精品解析：四川省广安友谊中学2024-2025学年九年级上学期10月检测数学试题

友谊中学（平安校区）初2022级九上第一次月考数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正九边形 3. 若A（-4，），B（-1，），C（2，）为二次函数y＝-＋4x＋5图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. << B. << C. << D. << 4. 抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A. B. C. D. 5. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　） A. 12 B. 6 C. 6 D. 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为 A. （3，2） B. （3，3） C. （3，4） D. （3，1） 9. 二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每个题3分，共18分） 11. 当________时，是二次函数． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______. 13. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________． 14. 如图，中，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与交于点D，则的面积为____________________． 15. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且．把绕点A顺时针旋转得到，此时E，B，M共线．若正方形的边长为6，，则的长是__________． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____． 三、解答题（共72分） 17. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 18. 如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内． （1）如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______． （2）如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的写出的坐标； （2）画出与关于点成中心对称的图形，写出的坐标． 20. 如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 22. 如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．（设墙有足够长） （1）整个生态园的面积为能否达到96平方米？ （2）求最大面积． 23. 某服装店购进一批衬衣，成本价每件元，若售价为元，则每月能售出件．经调查发现，售价每增长2元，则销量将减少件，但售价增长不能超过20元． （1）求出月销售利润（元）与售价增长（元/件）之间的函数关系式． （2）当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？ 24. 如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． （1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； （2）在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； （3）在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 25. 如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．连接． （1）求证：． （2）求证：平分 （3）求证：； 26. 如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标，并连接，，求的面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友谊中学（平安校区）初2022级九上第一次月考数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴‌‌）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合意义； D、正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C 3. 若A（-4，），B（-1，），C（2，）为二次函数y＝-＋4x＋5图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】C 【解析】 【分析】将A（-4，），B（-1，），C（2，）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可． 【详解】∵A（-4，），B（-1，），C（2，）为二次函数y＝-＋4x＋5的图象上的三点， ∴y1=-16-16+5=-27，即y1=-27， y2=-1-4+5=0，即y2=0， y3=-4+8+5=9，即y3=9， ∵-27＜0＜9， ∴<<. ​故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键，经过二次函数图象上的某点，该点的坐标满足二次函数解析式. 4. 抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c的符号，根据二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，逐一讨论即可得答案． 【详解】A.∵a＞0， ∴二次函数的图象开口向上，故该选项错误， B.∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＞0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＞0， ∴一次函数与x轴交于x轴正半轴，故该选项正确， C.由B选项可知该选项错误， D.∵二次函数图象与y轴交于y轴负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＜0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＜0， ∴一次函数与x轴交于x轴负半轴，故该选项错误， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 5. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移过程为先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， 故选：C． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　） A. 12 B. 6 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接B'B，∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°， ∴△AA'C是等边三角形， ∴∠AA'C=60°， ∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°， ∴△BCB'是等边三角形， ∴∠CB'B=60°， ∵∠CB'A'=30°， ∴∠A'B'B=30°， ∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°， ∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6， ∴AB=12， ∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6， ∴B'B=6， 故选：D． 【点睛】此题考查旋转问题，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答． 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 8. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为 A. （3，2） B. （3，3） C. （3，4） D. （3，1） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据A与A′关于C点对称，设A′的坐标为（a，b），可知，，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A 考点：中心对称 9. 二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线x=-1，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线x=-1， ∴在的范围内，当x=2时，y取最小值， 即：，解得：m=5， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键． 10. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． ①根据抛物线开口方向和与轴的交点，则，由对称轴为直线，则有，于是；②观察函数图象得到当时，函数值小于0，则，即；③由于时，，则，易得，所以，再根据抛物线开口向下得，于是有；④由于对称轴为直线，根据二次函数的性质得到当时，的值随值的增大而增大． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线交轴的正半轴， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ， ，故本结论错误； ②∵当时，， ，即，故本结论错误； ③∵抛物线与轴的一个交点为， ， 而， ，即， ． ∵抛物线开口向下， ∴， ，故本结论正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，故本结论正确． 故选：B． 二、填空题（每个题3分，共18分） 11. 当________时，是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，先根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________． 【答案】8米 【解析】 【分析】令求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（舍去）． 故答案为：8米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 14. 如图，中，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与交于点D，则的面积为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出即可解决问题． 【详解】解：在 ∴ ∵绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 15. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且．把绕点A顺时针旋转得到，此时E，B，M共线．若正方形的边长为6，，则的长是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，，根据全等三角形的判定，即可证明，得到，再根据勾股定理列方程，解方程即得答案． 【详解】解：设， 绕点A顺时针旋转得到， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 即． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理列方程是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线为， ∵点坐标为， ∴，即， ∴直线为， 中，令，则， 解得或， ∴， 由，设直线为， ∴，解得， ∴直线为， ∴ 得得或， ∴， 中，令，则， 解得或， ∴， 同理可得，， 即的坐标中，横坐标为，纵坐标为， 的坐标中，横坐标为，纵坐标为， 的坐标中，横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）交点A，B的坐标分别为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 ． 18. 如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内． （1）如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______． （2）如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作轴于点，则，，求出和，即可得出点A的坐标； （2）连接，过点作轴于，根据旋转角为，可得，求出，再利用勾股定理求出，然后在中，利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和，进而可得点B的坐标． 【小问1详解】 解：如图2，作轴于，则，， ，， A点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 如图3，连接，过点作轴于，则，， ， 在中，， 在中，，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转变换，正方形的性质，坐标与图形性质，含直角三角形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是作辅助线构造含的直角三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的写出的坐标； （2）画出与关于点成中心对称的图形，写出的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转作图，中心对称作图，以及写出直角坐标系中点的坐标等知识，掌握旋转作图与中心对称作图是解题的关键． （1）根据题意画出绕点顺时针旋转后得到的即可； （2）根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数先写出的三个顶点，再画出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的三角形，． 【小问2详解】 解：∵与关于点成中心对称，， ， 如下图所示，即为所求作的三角形． 20. 如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 22. 如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．（设墙有足够长） （1）整个生态园的面积为能否达到96平方米？ （2）求最大面积． 【答案】（1）能够 （2）108平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，解题的关键是∶ （1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据题意列方程，由根的判别式即可作出判断； （2）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，则可求整个生态园的面积为平方米，然后根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴方程有实数根， ∴整个生态园的面积为能够达到96平方米； 【小问2详解】 解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得，整个生态园的面积为平方米， ∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴当即时，有最大值为108， ∴整个生态园的最大面积为108平方米． 23. 某服装店购进一批衬衣，成本价每件元，若售价为元，则每月能售出件．经调查发现，售价每增长2元，则销量将减少件，但售价增长不能超过20元． （1）求出月销售利润（元）与售价增长（元/件）之间的函数关系式． （2）当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）当每件衬衣售价为元时，服装店所获月利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，确定与之间的函数关系式是解题的关键． （1）按照等量关系“每月获得的利润＝（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， ∴与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵售价增长不能超过20元， ∴当时，有最大值，的最大值为， ， 答：当每件衬衣售价为元时，服装店所获月利润最大，最大利润为元． 24. 如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． （1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； （2）在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； （3）在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 （4）画图见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点画一个面积为的平行四边形即可； （2）利用网格特点画以为对称轴的两个全等三角形，且两个三角形的面积和为即可； （3）利用网格特点画一个四边不相等，且面积为的四边形即可； （4）利用网格特点画一个边长为的正方形即可； 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，， ∴四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求； 理由：连接， ∵，， 而， ∴，， ∴四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图，四边形即为所求； 理由：由勾股定理可得：， ， ∴四边形即为所求； 【小问4详解】 解：如图，四边形即为所求； 理由：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 25. 如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．连接． （1）求证：． （2）求证：平分 （3）求证：； 【答案】（1） 证明：∵与都是等腰直角三角形， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， ， ． （2） 证明：过点A作， ∵， ∴， ∴平分； （3） 证明：在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可； （2）过点A作，根据全等三角形对应高相等证明，即可证明； （3）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 26. 如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标，并连接，，求的面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），面积最大为； （3）存在，，或． 【解析】 【分析】（）将的坐标代入抛物线即可求出抛物线的解析式； 将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式. （）先求出直线的函数解析式是，设点的横坐标为，则的坐标分别为，，则，求出最大值即可求出的面积的最大值； （）存在，设，，由，，然后分当以为对角线时，当以为对角线时，当以为对角线时三种情况分析即可； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想． 【小问1详解】 解：将，代入..， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵在抛物线上， ∴， ∴， 设直线的函数解析式是， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则的坐标分别为，， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为，此时， 的面积的最大值为：； 【小问3详解】 解：存在，理由：如图， 由抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ∵，， 当以为对角线时， ∴，解得：，， ∴； 当以为对角线时， ∴解得：，， ∴； 当以为对角线时， ∴，解得：，， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $