ， ∴， ， ． （2）解：如图2中，作于，于，设． ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ． （3）解：如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 解得或（舍弃）， ． 如图中，当时，可得是等腰直角三角形， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$