湖湘名校教育联合体2024-2025学年高一10月大联考数学试卷

机密★启用前 湖湘名校教育联合体·2024年下学期高一10月大联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知命题p:Hx>0,x2+1>0,则p为 A.Hx>0,x2+1≤0 B.Hx≤0，x2+1<0 C.3x≤0，.x2十1>0 D.3x>0,x2十1≤0 2.已知2≤x≤3,1≤y≤4，则x十y2的取值范围为 A.3≤x+y2≤19 B.1≤x+y2≤19 C.3≤x+y2≤16 D.3≤x+y≤7 3.已知全集U={x∈N1<x≤8}，CA={6,7},则集合A的非空真子集个数为 A.32 B.31 C.30 D.29 4.已知a>b>0>c,d∈R,则下列不等式恒成立的是 A.a>b B.a+1>c+1 C.ad>ed D.bc+1>c2+1 5.已知命题p:Hx∈R,x+2025>0,命题g:3x<-5,(x+6)2=1,则 A.p和q都是真命题 B.7p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 6.已知命题p:a<x<a十2，g:x2一5.x十6<0，若p是q的必要条件，则正整数a的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 【高一数学试题第1页（共4页）】 7.2024年9月1日上午，以“新质动力·创绿未来”为主题的2024世界动力电池大会在万里长江第 一城、中国动力电池之都一四川宜宾开幕，该大会发布了一系列新技术、新产品，有效凝聚了行 业共识，为推动技术迭代、深化开放合作、促进产业集聚、助力绿色发展，以及动力电池及新能源汽 车高质量发展作出了积极贡献，为此某高中对高一1班全班男生进行了关于对人工智能、新能源汽 车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人对人工智能感兴 趣，17人对新能源汽车感兴趣，10人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的 有12人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有6人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有 5人，三种都感兴趣的有2人，则该班男生人数为 A.27 B.28 C.29 D.30 8,已知a>6>0.则。十的最小值为 A.2 B.1+22 C.4 D.2+2√2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.假设“集合学得好不等式学得就好”是真命题，那么下列命题正确的是 A.集合学得好不等式不一定学得好 B.不等式学得好集合不一定学得好 C.不等式学得不好集合一定学得不好 D.集合学得不好不等式一定学得不好 10.设集合A={x1<x<5},其中m=√2十5，则 A.m+1∈A B.m+2在A C.LEA D.m2∈A n 1.已知不等式ax+bx十c<0的解集为x}<x<6>1,则 A.a>c>0 B.b<-2a<0 c(a+2b+c4a+2h+c)20 D(+)°-2>}+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知1∈{0，m,m2-2m+1},则m= 13.已知集合M={2,0,-1},N={x|a-1<x<a十1}，且M∩N={-1,0},则a的取值范围 是 14.若[(a+1)x一3](x3一2a.x2一x)≥0对任意的x>0恒成立，则实数a的取值集合为 【高一数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设命题p:关于x的方程x2十m.x+1=0有两个不相等的实数根，g:关于x的方程4.x2+ (4m一2).x十1=0无实数根. (1)若p为真命题，求m的取值范围： (2)若饣为假命题且g为真命题，求m的取值范围. 16.(15分)已知正数a,b满足(3a+b)一10=2ab. (1)求3a+b的最大值： (2)证明：9a2+b2≥6. 17.(15分)在学习完基本不等式与一元二次方程这一章节后，某校高一数学老师带领全班同学在数 学课堂上做了一个有趣的实验，该实验的目的主要是体现不等式在实际生活中的应用.老师要求 同学们准备了一张周长为10√2cm的矩形纸片ABCD(其中AB>AD),将△ABC沿AC向 △ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.如果在保持矩形周长不变且AB折过去后交DC于点 P的情况下，适度改变AB的长度，问：△ADP的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值： 若不存在，说明理由. D 【高一数学试题第3页（共4页）】 181分)尼知集合A=xa≤r≤a-1.B={女F+20 (1)若a=1,求CRB∩A: (2)若“x∈A”是“x∈CRB”的充分不必要条件，求a的取值范围. 19.(17分)定义[m]为不大于m的最大整数，例如[3]=3，[5]=2.已知集合S1={a1},且Hn∈N, La.] am一[an] (am一[am]≠0) an+1- ,S=S.Ufa+. a.(an-La]=0) 17 (1)若a1=10,求S.(用列举法表示)： (2)若a1=5,求S.真子集个数的最大值： (3)已知a1=√m十2m(m∈N),若正整数n。满足对任意m∈N·,当n≥no时都有Sm+1=Sm, 求n。的最小值. 【高一数学试题第4页（共4页）】湖湘名校教育联合体·2024年下学期高一10月大联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案D 【解析】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题p:Hx>0,x2十1>0的否定为3x>0,x2十1≤0， 故选D. 2.【答案】A 【解析】由题意可得1≤y2≤16，故3≤x+y2≤19，故选A. 3.【答案】C 【解析】由题意可得U={2,3,4,5,6,7,8},CA=〈6,7}，故A={2,3,4,5,8},故集合A的元素个数为5，故非空 真子集个数为2°一2=30，故选C. 4.【答案】A 【解析】由题易知a>b>0,故a>b恒成立，故A正确： 对于B,令a=1,c=-4,易得|a十1|>|c+1|不成立，故B错误： 对于C:d=0时易得C错误；令b=1,c=一2易得D错误，故选A. 5.【答案】B 【解析】对于命题p.当x=-2025时.|2025-2025|=0，故p为假命题，p是真命题； 对于命题g,当x=一7时，（一7十6）2=1为真命题，一q是假命题，故选：B. 6.【答案】A 【解析】解不等式x2-5x+6=(x一2)(x一3)<0得2<x<3,即g:2<x<3,由p是g的必要条件，得 1a≤2 ,解得1≤a≤2，故正整数a的值为1，故选A. a+2≥3 7.【答案】A 【解析】由集合的容斥原理可得有5人只对人工智能感兴趣，2人只对新能源汽车感兴趣，1人只对绿色能源感兴 趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有10人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣 但对新能源汽车不感兴趣的有4人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有3人，三 种都感兴趣的有2人，则该班男生人数为5+2+1+10+4+3+2=27.故选：A. 8.【答案】D 【解折)由题意可得a>6>0,则：+。-1+（合】 ,+(合)】 ab-b2 ,令1=4>1，则 1-1t-1 b 【高一数学试题参考答案第1页（共5页）】 +2≥2,-1高+2=2+22，当且仅当1-1= 2 =(t-1)+ ,二即1=巨+1时取等号，因此 b2十a2 ab-b2 =2(2+1),故选D. 9.【答案】BC 【解析】设p:集合学得好，：不等式学得好，由题意，“若p,则q”为真命题，A,D错误.如果将集合学得好的学生 定义为集合P,不等式学得好的学生定义为集合Q,则P二Q,或许存在x∈Q,但xP,故B正确：设U为全集 则CQ二CP,故C正确：故选：BC 10.【答案】ABC 【解析】对于A,因为m=√2十√5<√2.25+√6.25=4，故m+1<5,即m十1∈A,所以A正确： 对于B.因为m=√2+√5>√4+1=3，故m十2>5，即m十2任A,故B正确： 1 对于C,因为m=√2+5，所以 1 √5-√2 m√2+√5(5+√2)(5-2) 5-E<3=1,即EA.所以C正确： 3 3 对于D,因为m=√2+5，所以m=(√2十√5)=7十2√10>5，故mA,所以D错误，故选：ABC. 11.【答案】BCD b 【解析】由题意可得，和t为方程ax2+bx十c=0的两根，且a>0,t>1,所以 XI= 即6=-a(}+）a=c>0,放A错误 又+>2,1=-2.当且仅当1=1等号成立，因为1>1，所以6<-2a<0,故B正确： a+20+小a+26+)-[a(}+）+a][a-2a(}+小+] -[5-2}+)]≥0：故c正确：因为(}+)-2-(+)-（什+1-）-且+>2：所以 (}+1-)-号>0，即(+）-2>+1，放D正确故选：BCD. 12.【答案】2 【解析】因为1∈{0，m,m2一2m十1)，所以m=1或m2一2m十1=1，若m=1,m一2m十1=0，不满足互异性： 若m2-2m+1=1→m=0或2，又m≠0，所以m=2,故答案为：2. 13.【答案】一1<a<0(以集合的形式写出答案，只要结果正确均给分) /a-1<-1 【解析】由题意可得M∩N={一1,0}，则有 ,.-1<a<0.故答案为：-1<a<0. 0<a+1≤2 【高一数学试题参考答案第2页（共5页）】 14【答案6 【解析】因为x>0,故原式可等价于[(a+1)x-3](x2一2a.x一1)≥0恒成立，由题意当a≤-1时，，x>0,则 (a+1)x一3<0，由于y=x2+2a.x-1的图象开口向上， 3 则[(a十1)x-3](x-2a.x-1)≥0不恒成立，当a>-1时，由(a十1)x-3=0可解得x= +1>0, 面方程x2一2ar1=0有两个不相等的实数根且异号，所以x必定是方程22ar一1=0的一个 根，则(2子)广-2a()-1=0,“a>-1.则可解得u-6一4，故答案为： 162-4 7 15.【解析】(1)由题意关于x的方程x+m.x十1=0有两个不相等的实数根是真命题， 所以△=m2一4>0，即m<一2或m>2.…5分 (2)由题意关于x的方程4x2十(4m一2)x+1=0无实数根是真命题， 3 1所以4=(4m-2)2-16<0,即二2<m< 8分 -2≤m≤2 因为p为假命题且q为真命题，故 3 3 即 2 12分 <m<2 综上所述，m的取值范围为一 2<m<2 ………………………13分 16【解折11因为3a+b6-10=2a6,所以2a6=号×3a×6<号×(u乡，-6。 2 ………4分 6 故3u+bP-10<3吉>，即(3a+6≤12，故3u+b2,. 当且仅当a= 写b=5时等号成立；…8分 (2)因为(3a+b)-10=2a6即9a:+6+4ab=10,所以ab=10-9a2-b ,………12分 4 因为9a+b≥6ab,所以9a+b≥6X10-9a2- -,即9a2+b2≥6， ………14分 4 当且仅当a= 3 、b=3时取等号.…… …15分 17.【解析】由题意可知，矩形ABCD(AB>AD)的周长为10√2，设AB=x,则AD=5√2-x,设PC=a,·3分 则DP=x一a,AP=a,由△ADP为直角三角形及勾股定理可得a=(x一a)十(52-x),…6分 a=r+25-52,Dp=52-25 ………8分 【高一数学试题参考答案第3项（共5页）】 5w=号×ADXDP--E-6E--否号(+到}<空5号×10-空25反.12分 当且仅当5-，即x=5时取等，此时AD=5反-6，满足AB>AD, ……13分 故AB=5cm时，△ADP取最大面积（行-252）cm.… 15分 18【解析11由十>0可得c十2)6x一5>0，解得x<-2或>5， 所以集合B=(x江<一2或x>5},…4分 a=1时，集合A={x|1≤x≤2}，且CmB={x一2≤x≤5}，…6分 故CgB门A={x|1≤x≤2}.…………8分 (2)解法一：若“x∈A”是“x∈CB”的充分不必要条件，故A是CB的真子集.…9分 当A=⑦时，a>3u-1,即a<号时，满足A是mB的真子集；… 12分 3a-1≥d 当A≠O时，则满足30-1<5且不能同时取等号，解得<0<2， 16分 a≥-2 综上所述以的取值范围为a≤2。…17分 解法二：若“x∈A”是“x∈CwB”的充分不必要条件，故A是CRB的真子集.…10分 3a-1≥a 则只需满足3a-1<6且不能同时取等号，解得<a<2, 15分 a≥-2 故a的取值范围为2≤a≤2.… 17分 【评分细则】本题第二问是否讨论空集都给分，但要在对应情况下参数范围解答正确才给满分。 0【解桥0a6则a1a卫 =8s21710) 10'7 ………1分 10 1a三0,3s=,号. 10'73 …3分 (2)a1=5,[a1]=2,故a2= 2。=25+4,5:={5,25+4}、… …4分 5-2 6 a=25+4,[a:]=8,故a25+4-8 =4V5+8,S,={W5,2√5+4,45+8}，…6分 【高一数学试题参考答案第4页（共5页）】 16 a=45+8,[as]=16.故a:= =45+8.S,={5,25+4,4v5+8}…8分 45+8-16 则aa=44=…=a.=45+8(n≥3)，Sm={W5,25+4,45+8}, 故真子集个数的最大值为2一1=7.……10分 (3)a1=√m2十2m(m∈N),故m<a1<m十1，[a1]=m,故a2= =Vm十2m十m √m2+2m-m 2 S2= vm+2m,m于2m+m) …12分 2 m/m2+2m 由m<m+2m,2 ，m<m+2m+m;√m+2m<m十2，ym+2m+m<m十1，故[a,] 2 2 2 0 2m m,a= =√m2+2m+m,且2m</m+2m+m<2m+1,…15分 √m干2m+m √m+2m-m 2 2m 故[a3]=2m,a,= =√m2十2m十m=a3,故aa=a,=…=a.(n≥3). √0m+2m+m-2m 因为S二S二S3,所以S=S4=…=S,= √m+2m, m+2m+m ,m+2m+m(n≥3)， 2 所以n的最小值为3.………17分 【高一数学试题参考答案第5项（共5页）】湖湘名校教育联合体·2024年下学期高一10月大联考 离座香酒国的备夏内作新，烟正每利女想原定区神的断有有吸 速在备器目的答弹国湖内物活，用国丽达密■夏域的签理克壁 数学答题卡 15(本小题表分B分) 6本小避清分15分 姓名 贴条形码区 号号 考生转期领专客生有面老经6多有风年用出得艺蟑除料的肤转足 1商世编，香生然多诗地维样门已销时名，准证可销可查健行消位营，格准备 确 a 月上因尊专证号，维名4华人门金家d到直试有目自制情：作透 注 西格鞋直规的位直 备风球 律工整，领得清性 项主等1日细在等理中格型日有风车作场内市显，好的节速头城功用用专省物 自L地：在单销里，道作上开程L统 选择题《请用2妇卸笔情涂1 1[A】LsjI01LO】 5[AJt】IG][0 [AJu】IcLD 2[A]rB](al [o] hIA1[B】tG1ID 1A][B1 [C][D] [A)[e](cl [o] 7[A][[C]ID] 1I【A1tn】Ic][D 4rA78]G1.[D1 R [AJ [B][CI [D] 非对保1清使用05毫米的黑色字凌苦字笔书写1 12(5分 33分) 4(5分) 南存养造目的灌红适内作满，量比塑船金程厘定红城的满幸光指 清在养调目的需整堂域内作苦，题生维制心整健害核域的需素光量 速在务盖目的常组植再德蓄，量性面组信程■量的落率生雪 角一数单第1面（其2红） 请否齐量纳香想区域内作青，■出硬积贴相型克国速时香票发对 结在各洲同的答程理写内作者，用出延两达程国无区时的蒂罩无营 速在务薄月的香理延端内作面，星进影制成框可无这解的备家走后 17.本小愿清分15分 18.(本小写满分7分 收木小题分T分】 结存各箱目的等粗道域内作有，植出型制味慧健家道过的离率光置 室存务端目的常都以域内作活，维此加型店规国审区域的苦率士量 角一数单第2面（其2五