第二十六章 反比例函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广东省专用,人教版）

第二十六章 反比例函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数中，变量是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点不在双曲线上，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 5．某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点B的坐标（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（    ） A． B． C． D． 9．如图，函数和的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知反比例函数的图象过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于，连结、，的周长为．．下列结论：①；②；③的面积等于；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．③④ 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．反比例函数的图象经过点和， ． 12．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 13．如图，反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围为 ． 14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 15．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 16．如图，已知，，，…，从是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 18．（4分）已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 19．（6分）下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．（6分）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 21．（8分）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 22．（10分）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 23．（10分）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”． (1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由． ①；②． (2) 如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围． 24．（12分）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； (3)设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数中，变量是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、函数是反比例函数，故本选项符合题意； B、函数是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、函数不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、函数不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．若点不在双曲线上，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 在双曲线上的点满足 A、，故该点在此双曲线上，选项A不符合题意； B、，故该点不在此双曲线上，选项B符合题意； C、，故该点在此双曲线上，选项C不符合题意； D、，故该点在此双曲线上，选项D不符合题意； 故选：B． 3．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 5．某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 6．如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】C 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或． 故选：C． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点B的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 8．如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，， ∵，的面积为6，轴， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， 解得：， 故选：A． 9．如图，函数和的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设P的坐标是 (a为正数)， ∵轴， ∴A的横坐标是a， ∵A在上， ∴A的坐标是， ∵轴， ∴B的纵坐标是， ∵B在上， ∴代入得：， 解得：， ∴B的坐标是， ∴，， ∵轴，轴，x轴轴， ∴， ∴的面积是：． 故选A． 10．如图，已知反比例函数的图象过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于，连结、，的周长为．．下列结论：①；②；③的面积等于；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．③④ 【答案】B 【详解】解：三角形为直角三角形，斜边的中点为， ， 设， 有， 的周长为， ，即， ， ， ， 即三角形面积为， 的面积为， 过点作于点， ， ， ， ，即， 反比例函数的图象在第二象限， ， 故①错误，④正确； 在反比例函数的图象上， ， 由①知，，则，即， ，， ， 故②正确； ，三角形面积为， 的面积等于； 故③正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．反比例函数的图象经过点和， ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点在此函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【详解】解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 13．如图，反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意可知：， ， 由图象可知：或． 故答案为：或． 14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 15．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点，， ∴，， ∴，， ∴，， 由图象可得：若，则x的取值范围是或， 故答案为：或． 16．如图，已知，，，…，从是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 【答案】(1)经过第二、四象限 (2) 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴函数经过第二、四象限． （2）∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴，解得． 18．（4分）已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 【答案】(1) (2)当时， 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， 在每一象限内，y随x的增大而减小， 当时，． 19．（6分）下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是反比例函数，理由见解析 (2)是反比例函数 (3)不是反比例函数，理由见解析 (4)是反比例函数 (5)不是反比例函数，理由见解析 (6)不是反比例函数，理由见解析 【详解】（1）解：不是反比例函数；理由如下： ∵中自变量的指数是不是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （3）解：不是反比例函数； ∵中自变量的指数是1不是，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （5）解：不是反比例函数；理由如下： 表示的是于成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． （6）解：不是反比例函数；理由如下： 可变为，因此此解析式表示的是与成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． 20．（6分）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 21．（8分）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 22．（10分）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)弹簧秤的示数的最小值为 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 23．（10分）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”． (1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由． ①；②． (2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①存在两倍点为；②不存在两倍点，见解析 (2)或 【详解】（1）解：令． ①， 解得， ，故存在两倍点为． ②， 即， ， 方程无实根，即不存在两倍点． （2）解：点是反比例函数图象上的两倍点，的横坐标为3， ， 如图，直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点； ∵弱倍点应符合，即反比例函数图象的弱倍点在直线的下方， 弱倍点的横坐标的取值范围为或． 24．（12分）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)m =8，； (2)； (3)，的面积最大，最大值为． 【详解】（1）解：∵直线经过点A(1，m)， ， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，不等式的解集为； （3）解：由题意得，点M，N的坐标分别为，， ， ，， ， ∵， 时，的面积最大，最大值为． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； (3)设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)点N的坐标为，， 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）在中，令， 解得， ∴， 又∵， ∴， 由函数图象得：当时，双曲线位于直线上方； （3）∵直线的表达式为，反比例函数的表达式为， 设点，， 若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形， 则分情况讨论： ①以和为对角线时， 可得：，， 解得：，或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴； ②以和为对角线时， 可得：，， 解得： 或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， ③以和为对角线时， 可得：，， ∴或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点N的坐标为，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$