第4期 《图形的相似》章节测试卷（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 《图形的相似》章节测试卷 ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间１２０分钟，满分１２０分）　 题号 一 二 三 总分 得分 选择题 （共２４分） 一、精心选一选（本大题共８个小题，每小题３分，共２４分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２３成都武侯区期末）已知△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，若∠Ａ＝３５°，∠Ｂ ＝６５°，则∠Ｆ的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３５° Ｂ．６５° Ｃ．８０° Ｄ．１００° ２．如图１，在△ＡＢＣ中，ＥＦ∥ＢＣ，ＡＢ＝３ＡＥ，若Ｓ四边形ＢＣＦＥ ＝３２，则Ｓ△ＡＢＣ ＝ （　　） Ａ．３２ Ｂ．３６ Ｃ．４０ Ｄ．４８ ３．（２０２３泉州月考）已知 △ＡＢＣ∽ △ＤＥＦ，它们的周长分别为２０和 １０，且ＢＣ＝８，则ＥＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ４．如图２，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，下列等式成立的是 （　　） Ａ．ＡＣ·ＣＥ＝ＢＤ·ＤＦ Ｂ．ＡＣ·ＣＥ＝ＢＤ·ＢＦ Ｃ．ＡＣ·ＤＦ＝ＣＥ·ＢＤ Ｄ．ＣＤ２ ＝ＡＢ·ＥＦ ５．如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝９０°，ＡＤ⊥ＣＢ，则图中两两相似的 三角形对数为 （　　） Ａ．２对 Ｂ．３对 Ｃ．４对 Ｄ．５对 ６．（２０２３牡丹江期末）如图４，小明到操场测量旗杆ＡＢ的高度，他手拿 一支铅笔ＭＮ，边观察边移动（铅笔ＭＮ始终与地面垂直）．当小明移动到Ｄ 点时，眼睛Ｃ与铅笔，旗杆的顶端Ｍ，Ａ共线，同时眼睛Ｃ与它们的底端Ｎ，Ｂ 也恰好共线．此时测得ＤＢ＝５０ｍ，小明的眼睛Ｃ到铅笔的距离为０．６ｍ， 铅笔ＭＮ的长为０．１６ｍ，则旗杆ＡＢ的高度为 （　　） Ａ．１５ｍ Ｂ．５０３ｍ Ｃ． ４０ ３ｍ Ｄ．１４ｍ ７．如图５，在ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ分别是ＡＤ，ＢＣ上的点，且ＡＭ＝２ＤＭ， ＢＮ＝２ＣＮ，点Ｏ是ＣＭ，ＤＮ的交点，直线ＡＢ分别与ＣＭ，ＤＮ的延长线交于 点Ｐ，Ｑ．若ＡＢＣＤ的面积为１４４，则△ＰＯＱ的面积为 （　　） Ａ．７２ Ｂ．２１６ Ｃ．２６８ Ｄ．３００ ８．如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，以ＡＢ，ＡＣ为边分别向外作正 方形ＡＢＦＧ和正方形ＡＣＤＥ，ＣＧ交ＡＢ于点Ｍ，ＢＤ交ＡＣ于点Ｎ．若ＧＭＣＭ＝ １ ２， 则 ＡＮ ＣＮ＝ （　　） Ａ．１２ Ｂ． ３ ４ Ｃ． 槡２５ ５ Ｄ．１ 非选择题 （共９６分） 二、细心填一填（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） ９．（２０２３成都期末）如图７，以点 Ｏ为位似中心，将五边形 ＡＢＣＤＥ按 １∶２放大后得到五边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′，若五边形ＡＢＣＤＥ的面积为５０ｃｍ２，则 五边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′的面积是 ｃｍ２． １０．（２０２３西安二模）如图８，已知直线ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，且ＡＦ∶ＦＤ＝ ２∶３，ＢＣ＝１５，则ＥＣ＝ ． １１．如图９，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为点Ｄ，如果 Ｃ△ＡＤＣ Ｃ△ＣＤＢ ＝ ３２，ＡＤ＝８，那么ＣＤ的长是 ． １２．如图１０，在平面直角坐标系中，正方形ＡＢＣＤ与正方形ＢＥＦＧ是以 原点Ｏ为位似中心的位似图形，且相似比为 １３，点Ａ，Ｂ，Ｅ在ｘ轴上，若正方 形ＢＥＦＧ的边长为６，则点Ｄ的坐标为 ． １３．（２０２３阳泉期末）如图１１，Ｆ是△ＡＢＣ内一点，ＢＦ平分∠ＡＢＣ且ＡＦ ⊥ＢＦ，Ｅ是ＡＣ中点，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，则ＥＦ的长等于 ． １４．如图１２，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝４，Ｄ是边ＡＣ的中 点，ＣＥ⊥ＢＤ于点Ｅ．若Ｆ是边ＡＢ上的点，且使△ＡＥＦ是以ＥＦ为腰的等腰 三角形，则ＡＦ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题共７８分） １５．（２０２３邯郸月考，６分）如图１３，四边形ＡＢＣＤ∽四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′， 求四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的相似比以及∠Ｄ′的度数，边ＣＤ的长 度． １６．（６分）如图１４，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ是边 ＡＢ上的一点，∠ＢＣＤ＝ ∠ＢＡＣ．若ＢＣ＝ 槡２３，ＢＤ＝３，求边ＡＤ的长． !"#$%&'( ) * + ! ! ! ! ! ! ! ! ! , - + ! ! ! ! ! ! ! ! ! . / + ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # 0 1 2 3 4 5 , - 5 . 6 $ # 0 7 8 9 : ; < = > ? 9 % # 0 @ 1 A B C D E 8 F G ( H B I 名 师 名 卷 J K ! " # $ L %& !"#$ ' ()* + ) ! !"#$ !"#$%& ! " # $ % ! " ! $ # & ' " % ! ! % % ! & ' ! & %& ( )* + , ' - ! ' & ! ' % ) * ! ( % '# ) * ! . & " ! ) ( , ' % & " ,! '! %! &! "! ! * ' # , & " % ! + % ' , & ! ", / 0 ( , ' " . # % & ! "$ % ' # , & " ! "" , ' % & # " % , & ' ! "' ! "% , ' % & + ",$! "$,! ( ", * &! ,! %! '! !MNOPQRSTUV! !MWXPQRSTVYZ[\]^_` RSTVabcdefgh !ijXPQklmn !noQpqr !stuvwxiyz{Q-."'/,),)0|1} 书 １７．（２０２３咸阳一模，６分）如图 １５，△ＡＢＣ三个顶点的坐标分别为 Ａ（－２，－１），Ｂ（－５，－２），Ｃ（－１，－３）． （１）画出△ＡＢＣ关于原点对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＣ放大为原来的２倍，得到△Ａ２Ｂ２Ｃ２， 请在网格中画出△Ａ２Ｂ２Ｃ２，并写出点Ｂ２的坐标． １８．（６分）如图１６，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠Ｃ＝∠Ｄ，点Ｅ为ＡＤ上一点． （１）求证：△ＡＢＤ∽△ＡＥＣ； （２）若ＡＣ∥ＢＤ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６，ＣＥ＝４，求ＡＤ的长． １９．（２０２３西安一模，７分）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一 古建筑的高度．如图１７，古建筑的高度为ＡＢ，在地面ＢＣ上取Ｅ，Ｇ两点，分 别竖立两根高为１．５ｍ的标杆ＥＦ和ＧＨ，两标杆间隔ＥＧ为２６ｍ，并且古建 筑ＡＢ，标杆ＥＦ和ＧＨ在同一竖直平面内．从标杆ＥＦ后退２ｍ到Ｄ处（即ＥＤ ＝２ｍ），从Ｄ处观察Ａ点，Ａ，Ｆ，Ｄ三点成一线；从标杆ＧＨ后退４ｍ到Ｃ处 （即ＣＧ＝４ｍ），从Ｃ处观察Ａ点，Ａ，Ｈ，Ｃ三点也成一线．已知Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｇ，Ｃ 在同一直线上，ＡＢ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，请你根据以上测量数据，帮 助兴趣小组求出该古建筑ＡＢ的高度． ２０．（２０２３惠州惠阳区月考，７分）如图１８，△ＡＢＣ是等边三角形，点Ｄ， Ｅ分别在ＢＣ，ＡＣ上，且ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｆ． （１）求证：△ＡＢＥ∽△ＦＡＥ； （２）若ＡＦ＝７，ＤＦ＝１，求ＢＤ的长． ２１．（１０分）如图１９，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＣＤ延长线上一点，ＢＥ与ＡＤ交 于点Ｆ． （１）求证：△ＡＢＦ∽△ＣＥＢ； （２）设△ＤＥＦ和ＡＢＣＤ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，若 ＥＤ ＤＣ＝ ２ ３，求 Ｓ１ Ｓ２ 的 值． ２２．（２０２３佛山一模，１０分）如图２０，四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＢＤ是对 角线，ＢＥ平分∠ＤＢＣ交ＤＣ于点Ｅ，交ＤＦ于点Ｍ，Ｆ是ＢＣ延长线上一点， 且ＣＥ＝ＣＦ． （１）求证：ＢＭ⊥ＤＦ； （２）若正方形ＡＢＣＤ的边长为２，求ＭＥ·ＭＢ的值． ２３．（１０分）如图２１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝８，点Ｑ 在ＡＢ上，且ＡＱ＝２，过点Ｑ做ＱＲ⊥ＡＢ，垂足为点Ｑ，ＱＲ交折线ＡＣ－ＣＢ 于点Ｒ，当点Ｑ以每秒２个单位的速度向终点Ｂ移动时，点Ｐ同时从点Ａ出 发，以每秒６个单位的速度沿ＡＢ－ＢＣ移动，设移动时间为ｔ秒． （１）ｔ＝ 秒时，点Ｐ与点Ｑ重合； （２）当点Ｐ在ＡＢ上运动时，以ＰＱ为边在ＡＢ上方所作的正方形ＰＱＭＮ 在Ｒｔ△ＡＢＣ内部，求此时ｔ的取值范围． ２４．（１０分）探索并解决问题： （１）【证明体验】如图２２－①，ＡＤ为△ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＤＣ＝６０°， 点Ｅ在线段ＡＢ上，ＡＥ＝ＡＣ，求证：ＤＥ平分∠ＡＤＢ； （２）【思考探究】如图２２－②，在（１）的条件下，Ｆ为ＡＢ上一点，连接 ＦＣ交ＡＤ于点Ｇ．若ＦＢ＝ＦＣ，求证：ＤＥ２ ＝ＢＤ·ＤＧ； （３）【拓展延伸】如图 ２２－③，在四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ，∠ＢＣＡ＝２∠ＤＣＡ，点Ｅ在ＡＣ上，∠ＥＤＣ＝∠ＡＢＣ，若ＢＣ＝５，ＣＤ ＝ 槡２５，ＡＤ＝２ＡＥ，求ＡＣ的长． !"#$%&'() * + , !-2345 !6789:0$%#!&#'(!'#) !;<=>0?@ABCDEFGHIJ !%' KLM<NOPLQ678 !RS6T0$%$$$) !DU8V<W*0$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(XYZ[ !V\0]^;<DU8>_`abcdReXf[ !RSV\W*0!!!*# !ghijVklVmnV !;<oabcAXD[pqrst< !uvwxygzK0!+,,,,+,,,!!, !uv89:0,%#!!#'(!'## !;<{|}~Y€‚ƒ„…†X‡ˆD‰ŠG‹ŒŽ‘’ !! K)“”•ƒ–—˜™š”]^;<DU8>_›œ ! !# ! " # $ ! ! % & ! !) ' & ( $ % ! '! & $ % ) * !+" ! '' & ' ( $ % & ' ( $ % & ' ( , $ % - ! " # ! !( $ % & ' , -( . ! !* $ % & ' , ( ! ', $ % & ' ( / , ! !- & ' ( ,$ %