专题05 分式方程求参问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题05 分式方程求参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知分式方程的解或同解求参数 2 类型二、已知分式方程解的范围求参数范围 4 类型三、已知分式方程无解求参数 6 类型四、已知分式方程有增根求参数 8 类型五、已知分式方程的整数解个数求参数 10 压轴能力测评 14 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 2.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 类型一、已知分式方程的解或同解求参数 【例1】关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A．1 B．3 C． D． 【例2】当 时，方程的解与方程的解相同． 【变式1-1】已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知关于的分式方程的解与方程的解相同，求的值． 【变式1-3】已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 类型二、已知分式方程解的范围求参数范围 【例3】已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4】若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【变式2-1】已知关于x的分式的解为非负数，则a的范围为（） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2-2】关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【变式2-3】若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 类型三、已知分式方程无解求参数 【例5】若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【例6】若关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【变式3-1】若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 【变式3-2】若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【变式3-3】“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 类型四、已知分式方程有增根求参数 【例7】若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【例8】关于x的方程有增根，则 ． 【变式4-1】关于的分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【变式4-3】若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 类型五、已知分式方程的整数解个数求参数 【例9】已知关x的分式方程 的解为整数，且关于y 的不等式组有且只有三个整数解，则符合条件的整数 m 的和为 （    ） A． B． C． D． 【例10】若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【变式5-1】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【变式5-2】若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，那么整数a的个数为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-3】若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 1．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．或 B． C． D．或 2．若关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 4．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 5．若关于的分式方程的解，则 6．关于的分式方程． （1）若方程的根为，则 ； （2）若方程有增根，则 7．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 8．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的整数的和为 ． 9．若关于的不等式组至少有4个整数解且最多有6个整数解，关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 10．如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 11．当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式方程求参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知分式方程的解或同解求参数 2 类型二、已知分式方程解的范围求参数范围 4 类型三、已知分式方程无解求参数 6 类型四、已知分式方程有增根求参数 8 类型五、已知分式方程的整数解个数求参数 10 压轴能力测评 14 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 2.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 类型一、已知分式方程的解或同解求参数 【例1】关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入方程得：， 在方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 故选：C． 【例2】当 时，方程的解与方程的解相同． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 方程的解与方程的解相同， 把代入， 得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 当时，方程的解与方程的解相同， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意要验根． 【变式1-1】已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 【变式1-2】已知关于的分式方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：解分式方程，得， 经检验，是方程的解， 关于的分式方程的解与方程的解相同， 将代入， 得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验． 【变式1-3】已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】的值为 【详解】解：在方程的两边同乘，可得：． 解得． 经检验，是方程的解． 把代入方程，得：． 解得． 经检验，是方程的解． ∴的值为． 类型二、已知分式方程解的范围求参数范围 【例3】已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是． 故选：． 【例4】若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【变式2-1】已知关于x的分式的解为非负数，则a的范围为（） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的解为非负数且分式方程要有意义， ∴， 解得且， 故选A. 【点睛】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式2-2】关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解： ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 【变式2-3】若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】m的取值范围为：且． 【详解】解：∵， 去分母得：， 解得：， 因为方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：且． 类型三、已知分式方程无解求参数 【例5】若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 【例6】若关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或． 【变式3-1】若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 【答案】3 【详解】解：去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 最简公分母， ， 当时，得， 即的值为3． 故答案为：3． 【变式3-2】若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【详解】解： 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或． 故答案为：1或． 【变式3-3】“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 【答案】D 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 关于x的方程无解， ∴为增根或， 当，解得， 此时，解得； 当，解得； 综上所述：的值为3或4， 故选：D． 类型四、已知分式方程有增根求参数 【例7】若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，； 故选B． 【例8】关于x的方程有增根，则 ． 【答案】3 【详解】解： 两边同乘以得 ∴ ∵方程有增根， ∴ ∴增根为， 将代入得，， ∴． 故答案为：3． 【变式4-1】关于的分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 的系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：C． 【变式4-2】若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故选：B． 【变式4-3】若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【详解】解： 去分母得， 若原分式方程有增根，则，所以 当 时，，得， 所以若原分式方程有增根，则， 故答案为 ：2． 类型五、已知分式方程的整数解个数求参数 【例9】已知关x的分式方程 的解为整数，且关于y 的不等式组有且只有三个整数解，则符合条件的整数 m 的和为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 去分母得：， 解得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组只有三个整数解， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程的解为整数，即为整数， ∴m必须为偶数， ∴、， 又∵，即， ∴、 ∴符合题意的m的和为， 故选∶C． 【例10】若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】2 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， 解，得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，且， ∴且， ∴且，且为整数， ∴， ∴符合条件的所有整数m的和为； 故答案为：2． 【变式5-1】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【详解】解不等式组，得， ∵不等式组无解， ， 解得， 解分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得， ， ∵方程有整数解， 或或或， 的值可为2、0、3、，4、、7、， 又， ， 或或， 故选：D． 【变式5-2】若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，那么整数a的个数为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解： 由①得： ， 由②得：， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， 由方程得： ∵方程有正整数解， ∴，4 又∵， ∴，4 ， 故选：C． 【变式5-3】若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】4 【详解】解： 整理得， 不等式组有且仅有4个整数解， ，整理得， 又， ， ， 整理得， 关于的分式方程有非负整数解， 有，解得，即，故， ，整理得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：4． 1．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：， ， 去分母得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 或， 解得：或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 的值是或， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为0确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．若关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为一，， 由题意得：， ， ， ， 故选：B． 3．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 【答案】A 【详解】，去分母， 得，化简得，当时， ， 方程有整数根，的值是整数， 当时，，方程的根； 当时，，方程的根(增根，舍去)； 当时，，方程的根；当时， ，方程的根(增根，舍去)，综上所述，的值为3或5． 4．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴ ， 解得， 解关于y的分式方程 ， 得， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ， 或或， 所有满足条件的整数a的值有：，，， 符合条件的所有整数a的和为．故选：B． 5．若关于的分式方程的解，则 【答案】 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 6．关于的分式方程． （1）若方程的根为，则 ； （2）若方程有增根，则 【答案】 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：； （2）， ， ， 的分式方程有增根， ， ， ； 故答案为：，． 7．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵方程的解是正数 ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 8．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】 【详解】 去分母得： 解得： ∵分式方程的解为整数， ∴为整数且 ∴为整数且 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有五个整数解， ∴，解得： 综上所述：符合条件的整数的值为： 符合条件的整数a的和为： 故答案为：． 9．若关于的不等式组至少有4个整数解且最多有6个整数解，关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 解该不等式组得： ∵关于x的不等式组至少有4个整数解且最多有6个整数解， ∴， 解该分式方程得：， ∵且， 解得且， 综上可知，且， ∴a取． ． 故答案为：． 10．如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【答案】且 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且． 11．当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？ 【答案】当时，分式方程有增根． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴或， ∴或． 方程两边同乘，得， 整理得， 当时，； 当时，． 当时，方程为，此时方程无解， ∴当时，分式方程有增根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$