13.1 第1课时 分式（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

13.1 第1课时 分式 知识点一 分式的概念 分式的概念 一般地，对于两个整式 A、B(B是非零整式)，A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母，本章主要讨论分母中含有字母的分式. 提示： 对于任意一个分式，分母都不能为零 知识点二 求分式的值 将字母所赋的值直接代入分式可求得分式的值. 分式的值是由字母的取值确定的，分式的值随分式中字母取值的变化而变化. 知识点三 分式有意义和无意义的条件 1.分式有意义的条件:分母不等于0 2.分式无意义的条件:分母等于0 分式有无意义只与分母有关,与分子无关.分式中的分母是含字母的整式，那么它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义.这与分数不同，因为分数的分母是一个确定的数,是否为零一目了然，而我们现在学习的分式，同学们要明确其是否有意义就必须要进行分析、讨论分母中字母的取值，以避免分母的值为0. 知识点四 分式的值为0的条件 分式的值为0要同时满足两个条件：①分子等于0;②分母不等于0. 两个条件缺一不可. 题型一、按要求构造分式 解题技巧提炼 构造分式要看清楚题目的要求，尤其是分母的限定. 1．（22-23七年级上·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式： （1）分式的值不可能为零； （2）分式有意义时，a的取值范围是； （3）当时，分式的值为． 你所写的分式为 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 3．某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 4．一种储蓄的年利率为，存入本金一年后的本息和为元，则存入的本金为 元． （本息和本金利息） 题型二、分式有意义的条件 解题技巧提炼 看分母，分母不为0，分式有意义。要牢牢记住这一点。 1．（23-24七年级上·上海松江·期末）在，，0，1中选一个x值求的值，合适的是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（22-23七年级上·上海闵行·期末）分式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．当 时，代数式有意义． 4．若分式的值为，则 ． 5．（23-24七年级上·上海金山·期末）当 时，分式有意义． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分式有意义，则的取值范围是 ． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期末）分式中的x的取值范围是 ． 8．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分式中，与的取值应满足怎样的数量关系 ． 9．（22-23七年级上·上海·期末）要使分式有意义，则的取值范围是 ． 10．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）当x 时，分式有意义． 11．（22-23七年级上·上海宝山·期末）当 时，分式的值为0． 12．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）对于分式，如果，那么y的取值范围是 ． 题型三、分式无意义的条件 解题技巧提炼 当分母为0的时候，分式无意义. 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知时，分式无意义，时，此分式值为，则 ． 2．（22-23七年级上·上海·期中）如果分式无意义，那么分式的值为 ． 3．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）当x ，分式无意义． 4．当 时，分式无意义． 5．若分式无意义，则的值为 ． 6．当 时，分式无意义． 题型四、分式值为零的条件 解题技巧提炼 解分式值为零的方法 分式的值为0的条件是分子为0、分母不为0，二者缺一不可.解题时，可以先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母为0,当分母不为0时，这个值才是所要求的字母的值. 1．如果分式的值等于零，那么应满足的条件是（    ） A． B． C．或 D．且 2．如果分式的值为零，那么x等于（　　） A．2 B． C．2或 D．0 3．分式的值为0，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为零； 5．若的值为零，则x的值为 ． 6．若分式的值为零，则的值为 ． 7．（22-23七年级上·上海宝山·期末）当 时，分式的值为零． 8．当x＝ 时，分式的值为0． 题型五、分式的求值 解题技巧提炼 将分式进行化简，再结合已知条件代换，简化过程并求出结果. 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则的值为 ． 2．若，则分式的值为 ． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则分式 ． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，那么 ． 5．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知，则的值为 ． 题型六、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题技巧提炼 1．若分式的值总是正数，a的取值范围是 A．a是正数 B．a是负数 C．a> D．a<0或a> 2．若分式的值总是正数，则的取值范围是（        ） A． B． C． D．或 3．如果分式﹣的值为负数，则y的取值范围是 ． 4．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ． 5．若分式的值为正数，则 a 的取值范围为 ． 6．若分式的值大于零，则 x 的取值范围是 题型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 解题技巧提炼 先将分式分离常数，分式的值为整数，说明分子是分母的倍数，分母是分子的因数，可以先列举出所有因数（包括负数），再逐个求解. 1．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 2．若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 4．当满足 时，分式的值为整数． 5．已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 6．若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 题型八、分式的规律性问题 解题技巧提炼 规律题要注意观察所给信息，包括符号、分子、分母、次数等等. 1．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 2．数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 3．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 4．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 第1课时 分式 知识点一 分式的概念 1.分式的概念 一般地，对于两个整式 A、B(B是非零整式)，A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母，本章主要讨论分母中含有字母的分式. 提示： 对于任意一个分式，分母都不能为零 知识点二 求分式的值 将字母所赋的值直接代入分式可求得分式的值. 分式的值是由字母的取值确定的，分式的值随分式中字母取值的变化而变化. 知识点三 分式有意义和无意义的条件 1.分式有意义的条件:分母不等于0 2.分式无意义的条件:分母等于0 分式有无意义只与分母有关,与分子无关.分式中的分母是含字母的整式，那么它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义.这与分数不同，因为分数的分母是一个确定的数,是否为零一目了然，而我们现在学习的分式，同学们要明确其是否有意义就必须要进行分析、讨论分母中字母的取值，以避免分母的值为0. 知识点四 分式的值为0的条件 分式的值为0要同时满足两个条件：①分子等于0;②分母不等于0. 两个条件缺一不可. 题型一、按要求构造分式 解题技巧提炼 构造分式要看清楚题目的要求，尤其是分母的限定. 1．（22-23七年级上·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式： （1）分式的值不可能为零； （2）分式有意义时，a的取值范围是； （3）当时，分式的值为． 你所写的分式为 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）将代入后，分式的分子、分母互为相反数． 【详解】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零； 根据（2）分式有意义时，a的取值范围是，可知当时，分式的分母等于零； 根据（3）当时，分式的值为，可知把代入后，分式的分子、分母互为相反数． 综上可知，满足条件的分式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则称为分式，根据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式． 【详解】解：2和可构造分式，答案不唯一，以或为分母均可． 故答案为：（答案不唯一）． 3．某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元． 【答案】 【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：元， 当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：元， 则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：元， 故答案为：． 4．一种储蓄的年利率为，存入本金一年后的本息和为元，则存入的本金为 元． （本息和本金利息） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用．根据本息和本金利息，即可求解． 【详解】解：根据题意得：存入的本金为元． 故答案为： 题型二、分式有意义的条件 解题技巧提炼 看分母，分母不为0，分式有意义。要牢牢记住这一点。 1．（23-24七年级上·上海松江·期末）在，，0，1中选一个x值求的值，合适的是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握“分式有意义的条件是．”是解题的关键． 【详解】解：要使得原式有意义，则需要满足 且， 解得：且， 在，，0，1中， 的值合适的是0， 故选：C． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期末）分式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 3．当 时，代数式有意义． 【答案】且 【分析】令分母不为0即可求出x的范围． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中分母B≠0． 4．若分式的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：若分式的值为， 则有且， 解得． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·上海金山·期末）当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母，进行求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期末）分式中的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 8．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分式中，与的取值应满足怎样的数量关系 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式有意义的条件．根据分式存在的条件，的分母不为零，即可解得． 【详解】解：分式中，需满足分母不为零，即， 解得， 故答案：． 9．（22-23七年级上·上海·期末）要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 10．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 11．（22-23七年级上·上海宝山·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 12．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）对于分式，如果，那么y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将代入根据分式分母不为0即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，解得， 故答案为 ． 【点睛】本题考查分式有意义条件：分母不为0． 题型三、分式无意义的条件 解题技巧提炼 当分母为0的时候，分式无意义. 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知时，分式无意义，时，此分式值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为的条件分别求出的值，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∵时，此分式值为， ∴， ∴， ∴． 2．（22-23七年级上·上海·期中）如果分式无意义，那么分式的值为 ． 【答案】7 【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，即可求出，再将代入求值即可． 【详解】∵分式无意义， ∴， 解得：． 将代入，得：． 故答案为：7． 【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的求值．掌握分式无意义的条件：分母为0，是解题关键． 3．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）当x ，分式无意义． 【答案】/等于2 【分析】根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键． 4．当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】分式无意义则分母为0.即x-1=0，求出x即可. 【详解】解：∵分母无意义， ∴x-1=0， 解得：x=1， 故答案为：1. 【点睛】本题是对分式知识的考查，熟练掌握分式知识是解决本题的关键. 5．若分式无意义，则的值为 ． 【答案】a=-或a=0 【分析】根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，=0，或2a=0 解得a=-或a=0． 故答案为a=-或a=0． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： (1)分式无意义⇔分母为零； (2)分式有意义⇔分母不为零； (3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 6．当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件可得x＋3＝0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x＋3＝0， 解得：x＝−3， 故答案为−3． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 题型四、分式值为零的条件 解题技巧提炼 解分式值为零的方法 分式的值为0的条件是分子为0、分母不为0，二者缺一不可.解题时，可以先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母为0,当分母不为0时，这个值才是所要求的字母的值. 1．如果分式的值等于零，那么应满足的条件是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件，分式值为0的条件即可求得的值 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解，得或， 当时，； 当时，，舍去； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，分式有意义的添加，理解分式值为0的前提是分式必须有意义是解题的关键． 2．如果分式的值为零，那么x等于（　　） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了使分式值为零时字母的取值；根据分式值为零，则分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：∵的值为零， ∴且， 解得． 故选：B． 3．分式的值为0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式值为零的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件为分母不为零，分子为零． 4．（22-23七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为零； 【答案】2 【分析】根据使分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，解答即可． 【详解】由题意可知， ∴或， ∴或． 当时，，即此时分式无意义，故舍去； 当时，，符合题意． ∴当时，分式的值为零． 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式值为0的条件．掌握使分式值为0的条件：分子为0，分母不为0是解题关键． 5．若的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义和绝对值的意义，熟练掌握分式的意义是解题的关键． 根据题意先得出，再根据分式的意义即可得出答案． 【详解】解：若的值为零， 则且， 解得． 故答案为：． 6．若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】由题意得：且 解得： 故答案为：2． 7．（22-23七年级上·上海宝山·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】1 【分析】直接利用分式的值为零可得分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为零， ∴，， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键． 8．当x＝ 时，分式的值为0． 【答案】﹣4 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：x＝﹣4时，分式的值为0， 故答案为：﹣4 【点睛】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 题型五、分式的求值 解题技巧提炼 将分式进行化简，再结合已知条件代换，简化过程并求出结果. 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．根据已知等式可得，再代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 2．若，则分式的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】取原式倒数，可得，再取原式的倒数并变形得：，最后代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解答此题的关键． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则分式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据条件式得到，再由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为，将所求代数式的分母变形为形式，再代入计算是解题的关键．将变形为，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴ 故答案为：． 5．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知，得到，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值． 【详解】解：由已知，可得， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的求值，利用分式的基本性质对已知条件进行变形是解本题的突破口． 题型六、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题技巧提炼 1．若分式的值总是正数，a的取值范围是 A．a是正数 B．a是负数 C．a> D．a<0或a> 【答案】D 【分析】若分式的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即或，因而能求出a的取值范围即可. 【详解】∵分式的值是正数， ∴或 解得，a>或a<0. 故选D. 【点睛】本题考查分式值的正负性问题,若对于分式(b≠0)>0时,说明分子分母同号;分式 (b≠0)<0时,分子分母异号. 2．若分式的值总是正数，则的取值范围是（        ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况分析:当时;或当时,,再分别解不等式可得． 【详解】若分式的值总是正数： 当时，，解得; 当时，，解得，此时a的取值范围是; 所以的取值范围是或. 故选：D． 【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数． 3．如果分式﹣的值为负数，则y的取值范围是 ． 【答案】y＞1.5． 【分析】根据题意得出2y﹣3＞0，进而进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得：2y﹣3＞0， 解得：y＞1.5， 故答案为：y＞1.5． 【点睛】本题考查分式的值的正负性和解一元一次不等式的知识点，正确解不等式是解题的关键． 4．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 5．若分式的值为正数，则 a 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分式值是正数，则分子与分母同号，而分子一定是负数，则分母也是负数，即可求出的范围． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是求分式的值的正负问题，解题关键在于对分子是负数的判断，进而得出分母也是负数，解不等式即可. 6．若分式的值大于零，则 x 的取值范围是 【答案】x＞-1且 【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答. 【详解】∵ 而x-1≠0 ∴ ∵分式的值大于零 ∴x+1＞0 x＞-1，且 故答案为：x＞-1且 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键. 题型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 解题技巧提炼 先将分式分离常数，分式的值为整数，说明分子是分母的倍数，分母是分子的因数，可以先列举出所有因数（包括负数），再逐个求解. 1．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 2．若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数得或2或3或6，求得的值即可求解，根据题意得或2或3或6是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是整数， 是6的约数，即或2或3或6， 解得：（舍去）或1或2或5， 则满足条件的所有正整数m的和为． 故选：B． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值，分式的值为正整数，则或或或，据此求出满足题意的整数x的值，再求和即可． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴所有满足的整数x的值的和为， 故答案为：． 4．当满足 时，分式的值为整数． 【答案】 【分析】分当和时两种情况讨论，去绝对值符号即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，，是整数， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求分式的值，绝对值的性质，分类求解是解题的关键． 5．已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】5 【分析】先由分式有意义的条件可得，再化简原分式可得结果为，由原分式的值为整数可得：，，再解方程并检验可得答案. 【详解】解：， ， ， 分式的值是整数，是整数， ，， 符合题意的，0，3， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是分式的值为整数，理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键. 6．若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 题型八、分式的规律性问题 解题技巧提炼 规律题要注意观察所给信息，包括符号、分子、分母、次数等等. 1．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 2．数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意．根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…，第n次倒出的水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水． 【详解】解：∵ ． 故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水． 故选：A． 3．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 4．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$