第13章 分式压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

第13章 分式压轴训练 一、选择压轴 1．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 2．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 3．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 6．，则的整数部分为（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 7．已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．若除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除），记为，如：在中，能被整除，∵，所以；类似的；等等．根据以上知识回答下列问题： 若整数满足，整数满足，则； 若，则符合题意的整数的值之和； 整数满足的的值为任意整数．以上结论中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或3 二、填空压轴 11．能使分式值为整数的整数有 个． 12．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 13．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 14．当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ． 15．分式方程的解大于1时，的取值范围是 ． 16．已知，，．求 ． 17．小刚在化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式M是 ． 18．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 三、解答压轴 19．下面是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ………………第一步 …………第二步 …………………第三步 …………………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______； (2)已知，求的值． 20．现有两块钢板，甲钢板是半径为的圆，如图1所示；乙钢板是半径为的圆中间去掉半径为的小圆后剩下的圆环部分，如图2所示． (1)在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求的值； (2)当压力一定时，物体所受的压强与受力面积的关系式为、现测试甲、乙两块钢板的抗压性，对两块钢板施加相同的压力． ①甲钢板所受的压强______Pa，乙钢板所受的压强______Pa； ②将进行化简；当时，直接写出的取值范围 21．【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 22．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串”是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串”的值． 23．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 24．经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：、，在平段电价基础上提高元/千瓦时． 2．低谷时段：，在平段电价基础上降低元/千瓦时． 3．平段：、、，平段电价为国家规定的销售电价． (1)某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量．低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ (2)电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 25．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______， ______ (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 26．我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则 ， ． (2)若十字分式方程的两个解分别为求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 分式压轴训练 一、选择压轴 1．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 2．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 增根为 ． 故选：D． 3．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，……； 由此知，每3个为一循环， 而，且， ∴ ； 故选：C． 4．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 5．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：原方程 去分母得：， 整理得：， ∵有意义， ∴ ∴且， 解得且 当时，方程的解为正数； 当时，方程无解； ∴当，方程的解为负数， 解得：， 综上所述，此时k的范围为，且， 故选：D． 6．，则的整数部分为（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】B 【详解】解：， 数A在与之间， 在与之间，即和之间， 的整数部分为119． 故选：B． 7．已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解： ，， ， ， A、若，则，但不能判断的符号，故不能得出，即不能得到，故该选项错误，不符合题意； B、若，同理无法判断的符号，不能得到，故该选项错误，不符合题意； C、若，则，故该选项正确，符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 8．若除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除），记为，如：在中，能被整除，∵，所以；类似的；等等．根据以上知识回答下列问题： 若整数满足，整数满足，则； 若，则符合题意的整数的值之和； 整数满足的的值为任意整数．以上结论中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵整数满足，整数满足， ∴，，其中为整数， ∴， ∴能被整除，即，故正确； ∵， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数， 则需为整数， ∴或或， 解得：的值为，，，，，， ∴符合题意的整数的值之和，故不正确； ∵， ∴是的倍数，也是的倍数， ∴整数任意整数都满足，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 9．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故选：D． 10．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或3 【答案】C 【详解】解：（1）当时，方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）当时，方程整理得：， 去分母到：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选C． 二、填空压轴 11．能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 12．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】 【详解】解：令， 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∵一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， ， 去分母得：， ， ， ∵关于分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∵为非负整数，为整数， ∴可以取，，， ∴符合条件的所有整数的值的和为：． 故答案为：． 13．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 16 【详解】解：由题意可得： ， ∵的值为正整数，为整数 ∴或2或3或6， ∴符合题意的，3，4，7， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：，16． 14．当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ． 【答案】 【详解】将，代入，原式， 将，代入，原式， 当时，原式， 当时，， 故当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时， 将所得结果相加，其和等于， 故答案为：． 15．分式方程的解大于1时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵，， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 16．已知，，．求 ． 【答案】1 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为： 17．小刚在化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式M是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵化简得到的结果是， ∴ ， ∴． 故答案为：． 18．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 三、解答压轴 19．下面是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ………………第一步 …………第二步 …………………第三步 …………………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；漏掉了分母 (2) 【详解】（1）解：由解答过程知，小明从第二步开始出现错误，原因是漏掉了分母； 故答案为：二；漏掉了分母； （2）解：∵， ∴； ∴ ． 20．现有两块钢板，甲钢板是半径为的圆，如图1所示；乙钢板是半径为的圆中间去掉半径为的小圆后剩下的圆环部分，如图2所示． (1)在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求的值； (2)当压力一定时，物体所受的压强与受力面积的关系式为、现测试甲、乙两块钢板的抗压性，对两块钢板施加相同的压力． ①甲钢板所受的压强______Pa，乙钢板所受的压强______Pa； ②将进行化简；当时，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)①；；②； 【详解】（1）解：甲钢板的周长为：；乙钢板的周长为：； 设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为元， 由题意得：， 两式相比，消去x得：， 解得：； 即a的值为7； （2）解：①甲钢板的面积为：， 乙钢板的面积为：； 则，； 故答案为：；； ②， ∴； ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 21．【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 【答案】[类比]增大； [拓展]（1），； （2）当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了 【详解】解：[类比]： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：[拓展] （1）当时，；当时，； 故答案为：； （2） ， 当时，， ∴ ∴； 当时，， ∴ ∴； 综上，当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了． 22．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串”是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串”的值． 【答案】（1）①（2）是，0（3）2 【详解】解：（1），故①是“均衡分式串”， ，故②不是“均衡分式串”， ，故③不是“均衡分式串”， 故答案为：①； （2）是，理由：； （3）∵， ∴， ∴ ． 23．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 【答案】，，，，，证明见解析 【详解】解：探究：若△处输入数字2，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字5，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字100，设程序的结果为， ∴， ∵， ∴； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为， 程序的结果为； ∴， 同理：， ∴ ； ∴成立． 24．经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：、，在平段电价基础上提高元/千瓦时． 2．低谷时段：，在平段电价基础上降低元/千瓦时． 3．平段：、、，平段电价为国家规定的销售电价． (1)某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量．低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ (2)电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 【答案】(1)平段电价为元/千瓦时 (2)降价后高峰电价元/千瓦时 【详解】（1）解：设平段电价为元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，则 解得； 答：平段电价为元/千瓦时． （2）解：高峰电价元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时， 设降价元/千瓦时，9月份高峰时段费用为万元， 则， 解得  经检验是原方程的解， 降价后高峰电价元/千瓦时， 答：降价后高峰电价元/千瓦时． 25．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______， ______ (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为， ∴，， ∴ ； （3）解：∵方程是十字分式方程，可化为， 当时，， ∵关于x的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 26．我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则 ， ． (2)若十字分式方程的两个解分别为求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)2 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$