专题06 分式方程的实际应用（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题06 分式方程的实际应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、行程问题 2 类型二、工程问题 5 类型三、销售利润问题 10 类型四、方案问题 14 压轴能力测评 18 用方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类问题的一般步骤为： ①“审”：指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． ②“设”：就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． ③“列”：就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． ④“解”：就是解方程，求出未知数的值． ⑤“检验”：就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． ⑥“答”：就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、行程问题 【例1】如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口． 【例2】焦作云台山风景区位于河南焦作修武县和山西陵川县境内，以独具特色的“北方岩溶地貌”“云台山水”被联合国教科文组织列入全球首批世界地质公园名录．刘轩家离云台山风景区，他们计划周末驾车去云台山风景区游玩． (1)刘轩爸爸按计划的速度行驶小时后，提速到原来的倍继续行驶，结果比原计划提前小时到达，他们实际到云台山风景区需要多长时间? (2)第二天返回时有两种行车方案： 方案一：前半段路程按千米/时的速度行驶，后半段路程按千米/时的速度行驶，行完全程需要小时； 方案二：设行完全程需要小时，其中一半时间按千米/时的速度行驶，另一半时间按千米/时的速度行驶． 请比较，的大小，并说明理由． 【变式1-1】春季阳光明媚，某班级利用周末时间去公园开展春游活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加活动．乙同学的速度是甲同学的速度的1.2倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度． 【变式1-2】从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． (1)求高铁的平均速度； (2)某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【变式1-3】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥开通前从香港到珠海的车程为180千米，开通后的车程缩短了130千米，行驶时间仅为原来行驶时间的，已知港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均时速比开通前的平均时速多40千米． (1)港珠澳大桥开通后， ①从香港到珠海的车程为______千米； ②开通后的行驶时间=开通前的行驶时间×______； (2)求港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是多少？ 类型二、工程问题 【例3】在临江河的治理过程中，要铺设一条长为1000米的管道，由甲、乙两个工程队来完成这一工程．甲队比乙队每天能多铺设20米，且甲队铺设350米所用的时间与乙队铺设250米所用的时间相等． (1)甲、乙两个队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求工程的工期不能超过10天，那么为两个队分配工程（以百米为单位）的方法有几种？请设计出来． 【例4】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【变式2-1】新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套． (1)求原来生产防护服的工人有多少人？ (2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 【变式2-2】2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． (1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 【变式2-3】随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用．某零件生产企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元． (1)购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？ (2)在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等．甲类智能机器每天能工作16小时，乙类智能机器每天能工作12小时．该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是多少? 类型三、销售利润问题 【例5】甲、乙两人同时去同一家加油站加95号汽油，甲花200元所加的油量比乙花280元所加的油量少10升． (1)求95号汽油的单价； (2)甲、乙两人第二次去加95号汽油时，单价比第一次少了1元/升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加95号汽油的平均单价是______元/升，乙两次加95号汽油的平均单价是______元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由； 说理过程如下：甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且．两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总是加汽油b元．（请你继续完成上述说理过程） 【例6】小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，求这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？ 【变式3-1】某超市第一次用6000元购进某种水果若干千克，第二次又用6000元购进该种水果，但这次每千克的进价比第一次增加了25%，购进数量少了30千克． (1)第一次该种水果的进价是多少元/千克？ (2)若要求这两次购进的该水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于4200元，问每千克水果的售价至少是多少元？ 【变式3-2】某地出台家电补贴政策，品牌的冰箱、空调以旧换新每台分别补贴300元和200元．某公寓楼翻新装修时，积极响应政策号召，进行更新冰箱和空调共计300台，据统计这300台冰箱和空调全部换为品牌的一共可获得7万元补贴． (1)该公寓楼更新的冰箱和空调各有多少台？ (2)购买1台品牌的冰箱比购买1台品牌的空调多1000元，用5万元购买品牌的冰箱和用4万元购买品牌的空调的数量相同，那么该公寓楼更新300台品牌的冰箱和空调在获得7万元补贴后，还需投入的资金是多少元？ 【变式3-3】某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，刘老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需交费340元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费480元； 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用会比原来少5元． 根据以上信息，求原来报名参加活动的学生有多少人？在没有享受优惠的情况下每人需交费多少元？ 类型四、方案问题 【例7】学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【例8】甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【变式4-1】钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首．某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用．经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同． (1)求茶壶和茶杯的单价． (2)学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案．方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售．问学校选择哪种方案购买才更省钱？ 【变式4-2】国庆期间，小明和小李两家打算自驾去某地游玩．制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表． 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分析 距离短，路上货车较多，影响速度，比方案二晚到10分钟 距离长，速度快，平均速度是方案一平均速度的2倍． (1)求日常情况下方案一需要的时间； (2)国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择走高速．同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60千米以上，请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下，哪家能先到达目的地？请说明理由． 【变式4-3】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论： 芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满． 敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满． (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500元）加油． 若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算． 1．现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给、、三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的分发给小区，则小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若、小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则小区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（　　） A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41 2．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　） A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时 3．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ． 4．某商场购进甲、乙两种商品进行销售，乙商品的进价比甲商品的进价高10元/件，如果该商场花费100元购进甲商品，花费60元购进乙商品，则购进甲商品的数量是乙商品的2倍． (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商场计划购进两种商品共100件，购进总费用不超过5360元，且购进乙商品的件数不少于甲商品的件数的一半，问：共有几种进货方案？哪种方案购买的总费用最少？ 5．国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，成都某社区拟建A、B两类地摊摊位，已知每个A类摊位占地面积比B类多2平方米，建A类摊位需40元/平方米，B类30元/平方米，用60平方米建A类摊位的个数恰好是同样面积建B类摊位个数的． (1)求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)若该社区拟建A、B两种摊位共90个，且A类摊位数量要多于22个，建造总费用不超过10850元，则共有几种建造方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案总费用最少？最少费用为多少元？ 6．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 7．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 8．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 9．某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 10．安阳市滑县的道口镇是全国闻名的烧鸡之乡，道口烧鸡由道口镇义兴张烧鸡店所产，是河南著名特产食品之一．某超市分两次购进若干箱道口烧鸡，第一次用了2800元，第二次用了4410元，第二次所购数量是第一次所购数量的1.5倍，第二次每箱的购进价格比第一次每箱的购进价格多了2元． (1)求第一次每箱道口烧鸡的购进价格． (2)若该超市将两次购进的道口烧鸡以相同的价格出售，若全部售出使利润不少于840元，则这两次购进的道口烧鸡售价每箱至少应为多少元？ 11．某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．甲机器人比乙机器人每小时少搬运，甲机器人搬运所用时间与乙机器人搬运所用的时间相同，问乙种机器人每小时搬运多少的产品？ (1)下面是孙丽，王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：____________同学的． 孙丽同学：设乙每小时搬运产品，根据题意，得， 王宁同学：设乙搬运产品所用时间为小时，根据题意，得 (2)请把错误的方程改正过来，并写出完整的解答过程． 12．小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买2个篮球和7副羽毛球拍共需元；购买3个篮球和1副羽毛球拍共需元； (1)每个篮球需 _________元，每副羽毛球拍 _________元； (2)“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，用元购买篮球的个数比用元购买羽毛球拍的副数少5； ①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？ ②小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的元，问他有几种购买方案？请说明理由． 13．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． (1)该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式方程的实际应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、行程问题 2 类型二、工程问题 5 类型三、销售利润问题 10 类型四、方案问题 14 压轴能力测评 18 用方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类问题的一般步骤为： ①“审”：指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． ②“设”：就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． ③“列”：就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． ④“解”：就是解方程，求出未知数的值． ⑤“检验”：就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． ⑥“答”：就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、行程问题 【例1】如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口． 【答案】琳琳 【详解】解：设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴ 所以，琳琳从到所用的时间为： 华华从到所用的时间为： ∵， ∴琳琳先到达出口． 故答案为：琳琳 【例2】焦作云台山风景区位于河南焦作修武县和山西陵川县境内，以独具特色的“北方岩溶地貌”“云台山水”被联合国教科文组织列入全球首批世界地质公园名录．刘轩家离云台山风景区，他们计划周末驾车去云台山风景区游玩． (1)刘轩爸爸按计划的速度行驶小时后，提速到原来的倍继续行驶，结果比原计划提前小时到达，他们实际到云台山风景区需要多长时间? (2)第二天返回时有两种行车方案： 方案一：前半段路程按千米/时的速度行驶，后半段路程按千米/时的速度行驶，行完全程需要小时； 方案二：设行完全程需要小时，其中一半时间按千米/时的速度行驶，另一半时间按千米/时的速度行驶． 请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)小时 (2) 【详解】（1）解：∵设前一小时行驶的速度为，且提速后的速度为原来速度的倍， 故提速后的速度为， ∴提速后走完剩余路程的时间为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故原计划行驶的速度为，原计划需要的时间为， 故实际到云台山风景区需要小时多长时间． （2）解：方案一中，前半段路程按千米/时的速度行驶，则需要小时， 后半段路程按千米/时的速度行驶，则需要小时， 则（小时）； 方案一中，设行完全程需要小时，其中一半时间按千米/时的速度行驶，则行驶的路程为千米， 另一半时间按千米/时的速度行驶，则行驶的路程为千米， 则， 即（小时）； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1-1】春季阳光明媚，某班级利用周末时间去公园开展春游活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加活动．乙同学的速度是甲同学的速度的1.2倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度． 【答案】甲同学的速度为75米/分，乙同学的速度为90米/分 【详解】解：设甲同学的速度为x米/分，则乙同学的速度为米/分， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲同学的速度为75米/分，乙同学的速度为90米/分． 【变式1-2】从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． (1)求高铁的平均速度； (2)某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度是每小时240千米 (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米 根据题意列方程得 解方程得                     经检验是原分式方程的解， 高铁的平均速度： 答：高铁的平均速度是每小时240千米 （2）能，（小时） 小时，从11点20分开始3个小时后是14点20分． 答：他能在开会之前到达 【变式1-3】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥开通前从香港到珠海的车程为180千米，开通后的车程缩短了130千米，行驶时间仅为原来行驶时间的，已知港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均时速比开通前的平均时速多40千米． (1)港珠澳大桥开通后， ①从香港到珠海的车程为______千米； ②开通后的行驶时间=开通前的行驶时间×______； (2)求港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是多少？ 【答案】(1)①50；② (2)港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是100千米时 【详解】（1）解：根据题意得：港珠澳大桥开通后， ①从香港到珠海的车程为（千米）， ②开通后的行驶时间=开通前的行驶时间． 故答案为：①50；②； （2）解：设港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是x千米/小时，则港珠澳大桥开通前从香港到珠海的平均速度是千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是100千米/小时． 类型二、工程问题 【例3】在临江河的治理过程中，要铺设一条长为1000米的管道，由甲、乙两个工程队来完成这一工程．甲队比乙队每天能多铺设20米，且甲队铺设350米所用的时间与乙队铺设250米所用的时间相等． (1)甲、乙两个队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求工程的工期不能超过10天，那么为两个队分配工程（以百米为单位）的方法有几种？请设计出来． 【答案】(1)甲队每天能铺设70米，乙队每天能铺设50米 (2)分配方案有3种：方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米． 【详解】（1）解：设甲队每天能铺设x米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 则， 答：甲队每天能铺设70米，乙队每天能铺设50米； （2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队米． 由题意，得， 解得． 所以分配方案有3种： 方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米； 方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米． 【例4】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间 (2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块 (3)不能，每小时至少多做12块 【详解】（1）解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍， 故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量 小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块， 故x表示乙队完成任务所需时间； （2）解：，得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； 解：，得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； （3）不能；1小时20分钟小时 甲队已完成：（块）； 乙队已完成：（块）； 还剩余：（块）； 两队合作1小时可完成：（块）， ， 故不能完成； （块）； 答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务． 【变式2-1】新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套． (1)求原来生产防护服的工人有多少人？ (2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 【答案】(1)原来生产防护服的工人有人； (2)至少还需要生产8天才能完成任务 【详解】（1）解：设原来生产防护服的工人有x人， 由题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解， 答：原来生产防护服的工人有人； （2）设还需要生产 y天才能完成任务. (套)， 即每人每小时生产5套防护服. 由题意，得， 解得 答：至少还需要生产8天才能完成任务． 【变式2-2】2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． (1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 【答案】(1)完成第一项任务实际用了2天 (2)， (3)，理由见解析 【详解】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务， 由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：完成第一项任务实际用了2天； （2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天）， 乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天）， 故答案为：，； （3）解：，理由为： ， ∵a、b都为正数，且， ∴，，， ∴， ∴，则． 【变式2-3】随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用．某零件生产企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元． (1)购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？ (2)在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等．甲类智能机器每天能工作16小时，乙类智能机器每天能工作12小时．该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是多少? 【答案】(1)购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台； (2)该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是15200件． 【详解】（1）解：设购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台， 由题意得：， 解得：， （台）， 答：购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台； （2）解：设甲类智能机器每小时完成的零件数量为件，则乙类智能机器每小时完成的零件数量为件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， （件）， 即甲类智能机器每小时完成的零件件，乙类智能机器每小时完成的零件件， （件）， 答：该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是15200件． 类型三、销售利润问题 【例5】甲、乙两人同时去同一家加油站加95号汽油，甲花200元所加的油量比乙花280元所加的油量少10升． (1)求95号汽油的单价； (2)甲、乙两人第二次去加95号汽油时，单价比第一次少了1元/升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加95号汽油的平均单价是______元/升，乙两次加95号汽油的平均单价是______元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由； 说理过程如下：甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且．两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总是加汽油b元．（请你继续完成上述说理过程） 【答案】(1)8元/升 (2)7.5， (3)金额，甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高，故建议按相同金额加油更合算 【详解】（1）解：设95号汽油的单价为元/升， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 95号汽油的单价为元/升； （2）解：甲第一次加油的量为：（升）， 甲第二次加油所花的钱为：（元）， 甲两次加95号汽油的平均单价是：（元/升）； 乙第一次加油的量为：（升）， 乙第二次加油的量为：（升）， 乙两次加95号汽油的平均单价是：（元/升）； 故答案为：7.5，； （3）解：由题意得： 甲两次加油的平均单价为：（元/升）， 乙两次加油的平均单价为：（元/升）， ， ，且，， ，， ， ， 甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高， 故建议按相同金额加油更合算， 故答案为：金额． 【例6】小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，求这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？ 【答案】这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元 【详解】设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元， 根据题意得：， 解方程得：，或， 经检验，、都是原方程的解， 但不符合题意，故舍去， （元）， 答：这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元． 【变式3-1】某超市第一次用6000元购进某种水果若干千克，第二次又用6000元购进该种水果，但这次每千克的进价比第一次增加了25%，购进数量少了30千克． (1)第一次该种水果的进价是多少元/千克？ (2)若要求这两次购进的该水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于4200元，问每千克水果的售价至少是多少元？ 【答案】(1)第一次的进价是40元/千克． (2)每千克水果的售价至少是60元 【详解】（1）解：设第一次的进价为元/千克， 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的根， 答：第一次的进价是40元/千克． （2）解：设每千克水果的售价为元，第一次购进（千克），则第二次购进120千克， 由题意得， 解得． 答：每千克水果的售价至少是60元． 【变式3-2】某地出台家电补贴政策，品牌的冰箱、空调以旧换新每台分别补贴300元和200元．某公寓楼翻新装修时，积极响应政策号召，进行更新冰箱和空调共计300台，据统计这300台冰箱和空调全部换为品牌的一共可获得7万元补贴． (1)该公寓楼更新的冰箱和空调各有多少台？ (2)购买1台品牌的冰箱比购买1台品牌的空调多1000元，用5万元购买品牌的冰箱和用4万元购买品牌的空调的数量相同，那么该公寓楼更新300台品牌的冰箱和空调在获得7万元补贴后，还需投入的资金是多少元？ 【答案】(1)该公寓楼更新的冰箱100台，空调200台； (2)元 【详解】（1）设该公寓楼更新的冰箱x台，空调y台， 根据题意得， 解得 ∴该公寓楼更新的冰箱100台，空调200台； （2）设购买1台品牌的空调为x元，则购买1台品牌的冰箱为元， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解 ∴购买1台品牌的空调为4000元，则购买1台品牌的冰箱为5000元， ∴（元）． ∴该公寓楼更新300台品牌的冰箱和空调在获得7万元补贴后，还需投入的资金是元． 【变式3-3】某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，刘老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需交费340元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费480元； 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用会比原来少5元． 根据以上信息，求原来报名参加活动的学生有多少人？在没有享受优惠的情况下每人需交费多少元？ 【详解】解：设原来报名参加的学生有人， 依题意得：，解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 在没有享受优惠的情况下每人需交费：（元）． 答：原来报名参加活动的学生有20人，在没有享受优惠的情况下每人需交费17元． 类型四、方案问题 【例7】学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． (2)共有3种方案． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 【例8】甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要5天； (2)乙工程队应采取B方案，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：x＝， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得： ； ． ∴ ． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取B方案； 【变式4-1】钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首．某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用．经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同． (1)求茶壶和茶杯的单价． (2)学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案．方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售．问学校选择哪种方案购买才更省钱？ 【答案】(1)茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元 (2)当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱；当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同；当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱 【详解】（1）解：设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元． （2）设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个． 由题意，得； ． 令，即，解得； 令，即，解得； 令，即，解得． 综上所述，当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱； 当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同； 当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱． 【变式4-2】国庆期间，小明和小李两家打算自驾去某地游玩．制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表． 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分析 距离短，路上货车较多，影响速度，比方案二晚到10分钟 距离长，速度快，平均速度是方案一平均速度的2倍． (1)求日常情况下方案一需要的时间； (2)国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择走高速．同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60千米以上，请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下，哪家能先到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)方案一需要的时间为70分钟 (2)当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达 【详解】（1）解：设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟， 由题意得：， 解得：， 答：方案一需要的时间为70分钟； （2）解：由（1）知，小李家达到目的地所用的时间：（分钟）， 小明家一开始的平均速度为：（千米/分钟）， 20分钟后，小明家的平均速度达到每小时60千米以上，即每分钟1千米以上， 设小明家的平均速度为千米/分钟， 由题意得小明家到目的地所用的时间：， 则， 解得：， （千米/小时）， 答：当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达． 【变式4-3】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论： 芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满． 敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满． (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500元）加油． 若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算． 【答案】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个 (2)方式一：，方式二：；选择方式二 【详解】（1）解：设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 则， 答：每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个； （2）解：按照方式一加油的平均单价为（元/升）， 按照方式二加油的平均单价为（元/升）， 按方式一加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得： （元/升）， ∵，，且， ∴，，即， ∴选择方式二加油更合算． 1．现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给、、三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的分发给小区，则小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若、小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则小区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（　　） A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41 【答案】B 【详解】解：设第一批和第二批口罩数量分别为a和b，小区第二周收到的口罩数量为x，由题意可得如下信息： A B C 三个小区口罩总量 第一周 第二周 ∵小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9， ∴， ∴， 由、小区两周收到的口罩数量之比为3：4， ∴、、三个小区两周收到的口罩数量之和的比为， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式的应用，解题关键是正确理解题意，根据其中的比例关系正确表示出第一周和第二周的A和B两个小区的口罩数量，以及求出a和b的数量关系，本题较为抽象，学生在审题上易出现困难． 2．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　） A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时 【答案】C 【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则 ． 解得x＝20． 经检验x＝20是原方程的根，且符合题意． ∴x=20是所列方程的解． ∴x-5=15． ∴甲的工作效率是，乙的工作效率是， 则丙的工作效率是． ∴一轮的工作量为：． ∴4轮后剩余的工作量为：． ∴还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：． ∴丙还需要工作小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+ ＝14 小时． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ． 【答案】 【详解】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为， 根据题意，得， 解得， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程方程是应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 4．某商场购进甲、乙两种商品进行销售，乙商品的进价比甲商品的进价高10元/件，如果该商场花费100元购进甲商品，花费60元购进乙商品，则购进甲商品的数量是乙商品的2倍． (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商场计划购进两种商品共100件，购进总费用不超过5360元，且购进乙商品的件数不少于甲商品的件数的一半，问：共有几种进货方案？哪种方案购买的总费用最少？ 【答案】(1)甲商品的进货单价是50元件，乙商品的进货单价是60元件； (2)共有3种购买方案，购进66件甲商品，34件乙商品时，总费用最少． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价是元件，则乙商品的进货单价是元件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元件）． 答：甲商品的进货单价是50元件，乙商品的进货单价是60元件； （2）解：设购进件甲商品，则购进件乙商品， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为64，65，66， 共有3种购买方案， 方案1：购进64件甲商品，36件乙商品，所需总费用为（元； 方案2：购进65件甲商品，35件乙商品，所需总费用为（元； 方案3：购进66件甲商品，34件乙商品，所需总费用为（元． ， 购进66件甲商品，34件乙商品时，总费用最少． 答：共有3种购买方案，购进66件甲商品，34件乙商品时，总费用最少． 5．国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，成都某社区拟建A、B两类地摊摊位，已知每个A类摊位占地面积比B类多2平方米，建A类摊位需40元/平方米，B类30元/平方米，用60平方米建A类摊位的个数恰好是同样面积建B类摊位个数的． (1)求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)若该社区拟建A、B两种摊位共90个，且A类摊位数量要多于22个，建造总费用不超过10850元，则共有几种建造方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米 (2)共有3种建造方案，方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位； (3)建造23个A类摊位，67个B类摊位这种方案的费用最少，最少费用是10630元 【详解】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为平方米， 依题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米； （2）设建造m个A类摊位，则建造个B类摊位， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取23，24，25， ∴共有3种建造方案， 方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位； 方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位； 方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位； （3）方案1所需总费用为：（元）， 方案2所需总费用为：（元）， 方案3所需总费用为：（元）． ∵， ∴方案1的总费用最少，最少费用是10630元． 答：建造23个A类摊位，67个B类摊位这种方案的费用最少，最少费用是10630元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够准确地找到数量关系进行列式求解． 6．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】(1)元/千克 (2)元 【详解】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克． （2）设每千克蓝莓的售价是元， 根据题意得：， 解得：， 即y的最小值为． 答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元． 7．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 【答案】(1)购买半盔型个，全盔型个 (2) 【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个． 由题意得：， 解得 故半盔型个，全盔型为：． 答：购买半盔型个，全盔型个． （2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为， 全盔型降价后，一个全盔型的获利为， 根据题意可得， 解得： 经检验，为原方程的解，且符合题意． 故． 8．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 【答案】(1)该商品的单价为21元 (2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②或28 【详解】（1）解：设该商品的单价为x元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴该商品的单价为21元； （2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件， 乙两次一共购买的商品数量为， ∴甲的平均单价为， 乙的平均单价为， 即， ∴甲的平均单价等于乙的平均单价； ②甲商品一月份一共购进的商品数量为件 当时，则二月份甲购进的商品数量为件， 设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件， 由题意得，， ∴， ∴； ∴， ∵m、n都是正整数， ∴， ∴， ∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半， ∴， ∴， ∴， ∴且m是正整数， 又∵也是正整数， ∴m必须是偶数， ∴m的值为或28． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键． 9．某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 10．安阳市滑县的道口镇是全国闻名的烧鸡之乡，道口烧鸡由道口镇义兴张烧鸡店所产，是河南著名特产食品之一．某超市分两次购进若干箱道口烧鸡，第一次用了2800元，第二次用了4410元，第二次所购数量是第一次所购数量的1.5倍，第二次每箱的购进价格比第一次每箱的购进价格多了2元． (1)求第一次每箱道口烧鸡的购进价格． (2)若该超市将两次购进的道口烧鸡以相同的价格出售，若全部售出使利润不少于840元，则这两次购进的道口烧鸡售价每箱至少应为多少元？ 【答案】(1)第一次每箱道口烧鸡的购进价格为40元 (2)这两次购进的道口烧鸡售价每箱至少应为46元 【详解】（1）解：设第一次每箱道口烧鸡的购进价格为元，则第二次每箱道口烧鸡的购进价格为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，也符合题意． 答：第一次每箱道口烧鸡的购进价格为40元． （2）解：∵第一次每箱道口烧鸡的购进价格为40元， ∴第二次每箱道口烧鸡的购进价格为42元， ∴得第一次购进道口烧鸡箱，第二次购进道口烧鸡箱， 设两次购进的道口烧鸡的售价为元， 根据题意，得，解得． 答：这两次购进的道口烧鸡售价每箱至少应为46元． 【点睛】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，能找出等量关系列出分式方程求解实际问题是解题的关键． 11．某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．甲机器人比乙机器人每小时少搬运，甲机器人搬运所用时间与乙机器人搬运所用的时间相同，问乙种机器人每小时搬运多少的产品？ (1)下面是孙丽，王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：____________同学的． 孙丽同学：设乙每小时搬运产品，根据题意，得， 王宁同学：设乙搬运产品所用时间为小时，根据题意，得 (2)请把错误的方程改正过来，并写出完整的解答过程． 【答案】(1)孙丽 (2)乙机器人每小时搬运产品． 【详解】（1）孙丽同学设乙机器人每小时搬运产品，根据题意，得， 王宁同学设乙机器人搬运产品所用时间为小时，根据题意，得， ∴错误的是：孙丽同学， 故答案为：孙丽； （2）设乙机器人每小时搬运产品， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：乙机器人每小时搬运产品． 12．小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买2个篮球和7副羽毛球拍共需元；购买3个篮球和1副羽毛球拍共需元； (1)每个篮球需 _________元，每副羽毛球拍 _________元； (2)“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，用元购买篮球的个数比用元购买羽毛球拍的副数少5； ①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？ ②小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的元，问他有几种购买方案？请说明理由． 【答案】(1)， (2)①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行9折销售；②小江共有3种购买方案，理由见解析 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元， 依题意得：， 解得：， ∴篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元． 故答案为：，； （2）①解：设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行9折销售； ②解：共有3种购买方案，理由如下； 设购买篮球个，羽毛球拍副， 依题意得，， 解得，， ∵为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，共有3种购买方案． 13．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． (1)该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】(1)600套 (2)200元 【详解】（1）解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； （2）解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$