第6期 2.4 有理数的乘方 2.5 有理数的混合运算（参考答案见8期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（北师大版2024）

书 !"#$%&'()!"#$'(*+!,-$ ./ ， 0123)4(566789:;< ， =>?@ ABC ， DEFG*HIBD$JKCLMNOP ． ! 、 "#$%&' ( １　 4( ：５３． '% ： QR ＝５×３＝１５． )* ： S%&$9:"FCL ，５３ TU$V ５×５× ５， AWV ５×３． +% ： QR ＝５×５×５＝１２５． ,- ： !"#$% ｎ &'()*+,+-. ，ａｎ $ +# ｎ & ａ '! ． . 、 /012$%&' ( ２　 X ５ ６× ５ ６× ５ ６× ５ ６× ５ ６YZ%&$[R． '% ： QR ＝５ ５ ６． )* ： C)\!]^_` ， ab^ ５５ ６c（ ５ ６） ５ $@ dW1 ， ５５ ６TU ５×５×５×５×５ ６ ，A（ ５ ６） ５ TU ５ ６ × ５ ６× ５ ６× ５ ６× ５ ６． +% ： QR ＝（５６） ５． ,- ： /0&'(+)*'!12!"+34 ， 5 6*#7*89*: ， ;<6*=>?>@A ． 3 、 4567&' ( ３　 efPgh'(ij$k` ： （１）（－８）７；　（２）（－９）１０；　（３）－（－６）８． '% ：（１）（３） $'(ijlm ；（２） $'(ij ln ． )* ：（１）（－８）７ ＝－８７；　（２）（－９）１０ ＝９１０； （３）－（－６）８ ＝－６８． +% ：（１）（３） $'(ijln ，（２） $'(ijl m ． ,- ： BC*+!"-.#D=BC*+!E-. FG+ ， HI.JKL ， MN6* ， ON$* ． 56*# P*: ， QRSP ； 56*# ０ : ， QRS ０； 56*#7 *: ， TN$* ， U$*#V* ， QRSP ， U$*#W * ， QRS7 ． 8 、 459:&' ( ４　 4( ：４×５２． '% ： QR ＝２０２ ＝４００． )* ： C)o(%p ， q(%& ． +% ： QR ＝４×２５＝１００． ,- ： HXBC*+YZ-.: ， ;[\-.]^ ： _!" ， T!` ， abcd ． 书 上期２版 ２．３有理数的乘除运算 ２．３．１．１两个有理数相乘、倒数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．０；　４．－５． ５．（１）－４２；　（２）３．６；　（３）－４７；　（４）６． 能力提高　６．因为ａ的相反数是２，所以ａ＝－２． 因为ｂ的绝对值是８，所以ｂ＝８或 －８．因为ａ＋ｂ＞０， 所以ｂ＝８．所以ａｂ＝－２×８＝－１６． ２．３．１．２多个有理数相乘及运算律 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ． ３．（１）－１２４；　（２）０；　（３）１２． ４．（１）１０；　（２）－３；　（３）－２４９４５． ２．３．２有理数的除法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．－２． ５．（１）－５；　（２）０；　（３）２５；　（４）２０５； （５）－１５． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ 二、９．－７９， ５ ２；　１０．０；　１１．－７；　１２． ５ ３； １３．－１６２；　１４．４或 －４． 三、１５．（１）－５２；　（２）－ ５０ ３；　（３）－３０． １６．（１）０；　（２）－４１７． １７．（１）由题意，得ａ＝（－４）×（－５）＝２０，ｂ＝ ３×（－５）＝－１５．所以ａｂ＝２０×（－１５）＝－３００． （２）由题意，得｜ｘ－２０｜＋｜ｙ－１５｜＝０．所以ｘ－ ２０＝０，ｙ－１５＝０．所以ｘ＝２０，ｙ＝１５．所以ｙ（－ｘ－ ｙ）＝１５×（－２０－１５）＝１５×（－３５）＝－５２５． １８．（１）前后两部分互为倒数． （２）先计算后一部分比较简便，计算过程如下： （ １ ４＋ １ １２－ ７ １８－ １ ３６）÷ １ ３６＝（ １ ４＋ １ １２－ ７ １８－ １ ３６） ×３６＝９＋３－１４－１＝－３． （３）因为前后两部分互为倒数，所以 １３６÷（ １ ４ ＋ １ １２－ ７ １８－ １ ３６）＝－ １ ３． （４）根据以上分析，可知原式 ＝－１３ ＋（－３）＝ －３１３． 附加题　１．（１）－１４× １ ５ ＝－ １ ４＋ １ ５，－ １ ５× １ ６ ＝－ １ ５＋ １ ６． （２）原式＝－１＋１２－ １ ２＋ １ ３－ １ ３＋ １ ４－… － １ ２０２３＋ １ ２０２４－ １ ２０２４＋ １ ２０２５＝－１＋ １ ２０２５＝－ ２０２４ ２０２５． ２．（１）１，－１． （２）因为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，ａｂｃ＜０，所以三个数中必 须有两个正数，一个负数，ｂ＋ｃ＝－ａ，ａ＋ｃ＝－ｂ，ａ＋ｂ ＝－ｃ．可设ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＜０．所以原式 ＝－ａａ ＋ －ｂ ｂ ＋－ｃ－ｃ＝－１－１＋１＝－１． （３）分四种情况讨论： ①当ａ，ｂ，ｃ三个数都大于０时，原式 ＝１＋１＋１＝ ３； ②当ａ，ｂ，ｃ三个数都小于０时，原式 ＝－１－１－１ ＝－３； ③当ａ，ｂ，ｃ中的一个数大于０，两个数小于０时，原 式 ＝１－１－１＝－１； ④当ａ，ｂ，ｃ中的两个数大于０，一个数小于０时，原 式 ＝１＋１－１＝１． 综上所述， ａ ｜ａ｜＋ ｜ｂ｜ ｂ ＋ ｃ ｜ｃ｜的值为３或 －３或１ 或 －１． 书 科学记数法是一种表示 数的重要方法，也是中考的 热点之一，常用来表示实际 生活中一些读、写都比较困 难的大数．现归纳几种常考 题型供同学们学习． 题型一：确定 ａ×１０ｎ中 ａ，ｎ的值 例１　“长征是宣言书， 长征是宣传队，长征是播种 机”．二万五千里长征是中国 历史上的伟大壮举，也是人 类史上的奇迹．将２５０００用 科学记数法可表示为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０．２５×１０６ Ｂ．２．５×１０５ Ｃ．２．５×１０４ Ｄ．２５×１０３ 解析：一个大于１０的数 可以用科学记数法表示为ａ×１０ｎ的形式（其中ａ大于 或等于１且小于１０，ｎ是正整数），也就是说ａ是整数位 只有一位的数，ｎ的值为这个数的整数位数减去１．将 ２５０００用科学记数法表示时，ａ应取２．５，而它的整数位 数是５，所以ｎ＝５－１＝４．所以２５０００＝２．５×１０４．故 选Ｃ． 题型二：恢复原数 例２　据教育部消息，目前我国已建成世界上规模 最大的职业教育体系，共有职业学校１．１２×１０４所，在 校生超过２．９１５×１０７人，则２．９１５×１０７表示的原数为 （　　） Ａ．２９１５００ Ｂ．２９１５０００ Ｃ．２９１５００００ Ｄ．２９１５０００００ 解析：因为２．９１５×１０７中１０的指数是７，所以还原 后的数的整数位数为：７＋１＝８．所以２．９１５×１０７的原 数是２９１５００００．故选Ｃ． 题型三：单位的换算 例３　大米是我国居民最重要的主食之一，与此同 时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年 稳定在２亿吨以上．将２亿用科学记数法表示为 （　　） Ａ．２×１０９ Ｂ．２×１０８ Ｃ．０．２×１０８ Ｄ．２×１０７ 解析：将一个含有数值单位的数用科学记数法表 示时，应将数值单位进行转换，即可确定其整数位数． ２亿 ＝２００００００００＝２×１０８．故选Ｂ． 书 一、关注运算顺序 有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最 后算加减；如果有括号，先算括号里面的．准确把握运算 顺序是正确进行有理数运算的关键． 例１　计算：（－１）×（－４）＋２２÷（７－５）． 分析：根据有理数混合运算的顺序，先算括号里面 的，再算乘方、乘除，最后算加减即可． 解：原式 ＝４＋４÷２＝４＋２＝６． 二、关注符号 在有理数的混合运算中，出现符号错误是最常见 的．为了避免符号方面的错误，应注意把握算式中的 “－”号是运算符号，还是性质符号，并结合具体情况进 行区分，养成先确定符号，再算绝对值的好习惯． 例２　计算：－（－３）２＋（－１）３÷（－１４） ２－（－１０）． 分析：－（－３）２前面的“－”号表示（－３）２的相反 数，（－３）２，（－１４） ２是负数的偶次幂，结果均为正． （－１）３是负数的奇次幂，结果为负．－（－１０）可理解为 减去 －１０，结果为正． 解：原式 ＝－９＋（－１）×１６＋１０＝－９－１６＋１０＝ －１５． 三、关注转化 在有理数的混合运算 中，注意把除法转化为乘法， 减法转化为加法，带分数转化 为假分数，小数转化为分数． 例 ３　 计 算：－４ × （－１１２）÷（－１．５）－（－３ ２）． 分析：算式中含有带分数和小数，首先应将带分数 化为假分数，小数化为分数，再将除法化为乘法，减法化 为加法． 解：原式 ＝－４×（－３２）÷（－ ３ ２）－（－９）＝－４ ×（－３２）×（－ ２ ３）＋９＝－４＋９＝５． 四、关注运算律 在有理数的混合运算中，对于比较复杂的计算题， 应注意观察是否可使用运算律来简化运算过程，提高解 题效率． 例４　计算：－３２×（－１２） ３－（３４＋ １ ６－ ３ ８）÷ （－１２４）． 分析：算式可看作两部分的差，其中第一部分可先算 两数的乘方，然后算乘法，第二部分可将除法转化为乘法 后，然后运用乘法分配律计算，最后计算两部分的差即 可．要求熟练掌握混合运算的运算顺序和运算法则． 解：原式 ＝－９×（－１８）－（ ３ ４ ＋ １ ６ － ３ ８）× （－２４）＝ ９８－（－１８－４＋９）＝ ９ ８－（－１３）＝ ９ ８＋ １３＝１４１８． 书 与有理数的加、减、乘、除运算相比，乘方是一种全 新的运算，同学们对它的理解和掌握相对困难一些．学 习时，在正确理解乘方意义的基础上，还要注意以下两 方面的问题． 一、注意正确书写乘方 １．在ａｎ中，指数ｎ要写在底数 ａ的右上角，且要比 ａ小． ２．底数和指数不能随意交换位置，如２３表示３个２ 相乘，其结果是８，而３２表示２个３相乘，其结果是９，因 此２３≠３２． ３．指数是１表示只有１个因数，如６１＝６，所以指数 １通常省略不写． ４．当底数是负数或分数时，书写时一定要把整个负 数或分数用小括号括起来，如（－３）２不能写成 －３２，因 为（－３）２＝３２，而 －３２表示３２的相反数．同样（２３） ３不 能写成 ２３ ３． 例１　填空：式子（－７）３表示 ，其中底数 是 ，指数是 ，读作 ． 解：３个 －７相乘，－７，３，－７的３次方． 二、注意正确进行乘方运算 有理数的乘方运算与有理数的加、减、乘、除运算一 样，也是先确定幂的符号，再计算幂的绝对值． 根据有理数的乘法法则，易知： （１）正数的任何次幂都是正数． （２）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （３）０的任何正整数次幂都是０． （４）１的任何次幂都是１，－１的偶次幂是１，－１的 奇次幂是 －１． （５）１０的ｎ次幂等于１后面带ｎ个０的数． 例２　计算： （１）（－２）３；　（２）－４２；　（３）（－２３） ４． 解：（１）（－２）３ ＝（－２）×（－２）×（－２）＝－８． （２）－４２ ＝－（４×４）＝－１６． （３）（－２３） ４＝（２３） ４＝２３× ２ ３× ２ ３× ２ ３ ＝ １６ ８１． ! " #"$ ! !"!#%$&%' !"#$%&'" ()*+,-'. (! !"#$ " !&#!"#$%& '()*+'&!"#$%&'()*+,-& !&./01.2%3456%& ,-./+!&/78#$%9:;<-& !&/<-01.2%345(%(=%" !&(!0#$1234 '(5*+/>?<-@78A$%9BC, -& ,-./+ DE78A$%9 BC,-" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 67 89: !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " ;7 <=> " ? @ A B C ! ! !"#$ DEF'GHIJKLMN ! O #PQRSRT & #UZ[\T #]^_`a+")('*(!+'!(% #PQbc+;7defghijklm ')!nF0QoDEF']^_ #pq]r+")"""% #gs_tQuv+")('#(!+''!( ")('#(!+'!)+wxyz #t{+|}PQgs_c~€‚ƒp„w…z #pqt{uv+'''$( #†‡ˆ‰tŠ‹tŒt #PQŽ€‚gzM‘’“”Q #•–—˜™†šn+'#""""#"""''" #•–_`a+")('#(!+'!(( #PQ›œž&xŸ ¡!¢£¤¥¦§[Kj¨©ª«¬­®¯ '' nz° ±²! ³´µ¶·±|}PQ§s_c~¸¹ ;7IºJ'»¼ ;7IJ‘½­®xŸ¾¿ ;7IJÀÁ—˜!¢£¤»Â F0Qo]^\T oÃ+ÄÅÆ ÇÈÉÊË\TÌn+,-'#*"+"+.w/z pÍÎn+!'*#) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! F0Q $%!#&$%!('L ÏF'ÐHIJKLMÑ NÉ'V]^ÒÓ N'V '&'FGH 9IJKLM'&!&'NOP QR N!V '&!&!STU VWJM'&!&)XYU;Z [\J9L]M^T_` aPbc N)V !&'deA $% N#V !&!A$% 9fg,- N(V !&)#$% 9:h,- N%V !&##$% 9:;M!&(#$%9B C,- N+V ^i_`a Pbc N$V )&'j%k N0V )&!lk9 fgM)&)mnPopq rM $stuvwxyz { N'"V |Y_` aPbc N''V }H`a N'!V #&'~€ ~€‚~ N')V #&!ƒ„#&) …†L+‡(ˆ‰de N'#V ^Š_` aPbc N'(V (&'de; ‹M(&!TŒT;‹9 u3 N'%V (&)TŒT ;‹9Ž?„$stu vxy‚‘’ N'+V ^“_` aPbc N'$V %&'”•9 %–—˜„%&!%–9™ š„%&)%–9o5„^› _`aPbc N'01!%V `aœ  "#$% %&'()*+, 书 !" “２４ # ” $%&'()*+,-./012 345,/67 ， '(89:;<=>?, ． @A ， 0BCD ２，３，７，９， EFG-BCDHI1 CJK ， &LMNO ２４． PQ ， 9!(RS*HI<= ６ CJK ： ①３×８>34：３×［（９＋７）÷２］＝２４； ②２×１２>34：２×（３×７－９）＝２４； ③４８÷２>34：［（９＋７）×３］÷２＝２４； ④１５＋９>34：（７－２）×３＋９＝２４T２３＋７＋ ９＝２４； ⑤３÷１８>34：３÷［２÷（９＋７）］＝２４； ⑥ ３２×１６>34：３÷２×（９＋７）＝２４． UVW/ ， X0YZ>34 ， [9!(\] ． ^_P@ ： EFG ２，３，６，９ BCDHI1CJK ， &LMNO ２４． `a>9!( ， bPb ， cd1eHIfCJK ？ HIgh;i<JK ， ;;jH>kl ． （１） mnopq 、 r 、 s 、 tBuvJ ， u0i<JK ： ３×８ >34 ：①（９÷３）×（６＋２）＝２４； ４×６ >34 ：②（９－２－３）×６＝２４； ③（６－２）×（９－３）＝２４； ２×１２ T １２＋１２ >34 ：④２×（９＋６－３）＝２４； ⑤２×６＋３＋９＝２４； ２７－３ >34 ：⑥６×９÷２－３＝２４； ⑦９×３－６÷２＝２４； ７２÷３ >34 ：⑧［９×（２＋６）］÷３＝２４． X0wCxyz{|>,} ： （－４）×（－６） >34 ：①（２－６）×（３－９）＝２４； ２７－３ >34 ：②９÷（２÷６）－３＝２４； ９×８３>34：③９×（３－２÷６）＝２４； ④９×［（６＋２）÷３］＝２４； ８÷１３>34：⑤（６＋２）÷（３÷９）＝２４； ９÷３８>34：⑥９÷［３÷（２＋６）］＝２４． （２） m~iops6 ， u0 ３２＋６＋９＝２４，２３× （９－６）＝２４，６２－（３＋９）＝２４． ;i€>34‚ ， 9!(ƒ„0…†‡ˆ ？ ‰+.Š>‹/ ， ƒ„eŒHI1CJKˆ ？ Ž€ ，  “２４ # ” $% ， ‘ƒ’…!>0“Dv Jop”*•– ， —ƒ0˜™š›'(>œJe 、 ž Ÿ!D!> ¡ 、 ¢£¤>¥ ¦ ． 9!(~i§¨©ª«P ¬ ！ " RÔ ÕÖ× " Ø6 Ù Ú ) *+ ÄÅÆ , ) *+ ÛAÜ , ( - 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