第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 3．（5分）（23-24高三上·四川内江·阶段练习）设函数在区间单增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 5．（5分）（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 10．（6分）（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 11．（6分）（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） . 13．（5分）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是 . 14．（5分）（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 16．（15分）（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）求值： (1)； (2)． (3)设，试用表示． 17．（15分）（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 18．（17分）（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（17分）（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 【解题思路】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②. 【解答过程】因为，， 对于①，，①错； 对于②，因为，且， 当为奇数时，；当为偶数时，.②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为. 故选：B. 2．（5分）（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【解题思路】由二分法的定义直接求解即可. 【解答过程】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C. 3．（5分）（23-24高三上·四川内江·阶段练习）设函数在区间单增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由复合函数单调性得到在上单调递减，由对称轴得到不等式，求出答案. 【解答过程】在R上单调递减，由复合函数单调性可知， 在上单调递减， ，解得. 故选：D. 4．（5分）（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【解题思路】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【解答过程】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 5．（5分）（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【解答过程】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 其图象关于原点对称，排除A选项； 取，则，排除C、D选项； 故选：B. 6．（5分）（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数性质得，再利用对数函数性质得，最后即可比较大小关系. 【解答过程】，则，即， 因为， 则，则，则. 又因为， 所以. 故选：B. 7．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【解答过程】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 8．（5分）（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数是上的减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的根的个数数形结合，从而可得出答案. 【解答过程】因为函数是上的减函数， 则，解得， 函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根， 如图，在上方程恰好有一解， 所以在上，方程有且仅有一解， 当即时，由， 即，，则， 解得或1（舍去）， 当时，经检验符合题意； 当即时，由图象知符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A.    二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【解题思路】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 【解题思路】根据偶函数的定义判断A，根据指数复合函数值域的求法求解判断B，结合指数函数的单调性及复合函数的单调法则判断C，利用单调性比较大小判断D. 【解答过程】易得的定义域为，且， 故不为偶函数，故A错误； 令，则， 因为在上的值域为，故B正确； 因为在上单调递增，且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C正确； 由于函数在上单调递减，所以，故D错误. 故选：BC. 11．（6分）（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） . 【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求解. 【解答过程】, 故答案为：. 13．（5分）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【解题思路】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案. 【解答过程】 的值域为， 当时， 则，为增函数，， 而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时， 则，为减函数，， 而时，为减函数， 此时，， 因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得； 综上，时满足题意. 故答案为：. 14．（5分）（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【解题思路】由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，化简得，对任意恒成立；即然后利用单调性求解即可. 【解答过程】； 增大时，增大，减小，减小； 所以在上单调递减； 所以为奇函数，由得，； 又在上单调递减； 所以，该不等式对于任意恒成立； 即，对任意恒成立； 所以只需 令 显然单调递增 所以 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 【解题思路】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【解答过程】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则. 16．（15分）（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）求值： (1)； (2)． (3)设，试用表示． 【解题思路】（1）利用根式和分数指数幂运算法则进行计算； （2）利用对数运算法则计算即可； （3）利用换底公式和对数运算法则进行求解. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）， . 17．（15分）（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【解题思路】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 18．（17分）（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式. （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【解答过程】（1）函数中，，由是奇函数，得， 即，整理得，解得， 函数定义域为， 由，得，即，整理得，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为函数在上单调递增， 故当时，， 由（1）得在的值域， 又， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（17分）（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【解题思路】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【解答过程】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$