专题8.3 期中压轴题专项复习（考试范围：第1～3章）【19大考点80题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题8.3 期中压轴题专项复习【19大考点80题】 （考试范围：第1~3章） 【北师大版】 【考点1 勾股定理与网格问题】 1 【考点2 利用勾股定理证明线段平方关系】 2 【考点3 利用勾股定理求图形面积】 4 【考点4 确定构成直角三角形的点的个数】 5 【考点5 判断直角三角形】 6 【考点6 勾股定理的应用】 7 【考点7 算术平方根的双重非负性】 8 【考点8 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 8 【考点9 与实数运算有关的规律问题】 9 【考点10 实数运算的应用】 10 【考点11 二次根式双重非负性的运用】 11 【考点12 复合二次根式的化简】 11 【考点13 二次根式的运算与求值技巧】 12 【考点14 利用分母有理化求值】 12 【考点15 二次根式的规律探究】 13 【考点16 二次根式的实际应用】 15 【考点17 平面直角坐标系中的规律探究】 18 【考点18 平面直角坐标系中的动点问题探究】 19 【考点19 坐标与图形性质】 21 【考点1 勾股定理与网格问题】 1．（23-24八年级·天津北辰·阶段练习）如图，顶点在格点上，为上的一个动点．    （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的 ． 2．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 3．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【考点2 利用勾股定理证明线段平方关系】 4．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 5．（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 6．（2024·北京海淀·一模）如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【考点3 利用勾股定理求图形面积】 7．（23-24八年级·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 9．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 10．（23-24八年级·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【考点4 确定构成直角三角形的点的个数】 11．（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 12．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【考点5 判断直角三角形】 13．（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 14．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． (1)求证：AE＝BF； (2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明； (3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长． 15．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【考点6 勾股定理的应用】 16．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 17．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 18．（23-24八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【考点7 算术平方根的双重非负性】 19．（23-24八年级·安徽芜湖·期中）已知实数满足，那么的值是(    ) A．1999 B．2000 C．2001 D．2002 20．（23-24八年级·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 21．（23-24八年级·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 22．（23-24八年级·浙江·期中）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 23．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若满足关系式 ，则 ． 【考点8 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 24．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 25．（23-24八年级·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 26．（23-24八年级·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 27．（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【考点9 与实数运算有关的规律问题】 28．（23-24八年级·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 29．（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 30．（23-24八年级·广东汕头·期中）观察： ， ； 猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么呢？ 【考点10 实数运算的应用】 31．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 32．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 33．（23-24八年级·全国·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【考点11 二次根式双重非负性的运用】 34．（23-24八年级·重庆江津·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 35．（23-24八年级·全国·单元测试）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 36．（23-24八年级·全国·单元测试）已知实数满足条件，那么的值为 （   ） A． B． C． D． 【考点12 复合二次根式的化简】 37．（23-24八年级·安徽芜湖·自主招生）当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 38．（2024·湖北·中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 39．（23-24八年级·上海·期中）已知，则 40．（23-24八年级·浙江宁波·期末）化简 ． 【考点13 二次根式的运算与求值技巧】 41．（23-24八年级·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级·江西景德镇·期末）已知.则xy=（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 44．（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为 ． 45．（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习），则 ． 46．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若满足关系式 ，则 ． 47．（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）已知为整数，，则的最小值是 ． 【考点14 利用分母有理化求值】 48．（23-24八年级·全国·单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 49．（23-24八年级·山东临沂·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 50．（23-24八年级·上海·单元测试）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，关于x的方程的解是 ． 51．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 52．（23-24八年级·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 ． 53．（23-24八年级·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【考点15 二次根式的规律探究】 54．（23-24八年级·全国·单元测试）现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问： (1)第个数是什么数？ (2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？ 55．（23-24八年级·山东威海·期中）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 56．（23-24八年级·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 57．（23-24八年级·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 58．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）【阅读材料】 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． 【理解应用】 (1)______；______； (2)若a是的小数部分，化简； (3)根据你的猜想、归纳，运用规律计算： ； (4)已知，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 59．（23-24八年级·江苏扬州·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【考点16 二次根式的实际应用】 60．（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 61．（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）问题：已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 62．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 63．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 64．（23-24八年级·全国·单元测试）学校要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为米，对角线的长为米． (1)求该长方形土地的面积； (2)如果绿化该长方形土地每平米的造价为元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元（结果精确到元）？ 65．（23-24八年级·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 66．（23-24八年级·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【考点17 平面直角坐标系中的规律探究】 67．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 68．（23-24八年级·四川南充·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（      ）    A． B． C． D． 69．（23-24八年级·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 70．（23-24八年级·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 71．（23-24八年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到 ． 72．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若十个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，已知是第一个点，则第74个点的坐标为 ． 【考点18 平面直角坐标系中的动点问题探究】 73．（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 74．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 75．（23-24八年级·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿 以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，设运动时间为秒． （1）当点在线段上运动时，用含的式子表示线段的长 ； （2）若x轴上有一点  ，连接．是否存在这样的t值，使得三角形的面积是四边形面积的？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ． 76．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为 . 【考点19 坐标与图形性质】 77．（23-24八年级·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为 ． 78．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ． 79．（23-24八年级·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为 ． 80．（23-24八年级·山东德州·期中）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点B，则点A的坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 期中压轴题专项复习【19大考点80题】 （考试范围：第1~3章） 【北师大版】 【考点1 勾股定理与网格问题】 1 【考点2 利用勾股定理证明线段平方关系】 7 【考点3 利用勾股定理求图形面积】 13 【考点4 确定构成直角三角形的点的个数】 18 【考点5 判断直角三角形】 20 【考点6 勾股定理的应用】 24 【考点7 算术平方根的双重非负性】 30 【考点8 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 32 【考点9 与实数运算有关的规律问题】 35 【考点10 实数运算的应用】 38 【考点11 二次根式双重非负性的运用】 40 【考点12 复合二次根式的化简】 42 【考点13 二次根式的运算与求值技巧】 44 【考点14 利用分母有理化求值】 49 【考点15 二次根式的规律探究】 54 【考点16 二次根式的实际应用】 61 【考点17 平面直角坐标系中的规律探究】 67 【考点18 平面直角坐标系中的动点问题探究】 72 【考点19 坐标与图形性质】 77 【考点1 勾股定理与网格问题】 1．（23-24八年级·天津北辰·阶段练习）如图，顶点在格点上，为上的一个动点．    （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的 ． 【答案】 5 图见解析，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（理由充分即可） 【分析】（Ⅰ）根据网格特点和勾股定理求解即可； （Ⅱ）利用网格特点和全等三角形的性质以及两点之间线段最短、垂线段最短解答即可． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：5； （Ⅱ）如图，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小；    理由：如图，取格点H，G，连接交于M， ∵，，， ∴, ∴ ∴平分，即即为所求； 取格点K，连接，交于D，交于P， 根据角是轴对称图形，且，则， ∴，当D、P、G共线时取等号， 当时，最小，此时最小； 如图，根据网格特点，， ∴， ∵， ∴，即， 故点D、P即为所求作． 故答案为：取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（理由充分即可）． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及到全等三角形的判定与性质、最短距离、勾股定理等知识，灵活运用所学知识解决作图问题是解答的关键，属于中考常考题型． 2．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【答案】见解析；；    ； 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC⊥BD，BC=5， ∴△ABC是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4, ∴； 直角三角形时，如图， 取格点F使得BF=4，FC=3， 根据勾股定理，得BC==5， ∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴∠EAB=∠FBC， ∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠FBC+∠EBA=90°， ∴∠ABC =90°， ∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理，得AB==5， ∴ ； 锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4， 根据勾股定理，得BC==5， 根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°， ∴∠ABC＜∠ABN， ∴∠ABC＜90° ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A=∠C＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， ∴=12； 【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 3．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可． 【详解】（1）如图1，线段为所求； 证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图， 结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN， ∵∠PAM+∠MPA=90°， ∴∠PBN+∠MPA=90°， ∴在△PBH中，∠PHB=90°， 即AH⊥BC， AH符合要求； （2）①如图2，点为所求； ②如图2，点为所求． ①证明：结合网格图和勾股定理，可得，， 即，， 即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， 即有：AC⊥AD，，即D点满足要求； ②证明：由割补法，可求得的面积为， 根据，则的面积， ∴与的面积相等， 根据网格作图可知，线段的中点为， ∴， ∴， 则线段平分四边形的面积． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点2 利用勾股定理证明线段平方关系】 4．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 5．（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2024·北京海淀·一模）如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【答案】（1）补全图形，如图见解析；（2）；（3）①DG与BC的位置关系: DG⊥BC.见解析；②2CG2=DG2+AB2. 【分析】（1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；如图：构造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等证明△PGD为直角三角形，PG=AB即可得到结论. 【详解】解：（1）补全图形，如图所示：    （2），， ， ， ， 交BD的延长线于点E， ， ， ， ； （3）①与BC的位置关系：，证明如下： 连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，    ，，， ≌， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图：作等腰Rt△BPD，连接PG、PD，    由①得BG⊥AC，∠PBD=90°， ∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°， ∴∠ADB=∠GBP， 在△ADB和△GBP中， , ∴△ADB≌△GBP（SAS）， ∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°， 由①得， ∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD为直角三角形， ∴PD2+DG2=PD2 ∵PD2=2BD2,BD=CG ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答． 【考点3 利用勾股定理求图形面积】 7．（23-24八年级·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 8．（23-24八年级·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】利用+两个半圆的面积作为总面积，则=总面积 – 大半圆面积，设的半径分别为，将所求面积用总面积 – 大半圆面积表示出来后，再变形为与圆半径关系最简的式子即可判断． 【详解】如图： 设的半径分别为， 总面积为：， 是直角三角形， ， ， =总面积 – 大半圆面积= （h为三角形AB边上的高） 在C运动过程中有：h先增大后减小， 故与之和的变化情况是先增大后减小， 故选：D 【点睛】本题考查用规则图形表示不规则图形的面积的方法，能灵活用各规则图形表示总面积，再用总体面 9．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】如图， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 10．（23-24八年级·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明、矩形的面积、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先设出小正方形的边长为，然后根据题意和勾股定理，可以得到，然后再根据，可以得到的值，从而可以求得该长方形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则图中最大的直角三角形的斜边为，一条直角边为，另一条直角边为， ， ， ， ， 即， 解得， 大长方形的面积为， 长方形的面积为， 故答案为： 【考点4 确定构成直角三角形的点的个数】 11．（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 12．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【考点5 判断直角三角形】 13．（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形． 14．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． (1)求证：AE＝BF； (2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明； (3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形；（3）8.5 【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据角平分线定理可得DE=DF，可证Rt△AED≌Rt△BFD，可得AE=BF； （2）根据Rt△CED≌Rt△CFD可得CE=CF，进而求得AC的长，利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状； （3）利用三角形的面积及周长为30以及勾股定理，求得a、b、c的长，再利用CE=CF，AE=BF，即可解答. 【详解】（1）证明：连接AD ∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB ∴DE=DF，∠AED=∠BFD=90° ∵DM垂直平分AB ∴AD=BD 在Rt△AED和Rt△BFD中 ∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL） ∴AE＝BF （2）∵AE=BF ∴CF=CB+BF=CB+AE=10+7=17 在Rt△CED和Rt△CFD中 ∴Rt△CED≌Rt△CFD（HL） ∴CE=CF ∴AC=AE+EC=7+17=24 BC2+AC2=102+242=262=AB ∴△ABC是直角三角形 （3）∵△ABC的周长与面积都等于30 ∴ 由勾股定理得： ∴ 解得： ∵CE=CF，AE=BF 设，则 ∴ 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，还涉及了勾股定理、角平分线定理、线段垂直平分线定理等，熟练掌握各个性质定理是解题关键. 15．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【答案】(1)能，是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （2）连接，利用等腰三角形的判定和性质得到，由勾股定理得到，再利用即可求出答案． 【详解】（1）解：能，是直角三角形， 理由如下：∵点E为的中点．， ∴， ∵． ∴， ∴是直角三角形，为斜边； （2）连接， ∵点E为的中点． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【考点6 勾股定理的应用】 16．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km． （2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响． （3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言． 17．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 18．（23-24八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程． 【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长； （2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直． 【详解】解：（1）如图，连接BG． 在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm）， 即线段BG的长度为5dm； （2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝ ②把ABEF展开，如图 此时的总路程为＝＝ ③如图所示，把BCFGF展开， 此时的总路程为＝ 由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 【考点7 算术平方根的双重非负性】 19．（23-24八年级·安徽芜湖·期中）已知实数满足，那么的值是(    ) A．1999 B．2000 C．2001 D．2002 【答案】C 【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案 【详解】解：， ，即， ∴ ， 即， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键． 20．（23-24八年级·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24八年级·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 22．（23-24八年级·浙江·期中）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可． 【详解】及且x、y、z是两两不等的实数， 且， ， ，， 与、均同号，或， 又，，故、不同号， ， ， ， 故答案为0． 【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键． 23．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】201 【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值． 【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①． ∴=0， ∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③， 联立①②③得，， ②×2-③×3得，y=4-m， 将y=4-m代入③，解得x=2m-6， 将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 【考点8 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 24．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 25．（23-24八年级·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 26．（23-24八年级·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 27．（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键． 【考点9 与实数运算有关的规律问题】 28．（23-24八年级·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 29．（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 30．（23-24八年级·广东汕头·期中）观察： ， ； 猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么呢？ 【答案】； 【分析】根据例子的方法进行计算． 【详解】解：，验证如下： ； ． 【点睛】考查了实数的运算，解题的关键是要求学生既会根据例子观察猜想，还要会进一步从理论上进行验证． 【考点10 实数运算的应用】 31．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 【答案】（1）；；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得； （2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：；． （2）①∵ ∴3.07公里需要2元 ∵ ∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元 ∴7.93公里所需费用为：（元） ∵ ∴公里所需费用分为三段计费即：    前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元； ∴公里所需费用为：（元） 故答案为：2；3；6． ②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元； ∴乘坐24公里所需费用为：（元） ∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里 ∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里） ∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键． 32．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 33．（23-24八年级·全国·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【答案】42次 【分析】根据题意可知，直接把数值代入公式中进行计算即可． 【详解】解：T＝2π≈1.42，≈42(次)． 答：在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声． 【点睛】本题考查了实数的应用.认真审题找准数值是关键． 【考点11 二次根式双重非负性的运用】 34．（23-24八年级·重庆江津·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的非负性和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，，根据非负性，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故选C． 35．（23-24八年级·全国·单元测试）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键． 36．（23-24八年级·全国·单元测试）已知实数满足条件，那么的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得． 【详解】解：由题意得：，即， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键． 【考点12 复合二次根式的化简】 37．（23-24八年级·安徽芜湖·自主招生）当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 38．（2024·湖北·中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式 ， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键. 39．（23-24八年级·上海·期中）已知，则 【答案】 【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可. 【详解】 将代入得： 故答案为 【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简，熟练掌握相关知识点是解题关键. 40．（23-24八年级·浙江宁波·期末）化简 ． 【答案】 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 【考点13 二次根式的运算与求值技巧】 41．（23-24八年级·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 42．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 43．（23-24八年级·江西景德镇·期末）已知.则xy=（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】 配方得 将代入得： 计算得： 故选：D. 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握. 44．（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为 ． 【答案】4036 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出和 ．然后再求出和．两式子相加，即可得出，然后利用二次根式的非负性质可得出，，即可得出和，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴① 同理可得出②， ∴① ②， 由①②得：， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：4036． 45．（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式，算术平方根，不等式等知识．熟练掌握两个式子相等，对应部分相等，是解决问题的关键． 先去括号，根据含部分对应相等，得到，根据剩余部分对应相等，得到，即得． 【详解】∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴符合， ∴ 故答案为：． 46．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】201 【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值． 【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①． ∴=0， ∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③， 联立①②③得，， ②×2-③×3得，y=4-m， 将y=4-m代入③，解得x=2m-6， 将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 47．（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）已知为整数，，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0． 根据被开方数大于等于0设（a为非负整数），设，运用平方差公式分解因式再计算即可得解． 【详解】解：为整数，， ， 即， ， 设（a为非负整数）， ， ， 设， ， ，即或， 或或， 或7或1， 则的最小值是1， 故答案为：1 【考点14 利用分母有理化求值】 48．（23-24八年级·全国·单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用分母有理化进行计算即可. 【详解】由原式得： 所以，因为，, 所以. 故选C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 49．（23-24八年级·山东临沂·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【详解】解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 故选：C． 50．（23-24八年级·上海·单元测试）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了解一元一次方程．先根据平分差公式对各个分式进行分母有理化，即可化简二次根式，再解方程即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 51．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 52．（23-24八年级·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从而得到，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 53．（23-24八年级·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 【考点15 二次根式的规律探究】 54．（23-24八年级·全国·单元测试）现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问： (1)第个数是什么数？ (2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1) (2) (3)共有个数的平方相加 【分析】本题主要考查了数字类变化规律，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出这列数每6个数一个循环而且每个循环的6个数的和是0 （1）首先根据这列数的排列规律可得每6个数一个循环，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可； （2）首先用除以6求出一共有多少个循环以及剩下的数是多少，即可得出结论； （3）首先求出、、、、、六个数的平方和是多少，然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可． 【详解】（1）解：这列数每6个数一个循环：、、、、、； ∵， ∴第50个数是． （2） ∴ 把从第1个数开始的前个数相加，结果是 （3）∵，，而且， ∴，即共有个数的平方相加． 55．（23-24八年级·山东威海·期中）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键． （1）结合已知的式子，在分子和分母同乘以，然后利用平方差公式进行运算即可； （2）由（1）结论将原式化简，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：， 故答案为： ； （2） ． 56．（23-24八年级·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 57．（23-24八年级·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 58．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）【阅读材料】 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． 【理解应用】 (1)______；______； (2)若a是的小数部分，化简； (3)根据你的猜想、归纳，运用规律计算： ； (4)已知，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，理解分母有理数的求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题求解过程求解即可； （2）先根据无理数的估算求得a值，再利用分母有理化求解即可； （3）利用分母有理数和实数的大小比较方法判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：由题意， ， ∴ ； （4）解：由（3）知， ， ， ， ∵， ∴． 59．（23-24八年级·江苏扬州·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 【考点16 二次根式的实际应用】 60．（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了算术平方根的定义，长方体的体积公式以及二次根式的运算． （1）根据算术平方根的定义求出大正方形和小正方形的边长，再根据底边边长的表示列式计算即可得解； （2）根据长方体的体积公式列式计算即可求出长方体盒子的体积． 【详解】（1）解：正方形的边长为，， 剪掉小正方形的边长为， 所以，长方体盒子的底面边长为． （2）长方体盒子的体积为． 61．（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）问题：已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出，再代入计算即可得解； （2）作于，则，设，则，由勾股定理得出，求出的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； （2）如图：作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 代入验算： ． 62．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用， （1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为8元平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费 根据题意求出通道的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，通道的总面积为： （2）由（1）小问可知：通道的总面积为： 购买地砖需要花费：（元） 63．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 【答案】从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用、无理数的估算，先求出甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为，然后估计这两件礼品的底边边长的大小，于三款包装纸箱的尺寸比较即可得出答案． 【详解】解：从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱，理由如下： ∵甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，． ∴甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中， ∴从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱． 64．（23-24八年级·全国·单元测试）学校要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为米，对角线的长为米． (1)求该长方形土地的面积； (2)如果绿化该长方形土地每平米的造价为元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元（结果精确到元）？ 【答案】(1)该长方形土地的面积为； (2)绿化该长方形土地所需资金为元． 【分析】此题考查了二次根式计算和勾股定理的应用， （1）利用勾股定理求出长方形土地的宽，根据长方形面积公式计算即可； （2）利用面积乘以每平米的造价，即可求出绿化该长方形土地所需资金． 【详解】（1）解：长方形土地的宽为， ∴该长方形土地的面积为； 答：该长方形土地的面积为； （2）（元） 答：绿化该长方形土地所需资金为元． 65．（23-24八年级·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 66．（23-24八年级·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】(1) (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【考点17 平面直角坐标系中的规律探究】 67．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，乙是甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】矩形的边长为4和2，因为乙是甲的速度的2倍，时间相同，甲与乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在点相遇； 此时甲乙回到原出发点， 则每相遇三次，甲乙回到出发点， ∵， 故第次相遇的地点与第二次相遇相同， 第二次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇，即相遇点的纵坐标为， 又∵矩形的边长为4和2，甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动， ∴， 结合图形：    此时相遇点的坐标为：， 故选：D． 68．（23-24八年级·四川南充·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标的规律的探索问题，根据反射角与入射角相等作出图形，可知每次反弹为一次循环，用除以，得到余数，根据余数的情况确定所对应的点的坐标即可，根据点的坐标找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，可知点从射出后碰到矩形边上的点依次为，，，，，，即第次碰撞时，回到出发点， ∵， ∴经历个循环之后又碰了次， 第次坐标为， 故选：．    69．（23-24八年级·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解． 【详解】解： ，，，，，，，… （n为正整数）， 解得， ． 故选：C． 70．（23-24八年级·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， 点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点P运动半圆所需（秒）， 第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2024秒时，点P的坐标是； 故答案为：． 71．（23-24八年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律问题，熟练找到点的坐标规律是解题的关键． 根据题意找出点的坐标规律即可得出答案． 【详解】解：第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，第四次平移到，第五次平移到，第六次平移到，第七次平移到，第八次平移到，第九次平移到，……，由此可得每三次得到一个循环， ， 第2024次平移到， 故答案为：． 72．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若十个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，已知是第一个点，则第74个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第74个点的坐标． 【详解】观察图形可知，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…； 横坐标为奇数时，点的运动方向是从上往下，偶数时，从下往上； 第74个点的横坐标为，纵坐标为 第74个点的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标． 【考点18 平面直角坐标系中的动点问题探究】 73．（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 74．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 【答案】4或或14 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为， ∴， 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为4秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒， 故答案为：4或或14． 75．（23-24八年级·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿 以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，设运动时间为秒． （1）当点在线段上运动时，用含的式子表示线段的长 ； （2）若x轴上有一点  ，连接．是否存在这样的t值，使得三角形的面积是四边形面积的？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，一元一次方程的应用，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论，，当点在线段上时，根据，，，得到，，于是得到结论； （2）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）轴于，轴于，点， ， 四边形是矩形， ，， 当点在线段上时， ，， ； （2）存在两个符合条件的值， 当点在线段上时， 点走过的路程． 当点在线段上时 ， 解得：， ∴ 此时 当点在线段上时， ， 解得：， ∴ 此时 综上：满足条件的，． 76．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为 . 【答案】或或 【分析】由题意易得，然后根据题意可分三种情况，然后分类求解即可． 【详解】解：∵点A，B，D的坐标为，，， ∴， ∴， 由题意可知， ①当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示： ∴， 此时点P的坐标为； ②当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示： 由点Q在DA间往返运动，所以设点Q在DA间往返运动n次后存在， ∴， 整理得：， 由①可知：当时，PQ与OB第一次平行， ∴当时，则有，此时满足题意； ∴点 ③当点P在线段CA上时，即，此时要满足，则有点A与点Q重合，如图所示： ∴， 此时点Q刚好与点A重合，满足题意； ∴ 综上所述：当时，点P的坐标为或或； 故答案为或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标及平行线的性质，熟练掌握图形与坐标及平行线的性质是解题的关键． 【考点19 坐标与图形性质】 77．（23-24八年级·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 78．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，过点作轴，根据平移的性质，得到，求出，设，根据，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：过点作轴， ∵线段向右平移4个单位到线段，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 79．（23-24八年级·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 或， 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，设点坐标为，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出的值，再写出点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为， 根据题意得：， 解得或， ∴点坐标为 或， 故答案为： 或． 80．（23-24八年级·山东德州·期中）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点B，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标为，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，将其代入和可求出点横纵坐标的绝对值，结合点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， 设小长方形纸片的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$