第5期 2.3 有理数的乘方 2.4 有理数的混合运算（参考答案见7期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（青岛版2024）

书 上期２版 ２．２有理数的乘法与除法 ２．２．１．１两个有理数相乘、倒数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．０；　４．－５． ５．（１）－４２；　（２）３．６；　（３）－４７；　（４）６． ２．２．１．２多个有理数相乘及运算律 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ． ３．（１）－１２４；　（２）０；　（３）１２． ４．（１）１０；　（２）－３；　（３）－２４９４５． ２．２．２有理数的除法 基础训练　１．Ｂ；　２．－２． ３．（１）－２；　（２）－１３；　（３）０；　（４） ７ ２． ４．（１）－５；　（２）－１０８；　（３）２．５； （４）１５；　（５）－１１５． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ 二、９．－７９， ５ ２；　１０．０；　１１．－７；　１２． ５ ３； １３．－１６２；　１４．４或 －４． 三、１５．（１）－５２；　（２）－ ５０ ３；　（３）－３０． １６．（１）０；　（２）－４１７． １７．（１）由题意，得ａ＝（－４）×（－５）＝２０，ｂ＝３ ×（－５）＝－１５．所以ａｂ＝２０×（－１５）＝－３００． （２）由题意，得｜ｘ－２０｜＋｜ｙ－１５｜＝０．所以ｘ－２０ ＝０，ｙ－１５＝０．所以ｘ＝２０，ｙ＝１５．所以ｙ（－ｘ－ｙ）＝ １５×（－２０－１５）＝１５×（－３５）＝－５２５． １８．（１）前后两部分互为倒数． （２）先计算后一部分比较简便，计算过程如下： （ １ ４＋ １ １２－ ７ １８－ １ ３６）÷ １ ３６＝（ １ ４＋ １ １２－ ７ １８－ １ ３６） ×３６＝９＋３－１４－１＝－３． （３）因为前后两部分互为倒数，所以 １３６÷（ １ ４＋ １ １２ －７１８－ １ ３６）＝－ １ ３． （４）根据以上分析，可知原式 ＝－１３ ＋（－３）＝ －３１３． 附加题　（１）１，－１． （２）因为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，ａｂｃ＜０，所以三个数中必须 有两个正数，一个负数，ｂ＋ｃ＝－ａ，ａ＋ｃ＝－ｂ，ａ＋ｂ＝ －ｃ．可设ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＜０．所以原式 ＝－ａａ ＋ －ｂ ｂ ＋ －ｃ －ｃ＝－１－１＋１＝－１． （３）分四种情况讨论： ①当ａ，ｂ，ｃ三个数都大于０时，原式 ＝１＋１＋１＝ ３； ②当ａ，ｂ，ｃ三个数都小于０时，原式 ＝－１－１－１ ＝－３； ③当ａ，ｂ，ｃ中的一个数大于０，两个数小于０时，原 式 ＝１－１－１＝－１； ④当ａ，ｂ，ｃ中的两个数大于０，一个数小于０时，原 式 ＝１＋１－１＝１． 综上所述， ａ ｜ａ｜＋ ｜ｂ｜ ｂ ＋ ｃ ｜ｃ｜的值为３或 －３或１ 或 －１． 书 学习“２４点”游戏使我们体会到解这类题有多种 思路和解题方法，我们共同来看下面的讲解． 例如，有四个数２，３，７，９，要求用这四个数列出多 个算式，使结果均为２４． 一般，同学们大致会列出下面６个算式： ①３×８的思路：３×［（９＋７）÷２］＝２４； ②２×１２的思路：２×（３×７－９）＝２４； ③４８÷２的思路：［（９＋７）×３］÷２＝２４； ④１５＋９的思路：（７－２）×３＋９＝２４或２３＋７＋ ９＝２４； ⑤３÷１８的思路：３÷［２÷（９＋７）］＝２４； ⑥ ３２×１６的思路：３÷２×（９＋７）＝２４． 对于本题，还有其他的思路，请同学们探究． 再举一例：要求用２，３，６，９四个数列出多个算式， 使结果均为２４． 亲爱的同学们，试一试，你最多能列出几个算式？ 列出后参看以下算式，看看谁列的更全． （１）若只进行加、减、乘、除四则运算，则有以下算式： ３×８的思路：①（９÷３）×（６＋２）＝２４； ４×６的思路：②（９－２－３）×６＝２４； ③（６－２）×（９－３）＝２４； ２×１２或１２＋１２的思路：④２×（９＋６－３）＝２４； ⑤２×６＋３＋９＝２４； ２７－３的思路：⑥６×９÷２－３＝２４； ⑦９×３－６÷２＝２４； ７２÷３的思路：⑧［９×（２＋６）］÷３＝２４． 还有六个极富独创性的解答： （－４）×（－６）的思路：①（２－６）×（３－９）＝２４； ２７－３的思路：②９÷（２÷６）－３＝２４； ９×８３的思路：③９×（３－２÷６）＝２４； ④９×［（６＋２）÷３］＝２４； ８÷１３的思路：⑤（６＋２）÷（３÷９）＝２４； ９÷３８的思路：⑥９÷［３÷（２＋６）］＝２４． （２）若可以进行乘方，则有３２＋６＋９＝２４，２３× （９－６）＝２４，６２－（３＋９）＝２４． 看完以上的思路分析，同学们是否有所收获呢？ 遇到类似的问题，是否能快速列出多个算式呢？ 实际上，玩“２４点”游戏，既是将所学的有理数运 算进行融会贯通，也是有效地提 高我们的计算能力、培养学数学 的兴趣、开发智力的过程．同学 们可以在课余时候玩一玩哦！ 书 一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求 得，如： ６＝２×３，则６的所有正约数之和为：（１＋３）＋（２ ＋６）＝（１＋２）×（１＋３）＝１２； １２＝２２×３，则１２的所有正约数之和为：（１＋３）＋ （２＋６）＋（４＋１２）＝（１＋２＋２２）×（１＋３）＝２８； ３６＝２２×３２，则３６的所有正约数之和为：（１＋３＋ ９）＋（２＋６＋１８）＋（４＋１２＋３６）＝（１＋２＋２２）×（１ ＋３＋３２）＝９１． 参照上述方法，计算２００的所有正约数之和． 书 科学记数法是一种表示 数的重要方法，也是中考的 热点之一，常用来表示实际 生活中一些读、写都比较困 难的大数．现归纳几种常考 题型供同学们学习． 题型一：确定 ａ×１０ｎ中 ａ，ｎ的值 例１　“长征是宣言书， 长征是宣传队，长征是播种 机”．二万五千里长征是中国 历史上的伟大壮举，也是人 类史上的奇迹．将２５０００用 科学记数法可表示为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０．２５×１０６ Ｂ．２．５×１０５ Ｃ．２．５×１０４ Ｄ．２５×１０３ 解析：一个大于１０的数 可以用科学记数法表示为ａ×１０ｎ的形式（其中ａ大于 或等于１且小于１０，ｎ是正整数），也就是说ａ是整数位 只有一位的数，ｎ的值为这个数的整数位数减去１．将 ２５０００用科学记数法表示时，ａ应取２．５，而它的整数位 数是５，所以ｎ＝５－１＝４．所以２５０００＝２．５×１０４．故 选Ｃ． 题型二：恢复原数 例２　据教育部消息，目前我国已建成世界上规模 最大的职业教育体系，共有职业学校１．１２×１０４所，在 校生超过２．９１５×１０７人，则２．９１５×１０７表示的原数为 （　　） Ａ．２９１５００ Ｂ．２９１５０００ Ｃ．２９１５００００ Ｄ．２９１５０００００ 解析：因为２．９１５×１０７中１０的指数是７，所以还原 后的数的整数位数为７＋１＝８．所以２．９１５×１０７的原 数是２９１５００００．故选Ｃ． 题型三：单位的换算 例３　大米是我国居民最重要的主食之一，与此同 时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年 稳定在２亿吨以上．将２亿用科学记数法表示为 （　　） Ａ．２×１０９ Ｂ．２×１０８ Ｃ．０．２×１０８ Ｄ．２×１０７ 解析：将一个含有数值单位的数用科学记数法表 示时，应将数值单位进行转换，即可确定其整数位数． ２亿 ＝２００００００００＝２×１０８．故选Ｂ． 书 一、关注运算顺序 有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最 后算加减；同级运算，按从左到右的顺序进行；如果有括 号，先算括号内的运算．准确把握运算顺序是正确进行 有理数运算的关键． 例１　计算：（－１）×（－４）＋２２÷（７－５）． 分析：根据有理数混合运算的顺序，先算括号里面 的，再算乘方、乘除，最后算加减即可． 解：原式 ＝１×４＋４÷２＝４＋２＝６． 二、关注符号 在有理数的混合运算中，出现符号错误是最常见 的．为了避免符号方面的错误，应注意把握算式中的 “－”号是运算符号，还是性质符号，并结合具体情况进 行区分，养成先确定符号，再算绝对值的好习惯． 例２　计算：－（－３）２＋（－１）３÷（－１４） ２－（－１０）． 分析：－（－３）２前面的“－”号表示（－３）２的相反 数，（－３）２，（－１４） ２是负数的偶次幂，结果均为正． （－１）３是负数的奇次幂，结果为负．－（－１０）可理解为 减去 －１０，结果为正． 解：原式 ＝－９＋（－１）×１６＋１０＝－９－１６＋１０＝ －１５． 三、关注转化 在有理数的混合运算 中，注意把除法转化为乘法， 减法转化为加法，带分数转化 为假分数，小数转化为分数． 例 ３　 计 算：－４ × （－１１２）÷（－１．５）－（－３ ２）． 分析：算式中含有带分数和小数，首先应将带分数 化为假分数，小数化为分数，再将除法化为乘法，减法化 为加法． 解：原式 ＝－４×（－３２）÷（－ ３ ２）－（－９）＝－４ ×（－３２）×（－ ２ ３）＋９＝－４＋９＝５． 四、关注运算律 在有理数的混合运算中，对于比较复杂的计算题， 应注意观察是否可使用运算律来简化运算过程，提高解 题效率． 例４　计算：－３２×（－１２） ３－（３４＋ １ ６－ ３ ８）÷ （－１２４）． 分析：算式可看作两部分的差，其中第一部分可先算 两数的乘方，然后算乘法，第二部分可将除法转化为乘法 后，然后运用乘法分配律计算，最后计算两部分的差即 可．要求熟练掌握混合运算的运算顺序和运算法则． 解：原式 ＝－９×（－１８）－（ ３ ４ ＋ １ ６ － ３ ８）× （－２４）＝ ９８－（－１８－４＋９）＝ ９ ８－（－１３）＝ ９ ８＋ １３＝１４１８． 书 与有理数的加、减、乘、除运算相比，乘方是一种全 新的运算，同学们对它的理解和掌握相对困难一些．学 习时，在正确理解乘方意义的基础上，还要注意以下两 方面的问题． 一、注意正确书写乘方 １．在ａｎ中，指数ｎ要写在底数 ａ的右上角，且要比 ａ小． ２．底数和指数不能随意交换位置，如２３表示３个２ 相乘，其结果是８，而３２表示２个３相乘，其结果是９，因 此２３≠３２． ３．指数是１表示只有１个因数，如６１＝６，所以指数 １通常省略不写． ４．当底数是负数或分数时，书写时一定要把整个负 数或分数用小括号括起来，如（－３）２不能写成 －３２，因 为（－３）２＝３２，而 －３２表示３２的相反数．同样（２３） ３不 能写成 ２３ ３． 例１　填空：式子（－６）３表示 ，其中底数 是 ，指数是 ，读作 ． 解：３个 －６相乘，－６，３，－６的３次方． 二、注意正确进行乘方运算 有理数的乘方运算与有理数的加、减、乘、除运算一 样，也是先确定幂的符号，再计算幂的绝对值． 根据有理数的乘法法则，易知： （１）正数的任何次幂都是正数． （２）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （３）０的任何正整数次幂都是０． （４）１的任何次幂都是１，－１的偶次幂是１，－１的 奇次幂是 －１． （５）１０的ｎ次幂等于１后面带ｎ个０的数． 例２　计算： （１）（－２）３；　（２）－４２；　（３）（－２３） ４． 解：（１）（－２）３ ＝（－２）×（－２）×（－２）＝－８． （２）－４２ ＝－（４×４）＝－１６． （３）（－２３） ４＝（２３） ４＝２３× ２ ３× ２ ３× ２ ３ ＝ １６ ８１． 书 在日常生活和生产 中，有些数的计算是不需 要十分准确的，只需大概 接近就可以了，这时就用 到了我们所学的近似数． 近似数的取值方法有三 种，在实际问题中要具体 问题具体分析． 一、四舍五入法 把一个数精确到某一 指定数位时，将该数位后 一位的小于或等于４的数 直接舍去，而大于或等于５ 的数舍去时，要在指定数 位上加１． 例１　将６．１３４７精确 到百分位是 （　　） Ａ．６．２　　 Ｂ．６．１３ Ｃ．６．１３４ Ｄ．６．１３０ 解析：因为６．１３４７精确到百分位，其后一位的数 字是４，故用四舍五入法精确到百分位的结果是６．１３． 故选Ｂ． 二、去尾法 把一个数精确到某一指定数位时，将该数位后的 数全部舍去，叫作去尾法，它只舍不入． 例２　小华用一根２５米长的红丝带包装礼盒，每 个礼盒要用１．５米长的红丝带，这些红丝带最多可以包 装几个礼盒？ 解析：２５÷１．５≈１６．６６７，用去尾法可知这些红丝 带最多可以包装１６个礼盒． 三、进一法 把一个数精确到某一指定数位时，将该数位后的 数全部舍去，而在指定的数位上加１，叫作进一法，它只 入不舍． 例３　某战士执行爆破任务时，点燃导火线后往 ７０米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为７米 ／秒， 若导火线的燃烧速度是０．１２１米 ／秒，则导火线的长度 至少为 米才能确保安全（精确到０．１米）． 解析：本题有两个时间，一是战士向７０米外的安全 地带奔跑的时间，二是导火线燃烧的时间，要保证安 全，必须使导火线燃烧的时间大于战士奔跑的时间，由 于战士奔跑到安全地带的时间为： ７０ ７ ＝１０（秒），也就 是说导火线的燃烧时间要超过１０秒，而１０×０．１２１＝ １．２１≈１．３．所以导火线的长度至少为１．３米才能确保 安全． 故填１．３． 点评：在实际问题中，经常对一些数位上的数进行 取舍，有的按要求进行四舍五入，有的则按生产及生活 实际进行取舍，切记不能遇到５及５以上的数就入，遇 到５以下的数就舍． !"#!"#$%& '()*!$%"#$%&'()*+,-." !"/012/3&4567&89":;<& ,=>?@*+AB1" +,-./C>DE$D&F(@GH8IJ1 K(@-.4LMN$D&@K(-." !"&!"0$1234 '()*OP>$D&QR-.@ST80U VMN$D&)QR-.% +,-.//0$D&QR -.W-.ST)>X,YZ [\)]D% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 56 789 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 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