3.3 立体图形的表面展开图（2个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

3.3 立体图形的表面展开图 课程标准 学习目标 几何体的展开图 掌握常见几何体的展开图，正方体的11种展开图，能够判断正方体展开图的相对面。 知识点01几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③直棱柱的侧面展开图是长方形． (3)展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【即学即练1】 （24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握各种基本几何体的展开图是解题的关键． 由圆锥的展开图特点：侧面是扇形，底面是个圆，即可得出答案． 【详解】解：圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形， 故选：． 知识点02 正方体的展开图 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 【即学即练2】 （24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列图形中可以折成正方体的是（   ） A． B．  C． D．  【答案】B 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，只要有“田”“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 由平面图形的折叠及正方体的展开图对选项进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A，C，D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体；只有B能围成正方体． 故选B． 题型01 几何体展开图的认识 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（    ） A．圆锥，正方体，四棱锥，四棱柱 B．圆柱，正方体，四棱锥，四棱柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，四棱锥 D．圆柱，正方体，四棱柱，四棱锥 【答案】A 【分析】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，四棱锥，四棱柱． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下面的图形中，属于三棱柱的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的特点，两个底面为三角形，三个侧面为平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，属于三棱柱的表面展开图的是 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（    ） A．圆柱，圆锥，四棱柱 B．四棱锥，圆锥，圆柱 C．圆柱，圆锥，三棱锥 D．圆柱，圆锥，三棱柱 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是掌握常见几何体的展开图． 根据基本几何体的展开图逐一判断． 【详解】解：根据图形得： 从左到右，其对应的几何体名称分别为圆柱，圆锥，三棱柱． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体与其平面展开图用线连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知基本几何体的展开图，具有一定的空间想象力． 【详解】解：如图所示： 题型02 由展开图计算几何体的侧面积、表面积 【典例2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个底面边长均为、高为的三棱柱，求它的侧面展开图的面积． 【答案】它的侧面展开图的面积为． 【分析】本题考查棱柱的侧面积求解，根据三柱体侧面为三个长方形，然后利用面积公式即可求解，掌握棱柱的特点是解题的关键． 【详解】解：三棱柱有个侧面，且侧面是个一样的矩形， ∵三棱柱底面边长均为、高为， ∴此三棱柱的一个侧面的面积为， ∴这个三棱柱的侧面展开图的面积为， 答：它的侧面展开图的面积为． 【变式1】（22-23七年级上·贵州·期中）如图，茶杯中部是一条装饰带，这条装饰带的面积是_____． 【答案】 【分析】此题考查了圆柱的侧面积，要求学生要熟记公式进行解答．这条装饰带的面积就是底面直径为6厘米，高为5厘米的圆柱的侧面积，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）根据三视图，可求出这个几何体的侧面积为_____（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了 由展开图计算几何体的表面积，结合体侧面积计算，熟练掌握常见几何体的三视图及其侧面积计算公式是解题的关键． 根据三视图确定几何体为圆柱，侧面积为，结合主视图确定h，结合俯视图确定底面圆的直径，计算即可． 【详解】解：根据题意得， 几何体为圆柱，且圆柱的高为，底面圆的直径为10， ∴侧面积为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，该几何体下端是一个长方体，上端是一个圆柱体，圆柱的底面半径为，求该几何体的表面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查几何体的表面积，熟练掌握各个几何体表面积计算公式是解题的关键；因此此题可根据长方体与圆柱的表面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 该几何体的表面积为． 题型03 由展开图计算几何体的体积 【典例3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某长方体包装盒的平面展开图如图所示，若该长方体包装盒的宽是，长比高多． (1)求该长方体包装盒的长和高； (2)求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)长为，高为；(2) 【分析】本题主要考查了根据长方体的展开图求长方体的体积，正确求出长方体的长和宽是解题的关键． （1）先根据展开图求出长方体的宽进而求出长方体的高，再根据高求出长即可； （2）再根据长方体的体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据图可知，长方体的高为：， ∵长比高多， ∴长为：； （2）解：长方体的体积为：， 答：这个包装盒的体积是． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，是一个几何体的表面展开图，请用字母表示该几何体的体积为_______．    【答案】 【分析】本题考查立体图形的平面展开图还原为立体图形，并求体积，根据平面展开图可知立体图形为长方体，由长方体的体积公式代值求解即可得到答案，发挥空间想象能力，将平面展开图还原为立体图形是解决问题的关键． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知，该立体图形为长方体， 该长方体的底面长为，宽为，高为，即用字母表示该几何体的体积为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）8；（2）4；（3） 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据平面图形中没有剪开的棱的条数，再求出剪开棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式求出长方体纸盒的体积即可． 【详解】解（1）图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪了条棱； 故答案为：8． （2）如图，四种情况． 故答案为：4； （3）长方体的高为：， 这个长方体纸盒的体积为． 【变式3】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为______； （2）图2中的长方体纸盒的长为： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 【答案】（1）；（2）14，（3）2倍． 【分析】此题考查了长方体的体积、底面积等知识， （1）根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据题意求出长方体纸盒的长即可； （3）分别求出无盖纸盒的体积和有盖纸盒体积，即可求出答案． 【详解】（1）图1中的长方体纸盒的底面积为； 故答案为： （2）图2中的长方体纸盒的长为， 故答案为：14 （3）无盖纸盒的体积为：， 有盖纸盒体积为： ∵， ∴无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍． 题型04 正方体展开图的识别 【典例4】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列平面图形不能够围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解答的关键．根据正方体的展开图特征，结合“一线不过四，田凹应弃之”判断求解即可． 【详解】解：根据正方体的展开图，选项A、C、D中展开图能围成正方体，不符合题意；选项B中展开图不能围成正方体，符合题意， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）张超在学习正方体展开图，将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，然后将各面向外展开，那么展开后的图是（    ）（单位：厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力、分析判断能力和空间想象能力． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】 解：沿题图剪开，展开后的图是 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）正方体展开有6个正方形，图甲是其中的4个，其它2个可能在图乙的（    ）位置 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，根据正方体展开图的形式确定即可． 【详解】解：∵图甲是一个正方体展开图中的4个， ∴其他的两个面可能在①④或②④， 故选：C. 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）九年级小李同学设计了一个如图所示的正方体废纸回收盒，将写有“园”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有_______种添加方式． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键．根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“园”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方任一位置均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 题型05 正方体相对两面上的字 【典例5】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某正方体的每个面上都有一个汉字．它的一种平面展开图如图所示，那么在原正方体中，与“拼”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．成 B．就 C．梦 D．想 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答． 【详解】解：在原正方体中，与“拼”字所在面相对的面上的汉字“想”， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（    ） A．化 B．传 C．文 D．色 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图形，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“承”字相对的面上的汉字是“化”， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为_______．    【答案】 【分析】本题考查正方体相对两面上的字，相反数的定义，正确识别正方体展开图中相对的两面是解题的关键．根据正方体的展开图中可得x与5是对面，3与y是对面，从而可根据相反数的定义求得y的值及x的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）将展开图还原成几何体，若相对两个面上的数互为相反数，求的值？ 【答案】10 【分析】本题主要考查了正方体展开图，相反数，绝对值等知识点，由正方体的表面展开图的特征可得：12与x是相对面，y与是相对面，4与是相对面，从而可得，，然后代入式子中进行计算，即可解答，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解决此题的关键． 【详解】由题意得：12与x是相对面，y与是相对面，4与是相对面， ∵相对两个面上的数互为相反数， ∴，， ∴． 题型06 含图案的正方体的展开图 【典例6】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据圆面、正方形面、三角形面是相邻面，且圆面、正方形面与三角形面只有一个公共顶点，可得答案． 【详解】解：根据图形得： A、C、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符； B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B． 故选：B 【变式1】（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可． 【详解】解：以“”为底面，与不等号的开口来判断； A．不等号的开口方向和圆的位置关系不满足正方体的展开图，不符合题意； B．不等号的开口方向和圆的位置关系满足正方体的展开图，符合题意； C．不等号的开口方向和圆的位置关系不满足正方体的展开图，不符合题意； D．不等号的开口方向和圆的位置关系不满足正方体的展开图，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示的正方体的展开图为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的展开图．从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上．据此选出符合这一特征的展开图就可以了． 【详解】解：从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上． 选项A中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，符合上述特征； 选项B中的展开图，画有三角形和圆的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 选项C中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 选项D中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 故选：A 题型07 展开图上两点折叠后的距离 【典例7】（20-21七年级上·陕西西安·期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是________． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 【变式1】（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　 　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点评】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【变式3】（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 1．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一个正方体展开图，有“弘”字一面的相对面上的字是（   ） A．传 B．统 C．文 D．化 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的展开图（正方体相对两面上的字），熟练掌握几何体的展开图并充分运用空间想象能力是解题的关键． 将该正方体的展开图复原，即可得出答案． 【详解】解：将该正方体的展开图复原，可知： 有“弘”字一面的相对面上的字是“文”， 故选：． 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）将如图的正方体表面展开图折成正方体后，与点D重合的点是（   ）    A．点B和点C B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点B 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的展开和折叠，将表面展开图折叠成正方体可得答案． 【详解】折叠成正方体后于点D重合的是点B和点C． 故选：A． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的关键． 【详解】解：棱长是的正方体的表面积是， 故选C 4．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）下列图形中，不是正方体展开图的是（　 　） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是学生的立体思维能力．解答此类题目的关键是切勿忘记正方体展开图的各种情形，根据各种存在的情形进行判断，注意观察图形一定要仔细．根据平面图形的折叠及正方体的展开图的特点解答即可． 【详解】解：根据平面图形的折叠及正方体的展开图可知， 只有B选项不是正方体的展开图， 故选：B． 5．（23-24九年级下·全国·单元测试）将如图所示的立方体盒子（其余各面无任何标记）展开成一个平面图形，则下列图中可能是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的展开图，利用正方体的展开图的特点解题即可． 【详解】解：选项A、B、D中含有标记的三个面不相交于一点，与原立方体不符， 所以只有C是立方体的展开图． 故选：C． 6．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在长方形中截取两个相同的圆作为圆柱体的上、下底面，剩余的长方形（阴影部分）作为圆柱体的侧面，刚好能组合成一个圆柱体，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，题目中的阴影部分为圆柱的侧面展开图，分清楚圆柱展开图的一边为圆柱的高，令一边为底面周长是解决本题的关键．首先根据题意求出底面半径，然后求出底面周长，求出底面直径加上底面周长即可得到a的值． 【详解】解：设底面半径为r，由题意得： ； ∴底面周长：， ∴． 故选：C． 7．（22-23七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 8．（2023·贵州黔西·模拟预测）一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆柱的计算，考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆的周长公式、比的意义及应用． 根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：，那么，据此解答． 【详解】解：∵圆柱的底面圆的周长为：，圆柱的侧面展开正好是一个正方形， ∴圆柱的底面圆的周长=圆柱的高， 这个圆柱的底面直径与高的比是． 故选：A． 9．（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 10．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是_______． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体上下面是三角形，侧面是三个长方体，从而得出该几何体是三棱柱． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体上下面是三角形，侧面是三个长方体， ∴该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 12．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为_______． 【答案】3 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 13．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）一个长方体的展开图及棱长如图所示，则这个长方体的表面积是_______·    【答案】256 【分析】本题考查了长方体的表面积．解题的关键是熟记长方体的表面积公式．根据长方体的表面积公式：解答即可． 【详解】解： ． 这个长方体的表面积是256． 故答案为：256． 14．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是_______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平行四边形的面积为：； 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）一个直六棱柱，侧棱长为，底面各边长均为，则它的侧面展开图形面积是_______ 【答案】120 【分析】本题考查了几何体的侧面积，解题的关键是确定几何体侧面是什么图形．根据题意可知该正六棱柱的侧面是6个长为，宽为的长方形，然后根据长方形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 即侧面展开图形面积是． 故答案为：120． 16．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）小明同学在一个正方体盒子的六个面上分别写了即“数、学、考、试、加、油”六个字，其平面展开图如图所示，请问在正方体盒子中，与“学”相对的面写的是_____字． 【答案】油 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是解决问题的关键．根据正方体表面展开图的特征即可判断相对的面． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得， “数”与“试”是相对的面， “学”与“油”是相对的面， “考”与“加”是相对的面， 故答案为：油． 17．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_______． 【答案】39 【分析】本题主要考查了正方体对面上的数字问题，根据题意可得这6个整数可以为4，5，6，7，8，9或5，6，7，8，9，10或6，7，8，9，10，11，再由相对面上所标数字之和相等得到最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，据此分三种情况讨论，结合6，8，9三个数不能互相为对面进行求解即可． 【详解】解；由题意得，这6个整数可以为4，5，6，7，8，9或5，6，7，8，9，10或6，7，8，9，10，11， ∵相对面上所标数字之和相等， ∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面， 当这6个整数为4，5，6，7，8，9，则4和9为对面，5和8为对面，6和7为对面，符合题意， ∴此时这6个数的和为； 当这6个整数为5，6，7，8，9，10，则6和9为对面，此时不符合题意； 当这6个整数为6，7，8，9，10，11，则8和9为对，此时不符合题意； 综上所述，这6个整数为4，5，6，7，8，9，它们的和为39， 故答案为：39． 18．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有_______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟知正方体11种展开图是解题的关键． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体； 正方形B与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体； 正方形C与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体； 正方形D与实线部分的五个正方形符合“33”型，能围成正方体； ∴能拼成正方体的位置有3个， 故答案为：3． 19．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么_____号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有______组，这个长方体的体积是_______．    【答案】 6 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握长方体表面展开图的“相间、端是对面”是解题的关键． 根据长方体表面展开图的“相间、端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据长方体的面积展开图的“相间、端是对面”可得： “1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面， “1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中，，，，即相连两个面上的数字和为质数有4组， 综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有（组）； 由相对的面可知， 当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面， 3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形， 5、6号面的较长的边长为， 因此这个长方体可以看作底面是边长为的正方形，高为， 体积为， 故答案为：6，，． 20．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是_____字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米．    【答案】 “功” 96 64 【分析】此题考查了正方体展开图的特征、正方体表面积的计算、正方体体积的计算． 此图属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，“自”与“功”相对；根据正方体表面积计算公式“”、正方体体积计算公式“”即可计算出折成成的正方体的表面积、体积． 【详解】解：面是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是“功”字 （平方厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米． 故答案为：“功”，96，64． 21．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是晶晶画的一个长方体表面的展开图，并测量出了相关数据（数据无误）．请你帮她判断这个长方体表面的展开图是否正确，若正确，请直接计算出该长方体的体积；若不正确，先在图中修改正确（多余的部分涂上颜色，不足的部分直接在图中补全），再计算这个长方体的体积． 【答案】不正确；图见解析； 【分析】根据长方体的展开图判断解答即可． 本题考查了几何体的展开图，熟练掌握展开图的基本结构是解题的关键． 【详解】解：不正确； 修改后如图： 该长方体的长：， 故体积为：， 答：这个长方体的体积是． 22．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）（1）如图所示的平面图形分别是由哪种几何体展开形成的？ ①______；②______；③______；④______． （2）请你按照所给图形数据计算这个几何体的表面积（结果保留） 【答案】（1）圆柱；圆锥；六棱柱；长方体；（2） 【分析】本题考查几何体的展开图及其表面积，解题的关键是掌握几何体的的展开图形，会求展开图的表面积． （1）根据几何体的展开图逐个分析即可； （2）先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的表面积，两者相加即可． 【详解】（1）由题意可知，几何体为：①圆柱；②圆锥；①六棱柱；④长方体； 故答案为：圆柱；圆锥；六棱柱；长方体；． （2）解：， ， ． 23．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数． (1)填空： ____； _______； _______ (2)求的值． 【答案】(1)，1，；(2)． 【分析】本题考查正方体的展开图和相反数的定义，绝对值以及有理数的加减运算． （1）分别找出a，b，c相对面上的数，根据折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，列出等式求解，即可解题； （2）将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，，， 解得：，，， 故答案为：，1，； （2）解：将a，b，c的值代入中， 有． 24．（24-25六年级上·山东烟台·阶段练习）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图（1））剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)聪聪一共剪开了__________条棱； (2)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他将剪掉的②粘贴到①中有________种方法． (3)经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8；(2)4；(3) 【分析】（1）根据展开图，判断聪聪剪开了8条棱，解得即可； （2）根据长方体展开图的基本意义，解答即可． （3）设长方体的高为，根据题意，得长宽都是，列式列式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，长方体的体积，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，得聪聪剪开了8条棱， 故答案为：8． （2）解：根据展开图的意义，可得到如下4种粘贴方式： 故答案为：4． （3）解：设长方体的高为，根据题意，得长，宽都是， 根据题意，得， 解得． ∴长，宽都是 ∴长方体的体积为：． 答：长方体的体积为． 25．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，这是一个几何体的表面展开图． (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号）． ①三角形    ②四边形    ③圆 (2)求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)①②；(2)表面积为，体积为． 【分析】本题考查了长方体的展开图，表面积和体积等知识点，根据展开图得出此几何体为长方体是解题关键． （1）由展开图可知此几何体为长方体，据此即可求解； （2）根据长方体的表面积和体积公式即可求解； 【详解】（1）解：∵该几何体的展开图共有6个面，且各面均为长方形， ∴此几何体为长方体， 用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②； （2）解：表面积， 体积 26．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积（） 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____． 【答案】（1）表格见详解，图1；（2）共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为 【分析】本题考查了几何体的表面积，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． 长() 宽() 高() 表面积() 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 539 图3 16 12 2 496 （2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：； ； 第二类有三种情况，表面积分别为：； ； ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为 27．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C；(2)卫；(3) 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解此题的关键． （1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）先求出所折叠成长方体纸盒的底面是边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 【答案】(1)70；(2)8；(3)见解析 【分析】本题考查长方体体积，将长方形裁成两图需剪开的棱数，画长方体所有展开图问题，掌握长方体体积公式，会画长方体平面展开图是解题关键． （1）利用体积公式：长宽高计算即可； （2）由总的棱数减去没剪开的棱数即可得到答案； （3）根据长方体的平面展开图再画图即可． 【详解】（1）解： ． 该长方体纸盒的体积是． 故答案为：70； （2）解：把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．共有12条棱，4条没剪开， 聪聪一共剪开条棱； 故答案为：8； （3）解：如图，就是所画的图形（答案不唯一）． 29．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 【答案】（1）③；（2）①400；②1000；③2；（3）70；3；见解析 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成进行判断即可； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【详解】解：（1）根据长方体的结构，③不能折成一个长方体，因此③不是长方体的表面展开图． （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍； （3）如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为； 外围周长最大时的表面展开图共有3种不同的形状；长方体的展开图，如图所示： ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 立体图形的表面展开图 课程标准 学习目标 几何体的展开图 掌握常见几何体的展开图，正方体的11种展开图，能够判断正方体展开图的相对面。 知识点01几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③直棱柱的侧面展开图是长方形． (3)展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【即学即练1】 （24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 正方体的展开图 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 【即学即练2】 （24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列图形中可以折成正方体的是（   ） A． B．  C． D．  题型01 几何体展开图的认识 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（    ） A．圆锥，正方体，四棱锥，四棱柱 B．圆柱，正方体，四棱锥，四棱柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，四棱锥 D．圆柱，正方体，四棱柱，四棱锥 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下面的图形中，属于三棱柱的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（    ） A．圆柱，圆锥，四棱柱 B．四棱锥，圆锥，圆柱 C．圆柱，圆锥，三棱锥 D．圆柱，圆锥，三棱柱 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体与其平面展开图用线连接起来． 题型02 由展开图计算几何体的侧面积、表面积 【典例2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个底面边长均为、高为的三棱柱，求它的侧面展开图的面积． 【变式1】（22-23七年级上·贵州·期中）如图，茶杯中部是一条装饰带，这条装饰带的面积是_____． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）根据三视图，可求出这个几何体的侧面积为_____（结果保留） 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，该几何体下端是一个长方体，上端是一个圆柱体，圆柱的底面半径为，求该几何体的表面积．（结果保留） 题型03 由展开图计算几何体的体积 【典例3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某长方体包装盒的平面展开图如图所示，若该长方体包装盒的宽是，长比高多． (1)求该长方体包装盒的长和高； (2)求这个长方体包装盒的体积． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，是一个几何体的表面展开图，请用字母表示该几何体的体积为_______．    【变式2】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【变式3】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为______； （2）图2中的长方体纸盒的长为： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 题型04 正方体展开图的识别 【典例4】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列平面图形不能够围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）张超在学习正方体展开图，将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，然后将各面向外展开，那么展开后的图是（    ）（单位：厘米） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）正方体展开有6个正方形，图甲是其中的4个，其它2个可能在图乙的（    ）位置 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）九年级小李同学设计了一个如图所示的正方体废纸回收盒，将写有“园”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有_______种添加方式． 题型05 正方体相对两面上的字 【典例5】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某正方体的每个面上都有一个汉字．它的一种平面展开图如图所示，那么在原正方体中，与“拼”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．成 B．就 C．梦 D．想 【变式1】（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（    ） A．化 B．传 C．文 D．色 【变式2】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为_______．    【变式3】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）将展开图还原成几何体，若相对两个面上的数互为相反数，求的值？ 题型06 含图案的正方体的展开图 【典例6】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　 　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示的正方体的展开图为（ ） A． B． C． D． 题型07 展开图上两点折叠后的距离 【典例7】（20-21七年级上·陕西西安·期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是________． 【变式1】（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　 　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为_______． 【变式3】（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 1．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一个正方体展开图，有“弘”字一面的相对面上的字是（   ） A．传 B．统 C．文 D．化 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）将如图的正方体表面展开图折成正方体后，与点D重合的点是（   ）    A．点B和点C B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点B 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）下列图形中，不是正方体展开图的是（　 　） A． B．C． D． 5．（23-24九年级下·全国·单元测试）将如图所示的立方体盒子（其余各面无任何标记）展开成一个平面图形，则下列图中可能是（　　 ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在长方形中截取两个相同的圆作为圆柱体的上、下底面，剩余的长方形（阴影部分）作为圆柱体的侧面，刚好能组合成一个圆柱体，则a的值为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·贵州黔西·模拟预测）一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是_______． 12．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为_______． 13．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）一个长方体的展开图及棱长如图所示，则这个长方体的表面积是_______·    14．（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是_______．（结果保留） 15．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）一个直六棱柱，侧棱长为，底面各边长均为，则它的侧面展开图形面积是_______ 16．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）小明同学在一个正方体盒子的六个面上分别写了即“数、学、考、试、加、油”六个字，其平面展开图如图所示，请问在正方体盒子中，与“学”相对的面写的是_____字． 17．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_______． 18．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有_______个． 19．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么_____号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有______组，这个长方体的体积是_______．    20．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是_____字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米．    21．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是晶晶画的一个长方体表面的展开图，并测量出了相关数据（数据无误）．请你帮她判断这个长方体表面的展开图是否正确，若正确，请直接计算出该长方体的体积；若不正确，先在图中修改正确（多余的部分涂上颜色，不足的部分直接在图中补全），再计算这个长方体的体积． 22．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）（1）如图所示的平面图形分别是由哪种几何体展开形成的？ ①______；②______；③______；④______． （2）请你按照所给图形数据计算这个几何体的表面积（结果保留） 23．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数． (1)填空： ____； _______； _______ (2)求的值． 24．（24-25六年级上·山东烟台·阶段练习）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图（1））剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)聪聪一共剪开了__________条棱； (2)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他将剪掉的②粘贴到①中有________种方法． (3)经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 25．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，这是一个几何体的表面展开图． (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号）． ①三角形    ②四边形    ③圆 (2)求该几何体的表面积和体积． 26．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积（） 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____． 27．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 29．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． ( 20 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$