第4期 2.2 有理数的乘法与除法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（青岛版2024）

书 上期２版 ２．１有理数的加法与减法 ２．１．１．１有理数的加法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．４． ５．（１）７；　（２）－７３；　（３）－８．３；　（４）１５６． ２．１．１．２有理数加法的运算律 基础训练　１．Ｂ；　２．－３． ３．（１）－４；　（２）１；　（３）－２． ４．（＋１０）＋（－１８）＋（＋２４）＋（－２０）＋（－５）＋ （－２２）＝［（＋１０）＋（＋２４）］＋［（－１８）＋（－２２）＋ （－２０）＋（－５）］＝３４＋（－６５）＝－３１（吨）． 答：这６天内冷库里的鲜肉减少了，减少了３１吨． ２．１．２．１有理数的减法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．－２３；　４．１． ５．（１）１８；　（２）－９．８；　（３）－２４５． ２．１．２．２有理数的加减混合运算 基础训练　１．３－４－５，正３、负４、负５的和，３减４减 ５；　２．２０． ３．（１）２２；　（２）－１０．８；　（３）－５． ４．（１）２２－３＋４－２－８＋１７－２－３＋１２＋７－５ ＝３９（ｋｍ）． 答：收工时车辆停在距Ａ地东３９ｋｍ处． （２）（｜＋２２｜＋｜－３｜＋｜＋４｜＋｜－２｜＋｜－８｜＋ ｜＋１７｜＋｜－２｜＋｜－３｜＋｜＋１２｜＋｜＋７｜＋｜－５｜）×０．２ ＝１７（升）． 答：从Ａ地出发到收工共耗油１７升． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 二、９．－７；　１０．－４；　１１．５；　１２．－６；　１３．－８； １４．４５或２３． 三、１５．（１）－５２；　（２）－７；　（３）５． １６．小明的计算结果为：０＋（－５）＋（－１２）－ ２ ３ －（－３）＝－３１６； 小宇的计算结果为：０－（－４）＋（－１４）－ ５ ３ ＋ （－５）＝－２１１１２． 因为 －３１６ ＜－２ １１ １２，所以游戏结束后由小明为同 学们表演节目． ! " 书 初学有理数的乘法和除法运算时，有些同学由于对 概念理解不透、法则掌握不牢、方法运用不当，计算时经 常会掉进一些“陷阱”．现总结有理数乘除运算中的几种 “陷阱”，望同学们在做题时可以避开 檪檪檪檪檪檪檪 檪檪檪檪檪檪檪 殏 殏殏 殏 ． 陷阱一、符号出错 例１　计算：（－７３）×（－ ２ ７）×（－ ３ ５）． 错解：原式＝－２３×（－ ３ ５） ＝ ２５． 剖析：出错原因是没有按有理数的乘法运算法则计 算，应先确定积的符号，再算积的绝对值． 正解：原式＝－（７３× ２ ７× ３ ５） ＝－２５． 点评：进行乘除法运算时，为了避免出现符号错误， 一定要先确定积的符号，然后再计算积的绝对值． 例２　计算：（－４）×（－６）－２×（－３）． 错解：原式＝２４－６ ＝１８． 剖析：出错原因是将数字２前面的“－”号既看作运算 符号，又看作性质符号，把运算符号和性质符号混淆了． 正解：原式＝２４－（－６） ＝２４＋６ ＝３０． 点评：在有理数运算中，数字前面的“－”号只能视 为性质符号和运算符号中的一种，不能既视为性质符 号，又视为运算符号 檪檪檪檪檪檪檪檪 檪檪檪檪檪檪檪檪 殏 殏殏 殏 ． 陷阱二、错用分配律 例３　计算：（－３）÷（－１４＋ １ ５）． 错解：原式＝（－３）÷（－１４）＋（－３）÷ １ ５ ＝１２－１５ ＝－３． 剖析：乘法有分配律，但除法没有分配律．出错原因 是误以为除法也有分配律． 正解：原式＝（－３）÷（－５２０＋ ４ ２０） ＝（－３）÷（－１２０） ＝３×２０ ＝６０． 点评：同学们一定要记住：只有乘法才有分配律，除 法没有分配律 檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪 殏 殏殏 殏 ． 陷阱三、运算顺序出错 例４　计算：（－５７）÷１ ２ ３×（－ ３ ５）． 错解：原式＝（－５７）÷［ ５ ３×（－ ３ ５）］ ＝（－５７）÷（－１） ＝ ５７． 剖析：出错原因是没有按从左到右的运算顺序进行 有理数的乘除混合运算． 正解：原式＝ ５７× ３ ５× ３ ５ ＝ ９３５． 点评：有理数的乘除混合运算，应严格按照从左到 右的顺序进行计算，或者先运用除法法则将除法统一成 乘法后，才可以使用乘法交换律和结合律． 书 近年各考试的命题中 出现了许多以有理数的乘 除为载体的创新型题，它们 背景新颖，精彩纷呈，令人 目不暇接．为帮助同学们熟 悉新题型，迎接新挑战，本 文分类举例加以浅析，供同 学们参考． 一、以“定义新运算” 为背景设置的乘除运算 例１　 对有理数 ａ，ｂ， 定义新运算 “※”如下： ａ※ｂ＝ａ（ａ＋ｂ），那么 １２※（－４）＝ ． 分析：本题主要考查知 识方法的类比迁移能力，关 键是读懂条件中提供的新 运算法则，然后按照法则进 行计算即可． 解：依据新运算法则，得１２※（－４）＝１２×［１２＋ （－４）］＝１２×８＝９６． 故填９６． 二、以“开放性问题”为背景设置的乘除运算 例２　在算式（－２．２５）÷２１４□（－ ３ ４）中的“□” 里，填入运算符号 ，使得算式的值最大（在符号 “＋”“－”“×”“÷”中选择一个）． 分析：要使得算式的值最大，需先对（－２．２５）÷ ２１４的运算结果的性质符号作出判断，再做出选择． 解：（－２．２５）÷２１４ ＝（－ ９ ４）÷ ９ ４ ＝－ ９ ４× ４ ９ ＝－１． 显然在 －１＋（－ ３４），－１－（－ ３ ４），－１× （－３４），－１÷（－ ３ ４）四种情形中，－１÷（－ ３ ４）的结 果最大，为 ４ ３． 故填 ÷． 书 招数一：先确定商的符 号，再计算商值 例 １　 计算 －３９÷ （－１３）的结果等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．２ Ｄ．－２ 分析：（１）先确定被除 数、除数的正负性，再根据 有理数除法法则（两数相 除，同号得正，异号得负） 确定商的正负性； （２）用被除数的绝对 值除以除数的绝对值，得到 商的绝对值； （３）符号与商的绝对 值的整体就是最终结果． 解：原式 ＝３９÷１３＝ ３． 故选Ａ． 金钥匙：熟记有理数除 法的运算法则是正确进行 运算的关键． 招数二：用倒数，变除法为乘法 例２　计算３÷（－１４）的结果是 （　　） Ａ．１２ Ｂ．－１２ Ｃ．－４３ Ｄ．－ １ １２ 分析：（１）先确定被除数、除数； （２）保证被除数不变，变除法运算为乘法运算，变 除数为除数的倒数； （３）按照有理数的乘法法则完成计算． 解：原式 ＝３×（－４）＝－１２． 故选Ｂ． 金钥匙：将除法变为乘法并求出除数的倒数是解题 的关键． 招数三：被除数为０，除数为非０数，商为０ 例３　计算０÷（－２００）的结果是 （　　） Ａ．０ Ｂ．２００ Ｃ．－２００ Ｄ．－ １２００ 分析：被除数为０，除数为非０数，根据法则可直接 得出商的值为０． 解：原式 ＝０． 故选Ａ． 金钥匙：熟记有理数除法的运算法则中特殊条件下 的计算是解题的关键． 书 在有理数的乘法运算中，有一个重要的运算律——— 分配律，用式子可表示为：ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ．在进行有 理数的计算时，若能正确、灵活地运用分配律，可以简化 有理数乘法运算的运算过程，提高运算的速度和准确 率，下面列举几例予以说明． 一、直接运用分配律计算 例１　计算：（２３－ １ １２－ １ １５）×（－６０）． 分析：可以直接把括号内的分数通分后进行乘法运 算，但计算过程比较繁琐．认真观察发现，６０是括号内各 分母的公倍数，因此可以利用分配律先去括号再计算． 解：原式＝２３×（－６０）－ １ １２×（－６０）－ １ １５×（－６０） ＝－４０＋５＋４ ＝－３１． 二、逆向运用分配律计算 例２　计算：０．７×１９４９＋２ ３ ４×（－１４）＋０．７× ５ ９＋ １ ４×（－１４）． 分析：含有０．７的项和 －１４的项各有两项，分别组 合，逆用分配律，即ａｂ＋ａｃ＝ａ（ｂ＋ｃ），可使计算简便． 解：原式 ＝（０．７×１９４９ ＋０．７× ５ ９）＋［２ ３ ４ × （－１４）＋１４×（－１４）］ ＝０．７×（１９４９＋ ５ ９）＋（－１４）×（２ ３ ４＋ １ ４） ＝０．７×２０＋（－１４）×３ ＝１４－４２＝－２８． 三、转化后运用分配律计算 例３　计算：１９１５１６×（－８）． 分析：本题直接相乘很繁琐，若将１９１５１６拆成２０－ １ １６，然后再运用分配律可简化运算过程． 解：原式＝（２０－１１６）×（－８） ＝２０×（－８）－１１６×（－８） ＝－１６０＋１２ ＝－１５９ １ ２． 书 一、说概念 如果两个有理数的乘积为１，我们称这两个有理数 互为倒数．如：２与 １２，－ ８ ７与 － ７ ８分别互为倒数． 注意：（１）０没有倒数． （２）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含 小数和分数． （３）互为倒数的两个数必须同号． 二、学求法 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，０没有倒 数．一般采用如下方法求倒数： 方法 举例 整数的 倒数 直接把整数（０除外） 作分母，分子是１． －４的倒数是 －１４． 真分数 的倒数 直接把分子与分母颠 倒位置． －３５的倒数是 － ５ ３． 带分数 的倒数 先把带分数化为假分 数，再把分子与分母 颠倒位置． 求７１３的倒数．７ １ ３ ＝ ２２ ３， ２２ ３的倒数是 ３ ２２，则７ １ ３的 倒数是 ３ ２２． 小数的 倒数 先把小数化为分数， 再把分子与分母颠倒 位置． 求０．５的倒数．０．５＝ １２， １ ２ 的倒数是 ２，则０．５的倒数 是２． 三、谈应用 例１　 －３的倒数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．１３ Ｃ．－１３ Ｄ．－３ 分析：根据倒数的定义：乘积是１的两个有理数互 为倒数，进而得出答案． 解：因为 －３×（－１３）＝１， 所以 －３的倒数是－１３． 故选Ｃ． 例２　 若 ａ，ｂ互为倒数，则 ｜ａｂ－８｜的值为 ． 分析：利用倒数的定义求得 ａｂ的值，再代入计算 即可． 解：因为ａ，ｂ互为倒数，所以ａｂ＝１． 所以｜ａｂ－８｜＝｜１－８｜＝｜－７｜＝７． 如果ａ与 －１０互为倒数，那么ａ的值是 （　　） Ａ．１０ Ｂ．－１０ Ｃ．１１０ Ｄ．－ １ １０ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"!!"#$%&'(& )*+,##"$%&'()*+,-./01 234,-" !"$%5()670128&'()5(" -./019:;,<&'(*. ),-=>?,-0 @A$% &'()*+BC,-" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 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Å_`abOc d e‡ú " Z-.1 fgÞhW iÒ)jk0 Ól£mn oߺpq0lE70YÀ r˜Fstu0 v&xw xyhWoÔfg3z) qªÂ{+mnoßW| )pqú 书 １７．（１）由题意，得３ （－５）＝｜３＋（－５）｜ －｜３－（－５）｜＝２－８ ＝－６． （２）因为｜ａ＋２｜＋ ｜ｂ－１｜＝０， 所以 ａ＋２＝０， ｂ－１＝０． 所以 ａ＝－２，ｂ＝ １． 所 以 ａ ｂ ＝ （－２）１＝｜－２＋１｜ －｜－２－１｜＝１－３ ＝－２． １８．（１）３４－（－３９） ＝７３（个）． 答：第一组 ８名女 生中最好成绩与最差成 绩相差７３个． （２）１４０＋（－２５＋ １７＋２３＋０－３９－１１＋ ９＋３４）÷８＝１４１（个）． 答：第一组８名女生 的平均成绩为１４１个． （３）（１７＋２３＋９＋ ３４）×２－（２５＋３９＋ １１）×１＝９１（分）． 因为９１＜１００，所 以第一组８名女生不能 获得该称号． 附加题　（１）由题 意得，点Ａ表示的数为： １０＋（－４）＝６，点Ｄ表 示的数为：－１＋０＝ －１． （２）因为点Ａ与点 Ｆ的距离为３，点Ａ表示 的数为６，所以当点Ｆ在 点Ａ的左侧时，点 Ｆ表 示的数为：６－３＝３，此 时点Ｅ表示的数为：３－ ２＝１，所以 ｘ＝１－ （－１）＝２； 当点Ｆ在点Ａ的右 侧时，点Ｆ表示的数为： ６＋３＝９，此时点 Ｅ表 示的数为：９－２＝７，所 以ｘ＝７－（－１）＝８． 综上所述，ｘ的值 为２或８． 书 ２．２有理数的乘法与除法 ２．２．１．１两个有理数相乘、倒数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．－５的倒数是 （　　） Ａ．１５ Ｂ．－ １ ５ Ｃ．－５ Ｄ．５ ２．计算（－２）×（－４）的结果等于 （　　） Ａ．８ Ｂ．－８ Ｃ．６ Ｄ．－６ ３．已知ａ是最大的负整数，ｂ是绝对值最小的有理 数，则ａｂ＝ ． ４．－３的相反数与 －０．６的倒数的积是 ． ５．计算： （１）７×（－６）； （２）（－１．２）×（－３）； （３）（－２２５）× ５ ２１； （４）（－１１３）×（－４ １ ２）． ２．２．１．２多个有理数相乘及运算律 １．下列运算结果是负数的是 （　　） Ａ．（－１）×２×３×（－４） Ｂ．５×（－３）×（－２）×（－６） Ｃ．－１１×５×６×０ Ｄ．５×（－６）×７×（－８） ２．观察算式（－４）×１７×（－２５）×１４，在解题过程 中，能使运算变简便的运算律是 （　　） Ａ．乘法交换律 Ｂ．乘法结合律 Ｃ．乘法交换律和乘法结合律 Ｄ．分配律 ３．计算： （１）（－４）×（－０．２５）×（－１２４）； （２）（－３３２）× ７ ３０×０×（－３２５）； （３）（－３）×（－５６）×（－ ４ ５）×（－ １ ４）． ４．用简便方法计算： （１）（－２）×（－７）×（－５）×（－１７）； （２）（－１１６－ １ ２４＋ １ ６）×（－４８）； （３）４９２４２５×（－５）． ２．２．２有理数的除法 １．计算（－４０）÷５的结果等于 （　　） Ａ．８ Ｂ．－８ Ｃ．３５ Ｄ．－３５ ２．在 －２，－３，０，４这四个数中，任选两个数相除， 所得的商最小是 ． ３．化简： （１）－１８９ ； （２） ４ －１２； （３） ０－５６； （４） －４９ －１４． ４．计算： （１）６０÷（－１２）； （２）（－３６）÷１３； （３）（－１．２５）÷（－０．５）； （４）（－８３）×（－ ５ ８）÷ １ ９； （５）（－０．７５）÷（－５４）÷（－ ３ １１）． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 已知ａ，ｂ，ｃ是有理数． （１）当ａ＞０时，则 ａ｜ａ｜＝ ；当ｂ＜０时， 则 ｂ ｜ｂ｜＝ ． （２）当ａ＋ｂ＋ｃ＝０，ａｂｃ＜０时，求ｂ＋ｃ｜ａ｜＋ ａ＋ｃ ｜ｂ｜＋ ａ＋ｂ ｜ｃ｜的值． （３）当ａｂｃ≠０时，求 ａ｜ａ｜＋ ｜ｂ｜ ｂ ＋ ｃ ｜ｃ｜的值 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．计算９×（－３）的结果是 （　　） Ａ．－３ Ｂ．６ Ｃ．２７ Ｄ．－２７ ２．算式（－５２）÷ ＝－３中的横线上应填 （　　） Ａ．－６５ Ｂ． ６ ５ Ｃ．－５６ Ｄ． ５ ６ ３．已知Ｍ＝（－１）×（－２）×（－３）×ａ，Ｎ＝（－２３） ×（－３４）×（－４５）．若ａ为负数，则Ｍ－Ｎ的值 （　　） Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断 ４．下列各组数中，互为倒数的是 （　　） Ａ．５和 －５ Ｂ．０．２５和 －１４ Ｃ．－２３和 － ３ ２ Ｄ．１００和０．００１ ５．某同学在计算－１６÷ａ时，误将“÷”看成“＋”，结 果是 －２４，则 －１６÷ａ的正确结果是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．４ Ｄ．－４ ６．下列计算正确的是 （　　） Ａ．－３０×３７－２０×（－ ３ ７）＝ １５０ ７ Ｂ．１６÷（－ １ １２）× １ ２０＝ ３ １０ Ｃ．（－７）÷（－４３）÷（－３５）＝－ ３ ２ Ｄ．－４５÷ ４ ５×（－ ８ ２７）＝－ ８ ２７ ７．若｜ｘ｜＝４，｜ｙ｜＝１２，且ｘｙ＜０，则 ｘ ｙ的值等于 （　　） Ａ．８ Ｂ．－８ Ｃ．４ Ｄ．－４ ８．现有两组数，第一组数为：１３，－ １ ４， １ ５；第二组 数为：２７，－４５，－１２．从这两组数中各任取一个数，将它 们相乘，那么所有乘积的总和是 （　　） Ａ．７２ Ｂ．－ ７ ２ Ｃ．１７２ Ｄ．－ １７ ２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．－１ ２７ 的倒数是 ，０．４的倒数是 ． １０．绝对值不大于４的整数的积是 ． １１．一般情况下，海拔每上升１千米，气温下降约 ６℃．已知一座山的海拔高度为 ２千米，如果小明在 山脚下测得的气温是５℃，那么小明乘缆车到山顶后 测得的气温约是 ℃． １２．被除数是 －３３４，除数比被除数大１ １ ２，则商是 ． １３．按如图所示程序计算，如果输入的数是 －２，那 么输出的数是 ． １４．若四个各不相等的整数ａ，ｂ，ｃ，ｄ的积ａ×ｂ×ｃ× ｄ＝２１，则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的值是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）计算： （１）（－１２）÷（－４）÷（－１１５）； （２）（－１．２５）×５４×（－８）÷（－ ３ ４）； （３）（－４１２）÷ ７ ２５×（－ ４ ３）×（－１ ２ ５）． １６．（１０分）用简便方法计算： （１）（－５）×（－３６７）＋（－７）×（－３ ６ ７）＋１２× （－３６７）； （２）（－２４６７）÷６． １７．（１０分）在１，－２，３，－４，－５中任取两个数相 乘，最大的积是ａ，最小的积是ｂ． （１）求ａｂ的值； （２）若｜ｘ－ａ｜＋｜ｙ＋ｂ｜＝０，求ｙ（－ｘ－ｙ）的值． １８．（１２分）小华在课外书中看到这样一道题： 计算： １ ３６÷（ １ ４＋ １ １２－ ７ １８－ １ ３６）＋（ １ ４＋ １ １２－ ７ １８ －１３６）÷ １ ３６． 她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这 两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地 解答了这道题． （１）前后两部分之间存在着什么关系？ （２）先计算哪部分比较简便？请计算比较简便的那 部分． （３）利用（１）中的关系，直接写出另一部分的结果． （４）根据以上分析，求出原式的结果                                                                                                                                                                 ． ! ! !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !"#$%&'() *+ ! ,-.+/ !"#$ %& !'01 &23 456789&,&: . ! ! !"#$ ;<=>?@ABCD1 " ( %&'( ! 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