第一单元《勾股定理》复习试题2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上第一单元《勾股定理》复习试题 一.选择题(共10小题) 1.下列叙述中,正确的是( ) A.直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方 B.如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 C. ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90 D. ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若∠B=90 ,则c2﹣a2=b2 2.在下列四组数中,属于勾股数的是( ) A.2,3,4 B.3,4,5 C.4,6,7 D.6,8,9 3.如图,由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形,其中阴影部分面积的是( ) A.16 B.25 C.12.5 D.169 4.小红想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米,当他把绳子的下端拉开6米后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高是( ) A.8米 B.10米 C.20米 D.14米 5.如图,在 ABC中,AB=6,AC=9,AD⊥BC于D,M为AD上任一点,则MC2﹣MB2等于( ) A.29 B.32 C.36 D.45 6.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则 ABE的面积为( ) A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 7.如图,在离水面点A高度为8m的岸上点C处,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17m,此人以1m/s的速度收绳,7s后船移动到点D的位置,则船向岸边移动了( )(假设绳子是直的) A.9米 B.8米 C.7米 D.6米 8.临汾是帝尧之都,有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙,顶蹲冲天吼,底座浮雕长城和黄河壶口瀑布,是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图,在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在石柱上的巨龙至少为( ) A.20米 B.25米 C.30米 D.15米 9.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知 ABC中,AB=AC=2,点D在BC边的延长线上,AD=4,则BD•CD=( ) A.16 B.15 C.13 D.12 二.填空题(共8小题) 11.如图,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有 米. 12.一个三角形的三边长之比是5:12:13,且周长是60,则它的面积是 . 13.如图,甲船从港口A出发向东北方向航行16海里到达B地,乙船同时从港口A出发向东南方向航行12海里到达C地,此时,两船之间的距离是 海里. 14.如图,在 ABC中,点D,E在边AB上,连接CD,CE,满足CD⊥AB,AE=CE,若AD=6,BC=5,BD=3,则 BCE的面积为 . 15.若一个直角三角形的周长为56,斜边长为25,则该直角三角形的面积为 . 16.如图,这是一个台阶的示意图,每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B,其爬行的最短线路的长度是 . 17. 如图,有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点,已知AB=500m,AC=300m,BC=400m,飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响,若该飞机的速度为14m/s,则着火点C受到洒水影 响 秒. 18.如图,阴影部分表示以Rt ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,面积分别记作S1和S2.若S1+S2=14,AB=5,则 ABC的周长是 . 三.解答题(共9小题) 19.“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE; (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米? 20.为了强化实践育人,有效开展劳动教育和综合实践活动,我市某中学现有一块四边形的空地ABCD,如图所示,学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量得到:∠BAD=90 ,AD=3m,AB=4m,BC=13m,CD=12m.根据你所学过的知识,解决下列问题: (1)四边形ABCD的面积; (2)点D到BC的距离. 21.如图,阳光中学有一块四边形的空地ABCD,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮.经测量∠A=90 ,AB=9m,DA=12m,BC=8m,CD=17m,若每平方米草皮需要100元,种植这块草皮需要投入多少资金?(其他费用不计) 22.如图,公园有一块三角形空地ABC,过点A修垂直于BC的小路AD,过点D修垂直于AC的小路DE(小路宽度忽略不计).经测量,AB=13米,BD=5米,CD=9米. (1)求小路AD的长; (2)求小路DE的长. 23.如图,在 ABC中,D是边BC上的一点,且DE⊥BC,若BD=CD,EA2+AC2=BD2+DE2,求证: ABC是直角三角形. 24.如图①,直角三角形的两条直角边长分别是a,b(a<b),斜边长为c. (1)探究:用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形(如图②). ①小正方形的边长为c,大正方形的边长为 ; ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ,整理得 ,从而验证勾股定理; (2)应用:将两个这样的直角三角形按图③所示摆放,使BC和CD在一条直线上,连接AE.请你类比(1)中的方法用图③验证勾股定理. 25. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法,请你用等面积法来探究下列三个问题: (1)如图1是著名的“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形拼成,请用它验证勾股定理c2=a2+b2. (2)如图2,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,CD是AB边上的高,AC=4,BC=3,求CD的长度; (3)如图1,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求(a+b)2的值(a<b). 26.今年,第十五号台风登陆江苏,A市接到台风警报时,台风中心位于A市正南方向52km的B处,正以8km/h的速度沿BC方向移动.已知A市到BC的距离AD=20km, (1)台风中心从B点移到D点经过多长时间? (2)如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响,那么A市受到台风影响的时间是多长? 27.已知 ABC中,∠B=90 ,BC=6cm,AB=8cm,P、Q是 ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A B方向运动且速度为每秒2cm,点Q从点B开始沿B C A方向运动,在BC边上的运动速度是每秒3cm,在AC边上的运动速度是每秒5cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒, (1)线段AC= ; (2)当t=1秒时,求 BPQ的面积; (3)当AP=CP时,CQ= ; (4)若PQ将 ABC周长分为5:7两部分,直接写出t的值. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.B. 2.B. 3.C. 4.A. 5.D. 6.C. 7.A. 8.A. 9.C. 10.D 二.填空题(共8小题) 11.24. 12.120. 13.20. 14.. 15.84. 16.130cm. 17.. 18.14. 三.解答题(共9小题) 19.解:(1)在Rt CDB中, 由勾股定理得,CD2=BC2﹣BD2=252﹣152=400, 所以,CD=20(负值舍去), 所以,CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米), 答:风筝的高度CE为21.6米; (2)由题意得,CM=12, ∴DM=8, ∴BM=17(米), ∴BC﹣BM=25﹣17=8(米), ∴他应该往回收线8米. 20.解:(1)如图1,连接BD, ∵∠BAD=90 ,AD=3m,AB=4m, ∴BD===5(m), ∵52+122=132, ∴BD2+CD2=BC2, ∴ BDC是直角三角形,且∠BDC=90 , ∴S四边形ABCD=SRt ABD+SRt BDC=AB•AD+BD•CD= (4 3+5 12)=36(m2), 答:四边形土地的面积为36m2; (2)如图2,过点D作DE⊥BC于点E, 由(1)可知, BDC是直角三角形,∠BDC=90 , ∴S BDC=BC•DE=BD•CD, ∴DE===(m), 答:点D到BC的距离为m. 21.解:如图,连接BD, 在 ABD中,∠A=90 ,AB=9m,DA=12m, 根据勾股定理得:BD=15(m), 在 DBC中,BC=8m,CD=17m,BD=15m, ∵172=82+152, ∴BC2+BD2=CD2, ∴ DBC是直角三角形,且∠DBC=90 , ∴四边形ABCD的面积= BAD的面积+ DBC的面积=AD•AB+DB•BC= 12 9+ 8 15=114(m2), ∵每平方米草皮需要100元, ∴100 114=11400(元), 答:种植这块草皮需要投入11400元资金. 22.解:(1)∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90 , ∴AD=12(米), 答:小路AD的长为12米; (2)在Rt ACD中,由勾股定理得:AC=15(米), ∵DE⊥AC, ∴S ADC=AD•CD=AC•DE, ∴DE===7.2(米), 答:小路DE的长为7.2米. 23.证明:如图,连接CE. ∵BD=CD,DE⊥BC, ∴CE=BE. ∵DE⊥BC, ∴BD2+DE2=BE2=CE2. ∵EA2+AC2=BD2+DE2, ∴EA2+AC2=CE2, ∴ ACE是直角三角形,∠A=90 , ∴ ABC是直角三角形. 24.解:(1)①由图和题意可知:大正方形的边长为a+b; ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式,整理得a2+b2=c2; (2)∵∠BAC+∠ACB=90 ,∠BAC=∠ECD, ∴∠ECD+∠ACB=90 , ∴∠ACE=90 用两种不同的方法表示出梯形ABDE的面积,可得:, ∴a2+2ab+b2=2ab+c2, ∴a2+b2=c2. 25. 解:(1)如图1,大正方形的面积=c2=4 , 整理得,c2=a2+b2; (2)在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=4,BC=3, ∴AB=5, ∵, ∴CD=; (3)∵大正方形的面积是13,小正方形的面积是1, ∴c2=13,(b﹣a)2=1, ∴a2+b2﹣2ab=1, ∴2ab=12, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25, 即(a+b)2的值为25. 26.解:(1)由题意得,在Rt ABD中, AB=52km,AD=20km ∴BD=48Km, ∴48 8=6小时, 即台风中心从B点移到D点需要6小时; (2)以A为圆心,以25km为半径画弧,交BC于P、Q, 则A市在P点开始受到影响,离开Q点恰好不受影响(如图), 由题意,AP=25km,在Rt ADP中, PD=15Km ∵AP=AQ,∠ADB=90 , ∴DP=DQ, ∴PQ=30km, ∴30 8=3.75(小时) ∴A市受台风影响的时间为3.75小时. 27.解:(1)∵∠B=90 , ∴AC=10, 故答案为:10; (2)∵AP=2t=2,BQ=3t=3, ∴BP=AB﹣AP=8﹣2=6, ∴S BPQ===9; (3)设AP=CP=x, 在Rt BCP中,由勾股定理得, CP2﹣BP2=BC2, ∴x2﹣(8﹣x)2=62, ∴x=, ∴t==>2, ∴点Q在AC上, ∴CQ=5 (﹣2)=, 故答案为:; (4)(6+8+10) =10,24﹣10=14, 当0<t<2时,BP+BQ=10时, 8﹣2t+3t=10, ∴t=2(舍去), 当BP+BQ=14时, 8﹣2t+3t=14, ∴t=6(舍去), 当2≤t<4时, 当AP+AQ=10时, 2t+10﹣5(t﹣2)=10, ∴t=, 当AP+AQ=14时, 2t+10﹣5(t﹣2)=14, ∴t=2, 综上所述:t=2或. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/9/28 22:24:15;用户:马丹;邮箱:18845904881;学号:49967352 学科网(北京)股份有限公司 $$