第7期 《解直角三角形》章节测试卷（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 《解直角三角形》章节测试卷 ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间１２０分钟，满分１２０分）　 题号 一 二 三 总分 得分 选择题 （共２４分） 一、精心选一选（本大题共８个小题，每小题３分，共２４分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２ｓｉｎ３０°的值为 （　　） Ａ．１２ 槡Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ． ２ ３ ２．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２，ＡＣ＝３，则ｔａｎＢ的值是 （　　） Ａ． 槡３ １３１３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． 槡２ １３ １３ Ｄ． ２ ３ ３．如图２，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群 众，沿ＡＣ修了一条近路，已知ＡＢ＝８０米，新修小路与ＡＢ的夹角∠ＣＡＢ为 ４０°，则走这条近路ＡＣ的长可以表示为 （　　） Ａ．８０ｓｉｎ４０°米 Ｂ．８０ｃｏｓ４０°米 Ｃ． ８０ｓｉｎ４０°米 Ｄ． ８０ ｃｏｓ４０°米 ４．如图３，在 △ＡＢＣ中，已知 ＡＤ是 ＢＣ边上的高，ＤＣ＝１，ＢＤ＝２， ｔａｎＢ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ，则ＡＢ的值为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．７ ５．如图４是放置在水平地面上的落地式话筒架的示意图，主杆 ＡＢ垂 直于地面，斜杆ＣＤ固定在主杆的点Ａ处，若∠ＣＡＢ＝α，ＡＢ＝１２０ｃｍ，ＡＤ ＝４０ｃｍ，则话筒夹点Ｄ离地面的高度ＤＥ为 （　　） Ａ．（１２０＋４０ｓｉｎα）ｃｍ Ｂ．（１２０＋４０ｃｏｓα）ｃｍ Ｃ．（１２０＋ ４０ｓｉｎα ）ｃｍ Ｄ．（１２０＋ ４０ｃｏｓα ）ｃｍ ６．某型号飞机的机翼形状如图５所示，根据图中数据计算ＡＢ的长为 （　　） Ａ．（槡５３３ ＋１．６）ｍ Ｂ．（ 槡５３ ３ －１．６）ｍ Ｃ．（槡５２２ ＋０．９）ｍ Ｄ．（ 槡５２ ２ －０．９）ｍ ７．如图６，一舞者上半身ＡＢ长为ｍ，下半身ＢＣ长为ｎ，下半身与水平面 夹角为θ（６０°＜θ＜９０°），与上半身ＡＢ夹角为１２０°，则此时舞者的铅直高 度ＡＤ的长为 （　　） Ａ．ｎｓｉｎθ＋ｍ２ｓｉｎθ Ｂ．ｎｓｉｎθ＋ｍｓｉｎ（θ－６０°） Ｃ．ｎｃｏｓθ＋ｍｓｉｎ（θ＋６０°） Ｄ．ｎｓｉｎθ＋ｍｃｏｓ（θ－６０°） ８．如图７，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，ＡＢ＝槡５，连接ＡＢ并延长至点Ｃ， 连接ＯＣ，若满足ＯＣ２ ＝ＢＣ·ＡＣ，ｔａｎα＝ １２，则点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（－２，４） Ｂ．（－４３， ２ ３） Ｃ．（－２３， ４ ３） Ｄ．（－１，２） 非选择题 （共９６分） 二、细心填一填（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） ９．已知∠α为锐角，且ｃｏｓα＝ １２，则ｔａｎα＝ ． １０．如图８，一架落地座钟的钟摆长２ｍ，钟摆摆动时，偏离铅垂线的最 大夹角为 α，那么，钟摆摆至最高位置与摆至最低位置的高度之差为 ｍ（用含α的式子表示）． １１．某指示牌的平面示意图如图９所示，若ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＣＤ＝∠ＢＡＥ ＝５０°，ＡＥ＝ＣＥ＝２米，则点 Ａ到地面的距离为 米（参考数据： ｓｉｎ５０°≈０．７７，ｃｏｓ５０°≈０．６４，ｔａｎ５０°≈１．１９）． １２．如图１０，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１，ｓｉｎＡ＝１３，以点Ｂ 为圆心，以合适长度为半径作弧，分别交ＢＣ，ＢＡ于Ｎ，Ｍ两点，再分别以点 Ｍ，Ｎ为圆心，大于 １２ＭＮ的长为半径作弧，两弧交于点Ｐ，作射线ＢＰ交ＡＣ 于点Ｄ，则ＣＤ的长度为 ． １３．如图１１－① 是小明家使用的挂钩，起初按照图１１－② 的方式 （∠α＝９０°）挂在墙上，Ａ，Ｂ为钉子所在位置，且ＡＢ＝７２ｃｍ；为了增加挂 钩之间的空隙，调整为图１２－③的方式（∠β＝６０°），则两颗钉子Ａ，Ｂ间的 距离增加了 ｃｍ（用含根号的式子表示）． １４．如图１２，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，∠ＡＢＣ＝９０°，ｔａｎ∠ＡＣＢ＝３４， 点Ｄ，Ｅ分别在边ＡＣ，ＢＣ上，且ＢＣ＝ＤＣ，若ＤＥ把△ＡＢＣ的面积平分，则 ＤＥ＝ ． 三、耐心解一解（本大题共７８分） １５．（６分）计算： ２ｔａｎ３０°－２ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°＋３ｔａｎ３０°ｓｉｎ４５°． １６．（６分）如图１３，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，若ＢＣ＝１４，ＡＤ ＝１２，ＢＤ＝ ３４ＡＤ，求ｓｉｎＣ的值． !"#$%&'( ) * + ! ! ! ! ! ! ! ! ! , - + ! ! ! ! ! ! ! ! ! . / + ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # 0 1 2 3 4 5 , - 5 . 6 $ # 0 7 8 9 : ; < = > ? 9 % # 0 @ 1 A B C D E 8 F G ( H B I 名 师 名 卷 J K ! " # $ L %& !"## ' ()* + ) ! !"#$ !"#$%& !MNOPQRSTUV! !MWXPQRSTVYZ[\]^_` RSTVabcdefgh !ijXPQklmn !noQpqr !stuvwxiyz{Q&'"()*+*+,|-} ! " # ! " ! $ " ! $ " % & $ ! % !"# (.# $ & %#( / " . / % ! . " $' & % ! ! ( (& ) # * " ! ! + % ! " $ "$*# ! 0 " ! 1 %" + ' $ ! ! 2 ! % , - $ " . ! "* " % & $ ! "% $ $ & & # ! " # ! "" ! " '$ % & ! "$ 书 １７．（６分）电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔 ＡＢ建在了一个坡度为１∶０．７５的山坡 ＣＤ的平台 ＢＣ上（如图１４），测得 ∠ＡＥＤ＝５２５°，ＢＣ＝５米，ＣＤ＝３５米，ＤＥ＝１９米，求铁塔ＡＢ的高度（参 考数据：ｓｉｎ５２．５°≈０７９，ｃｏｓ５２．５°≈０６１，ｔａｎ５２５°≈１．３０）． １８．（６分）如图１５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ｓｉｎＡ ＝１２１３． （１）求ＢＤ的长； （２）求ｔａｎＣ的值． １９．（７分）如图１６，某渔船向正东方向以１４海里 ／时的速度航行，在Ａ 处测得小岛Ｃ在北偏东７０°方向，２小时后渔船到达Ｂ处，测得小岛Ｃ在北 偏东４５°方向，已知该岛周围２０海里范围内有暗礁（结果精确到０１海里， 参考数据：ｓｉｎ７０°≈０９４，ｃｏｓ７０°≈０３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡２≈１４１）． （１）求Ｂ处距离小岛Ｃ的距离； （２）为安全起见，渔船在Ｂ处向东偏南转了２５°继续航行，通过计算说 明船是否安全？ ２０．（７分）如图１７，在平行四边形ＡＢＣＤ中，以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径 画弧交ＡＤ于点Ｆ；再分别以Ｂ，Ｆ为圆心，大于 １２ＢＦ的长为半径画弧，两弧 交于点Ｐ；连接ＡＰ并延长交ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＥＦ是菱形； （２）若菱形 ＡＢＥＦ的周长为 ４，ＡＥ ＝槡３，请直接写出 ｃｏｓＣ ＝ ． ２１．（１０分）如图１８是一种自卸货车的示意图，货箱侧面是一个矩形， 长ＡＢ＝４米，宽ＢＣ＝２米，初始时点Ａ，Ｂ，Ｆ在同一水平线上，车厢底部ＡＢ 离地面的高度为１．３米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点 Ａ旋转，箱 体底部ＡＢ形成不同角度的斜坡． （１）当斜坡ＡＢ的坡角为３７°时，求车厢最高点Ｃ离地面的距离； （２）点Ａ处的转轴与后车轮转轴（点Ｅ处）的水平距离叫做安全轴距， 已知该车的安全轴距为０．７米．货厢对角线ＡＣ，ＢＤ的交点Ｇ是货厢侧面的 重心，卸货时如果Ａ，Ｇ两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆 安全事故．当斜坡ＡＢ的坡角为４５°时，根据上述车辆设计技术参数，该货 车会发生车辆倾覆安全事故吗？请说明你的理由（精确到０．１米，参考数 据：ｓｉｎ３７°≈０６０，ｃｏｓ３７°≈０８０，ｔａｎ３７°≈０７５，槡２≈１．４１４２）． ２２．（１０分）如图１９，已知Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边ＡＢ上 的中线，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，ＡＥ分别与ＣＤ，ＣＢ相交于点Ｈ，Ｅ，ＡＨ＝２ＣＨ． （１）求ｓｉｎＢ的值； （２）如果ＣＤ＝槡５，求ＢＥ的值． ２３．（１０分）图２０－①是挂墙式淋浴花洒的实物图，图２０－②是抽象 出来的几何图形．为使身高１７５ｃｍ的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定 在墙上的某个位置Ｏ，花洒的最高点Ｂ与人的头顶的铅垂距离为１５ｃｍ，已 知龙头手柄ＯＡ长为１０ｃｍ，花洒直径ＡＢ是８ｃｍ，龙头手柄与墙面的较小夹 角∠ＣＯＡ＝２６°，∠ＯＡＢ＝１４６°（结果精确到０．１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ２６°≈ ０．４４，ｃｏｓ２６°≈０９０，ｔａｎ２６°≈０４９）． （１）求点Ａ到墙面的距离； （２）求旋转头的固定点Ｏ与地面的距离． ２４．（１０分）白沙岛是众多海钓人的梦想之地．月月的爸爸周末去白沙 岛钓鱼，将鱼竿ＡＢ摆成如图２１－①所示．已知ＡＢ＝４．８ｍ，鱼竿尾端Ａ离岸 边０．４ｍ，即ＡＤ＝０．４ｍ．海面与地面ＡＤ平行且相距１．２ｍ，即ＤＨ＝１．２ｍ． （１）如图２１－①，在无鱼上钩时，鱼竿ＡＢ与地面ＡＤ的夹角∠ＢＡＤ＝ ２２°，海面上方的鱼线ＢＣ与海面ＨＣ成一定角度，求点Ｂ到海面ＨＣ的距离； （２）如图２１－②，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠ＢＡＤ＝５３°，此 时鱼线被拉直，鱼线ＢＯ＝５．４６ｍ，点Ｏ恰好位于海面，求点Ｏ到岸边ＤＨ的 距离（参考数据：ｓｉｎ３７°＝ｃｏｓ５３°≈ ３５，ｃｏｓ３７°＝ｓｉｎ５３°≈ ４ ５，ｔａｎ３７°≈ ３ ４，ｓｉｎ２２°≈ ３ ８，ｃｏｓ２２°≈ １５ １６，ｔａｎ２２°≈ ２ ５）． !"#$%&'() * + , " !-2345 !6789:0$%#!&#'(!'#) !;<=>0?@ABCDEFGHIJ !%' KLM<NOPLQ678 !RS6T0$%$$$) !DU8V<W*0$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(XYZ[ !V\0]^;<DU8>_`abcdReXf[ !RSV\W*0!!!*# !ghijVklVmnV !;<oabcAXD[pqrst< !uvwxygzK0!+,,,,+,,,!!, !uv89:0,%#!!#'(!'## !;<{|}~Y€‚ƒ„…†X‡ˆD‰ŠG‹ŒŽ‘’ !! K)“”•ƒ–—˜™š”]^;<DU8>_›œ ! " # $ ! !# " ! % & ' # ( ! !( '#" +#" (," % " ! ( # ! !) ( " % ) ! # ! !- * ! ( " ) + !" #$ * ( " ) # !" % & ! " ! '! ( # * ! ! " ! ', " # " '' , ( ! +' & ,"(' ! !* % % " ! ( # ! !+