第1期 1.1 生活中的立体图形 1.2.1 展开与折叠（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（北师大版2024）

书 在正方体的表面展开图中，寻找正方体中的相对面 是考试的热点问题，只要同学们深入研究正方体的各种 表面展开图，便可归纳出寻找相对面的决窍． 决窍一、“目”字相间是对面 正方体的展开图中，位于“目”字两端的两个面是相 对面，即位于同一行（或同一列），且中间隔一个正方形 的两个面是相对面．如图１中的面Ａ和面Ｂ是相对面． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２４盐城大丰区模拟）为了发扬“中国航天 精神”，每年的４月２４日设立为“中国航天日”．正方体的 每个面上都有一个汉字，如图２，是它的一种表面展开 图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的 汉字是 （　　） Ａ．航 Ｂ．天 Ｃ．精 Ｄ．神 解：根据“‘目’字相间是对面”，得与“国”字所在面 相对的面上的汉字是“天”．故选Ｂ． 决窍二、“Ｚ”字两端是对面 如果正方体的表面展开图中有“Ｚ”字，那么“Ｚ”字 两端的两个面是相对面．如图３，图４，图５中的面Ａ和面 Ｂ是相对面． 例２　（２０２３宜昌）“争创全国文明典范城市，让文 明成为宜昌人民的内在气质和城市的 亮丽名片”．如图６，是一个正方体的 平面展开图，把展开图折叠成正方体 后，“城”字对面的字是 （　　） Ａ．文 　　Ｂ．明 Ｃ．典 　　Ｄ．范 解：根据“‘Ｚ’字两端是对面”，得“城”字对面的字 是“明”．故选Ｂ． 牛刀小试 １．如图７，是一个正方体的表 面展开图，则在原正方体上，与 “的”字所在面相对的面上的汉字 是 （　　） Ａ．我 Ｂ．和 Ｃ．国 Ｄ．祖 ２．（２０２３巴中）某同学学习了正方体的表面展开图 后，在如图８所示的正方体的表面展开图上写下了“传承 红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是 （　　） Ａ．传 Ｂ．承 Ｃ．文 Ｄ．化 ３．（２０２４长春朝阳区一模）如图９，将一个正方体的 表面展开图的每个面都标注了序号．若正方体的底面是 面⑥，则正方体的上面是 （　　） Ａ．面① Ｂ．面② Ｃ．面③ Ｄ．面⑤ 书 一部曲：理解概念 １．点：对于点，我们 在纸上画一个点就代表 一个点，有时在地图上把 一个城市看成一个点． ２．线：线有直线与曲 线之分，如一束光线，可 以想象成直线，一张圆桌 的边可以想象成曲线． ３．面：面有平面和曲 面之分，如桌面可以形象 看成一个平面，皮球的表 面可以想象为一个曲面． 面是从实际物体中抽象 出来的图形． ４．体：体是由面围成 的，面与面相交成线，线 与线相交成点． 二部曲：了解关系 １．点动成线：如：将 石子看作一个点，扔一块 石子，石子在空中飞行的路线就形成一条线． ２．线动成面：如：将电扇叶片看作线，快速转动的 电扇叶片看起来就形成一个面． ３．面动成体：如：旋转一个长方形，长方形在空中 运动的痕迹就形成一个圆柱． 三部曲：解题应用 例　（２０２４西安临潼区一模）如图，三角形ＡＢＣ绕 ＢＣ旋转一周得到的几何体为 （　　） 解：图中的ＡＣ绕ＢＣ旋转一周后，形成一个圆锥； ＡＢ绕ＢＣ旋转一周后，形成一个圆锥．因此三角形ＡＢＣ 绕ＢＣ旋转一周后，得到的几何体是两个圆锥的组合 体． 故选Ｃ． 点评：本题考查了面与体的关系，可通过现察，确 定对应关系，也可实际操作旋转一下，从而确定旋转后 得到的立体图形． !"!!"#$%&'( )*+,-!"!"#$%&'()*+,-./ 012345" #"607898:8*;<3=>" ./01-!"?@AB*CDEFGH" #"IJ7898K3LM'(AB*3NO" !"#2%&'(345'( !"#"!6789: )*+,- IJ@P*+,3QRSTU-6 0P*+,3QR+" ./01- IJQRVT UP*+,-WQX<YZ! $ % & ' ! " # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 书 遨游在丰富的图形世界 里，一定体会到了学习数学 的无穷乐趣，同时也会眼花 缭乱，从而造成错解，现在让 我们一起挑战一下吧！ 一、面的个数模糊不清 例１　下列几何体中，面 的个数最少的为 （　　） 错解：Ｄ． 剖析：四棱柱有６个面， 圆锥有２个面，三棱柱有５个 面，圆柱有３个面． 正解：Ｂ． 二、表面积难以计算 例２　如图１，由２７个棱长为１ 的小正方体拼成一个大正方体，从 中取出一个小正方体（其他正方体 位置不变），剩下的立体图形表面积 最大的取法为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．取走① Ｂ．取走② Ｃ．取走③ 　　Ｄ．取走④ 错解：Ｂ． 剖析：取走①或③，剩下的立体图形表面积不变； 取走②，剩下的立体图形表面积增大２；取走 ④，剩下 的立体图形表面积增大４． 正解：Ｄ． 三、翻转问题无从下手 例３　（２０２４正阳一模）如图２－①，是一个正方体 表面的展开图，将对应的正方体从如图２－②所示的位 置依次翻过第１格、第２格，到第３格时，正方体朝上一 面上的字是 （　　） Ａ．精 Ｂ．彩 Ｃ．亚 Ｄ．运 错解：Ａ． 剖析：根据正方体表面的展开图，得“亚”与“彩” 是相对面，“运”与“真”是相对面，“会”与“精”是相对 面．所以将对应的正方体从如图２－②所示的位置依次 翻过第１格、第２格，到第３格时，正方体朝上一面上的 字是“彩”． 正解：Ｂ． 四、表面展开图掌握不牢 例４　现有①②③④四种型号的铁皮，铁皮的形 状与相关尺寸（单位：ｄｍ）如图３所示．从中选两种，正 好可以制成一个无盖圆柱形水桶（不计接头），则所选 的这两种铁皮的型号是 （　　） Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④ 错解：Ａ． 剖析：③的周长为２π，④的周长为４π．所以用 ② 作圆柱形水桶的侧面，③作底面，即可围成底面直径为 ２，高为４的无盖圆柱形水桶． 正解：Ｃ． $ % & ' ! " # $ ! ! (! # #! ) # ) ! " # $ ! ( [ \]L ^ ! # _ [ L ] ( # ! "# %& 书 正方体的六个面都是正方形，所以正方体的展开图 是由六个正方形组成的．按照不同的剪裁方式展开会得 到不同的展开图，可以分为以下的四类，共１１种． 第一类：有６种，其特点是有４个连成一排的正方 形，其两侧各有１个正方形，如图１，可简称为“一四一” 型． 第二类：有３种，其特点是有３个连成一排的正方 形，其两侧分别有１个和２个相连的正方形，如图２，可简 称为“一三二”型． 第三类：有１种，其特点是有３行，每行有２个连成一 排的正方形，如图３，可简称为“三个二”型． 第四类：有１种，其特点是有２行，每行有３个连成一 排的正方形，如图４，可简称为“二个三”型． 由展开图可以看出，在正方体的展开图中不会出现 如图５所示的“凹”字型和“田”字型结构． 为了方便记忆，可归纳为如下口诀： “一四一”“一三二”，“一”在哪列可随意， “三（个）二”成阶梯，“二（个）三”日状连， 异层必有“日”，“田”“凹”应弃之． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２４张家口万全区一模）分 割并裁剪硬纸板得到如图６所示的几个 边长都相同的小正方形，若再剪去一个小 正方形，便可折成一个正方体，剪掉的小 正方形不可能是 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 解：剪掉小正方形①②④，都能折成一个正方体；剪 掉小正方形③，不能折成一个正方体．故选Ｃ． 例２　（２０２４东安一模）如图７，是由５个小正方形连 接而成的图形，它需再添加一个小正方形，折叠后才能 围成一个正方体．图中的黑色小正方形分别由四位同学 补画，其中正确的是 （　　） 解：选项Ａ的图形包含“凹”字型，无法围成一个正 方体；选项Ｂ的图形包含“田”字型，无法围成一个正方 体；选项Ｃ的图形无法围成一个封闭图形；选项Ｄ的图形 是正方体展开图中的“一四一”型．故选Ｄ． " ;< =>4 " ?@ ABC # ! ! ! `V` 3 ! * a b !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '& %& (& )& ! + ! " $ % & ' ! ( ! ) ! , ! ! & cdb _ ! # e f gh i j ! + k l mno f ! - p "# $#%#&# '# ! . (# # ! ! ( # ! ! ) ! # ! , 书 我们生活在丰富多彩的三维世界中，周围存在着许 多规则的和不规则的物体，而规则的立体图形是我们进 一步学习和研究的对象．让我们一起畅游立体图形的王 国，探索其中的奥秘吧！ 一、从实物到几何图形 例１　在下面四个物体中，最接近圆柱的是（　　） 解析：圆柱的形状如图１所示．选项Ａ中的烟囱上下 粗细不同，不是圆柱．和图 １对照，可以看出，圆柱是 “直”的，与选项Ｂ中弯管有明显区别．选项Ｄ中的饮料 瓶的瓶盖确实可以看作是圆柱，但它在该物体中只占很 小的一部分，该物体从整体上讲更接近于棱柱． 故选Ｃ． 二、几何体的识别 例２　（２０２４广州海珠区一模）下列几何体中，是圆 锥的为 （　　） 解析：选项Ａ中的几何体是长方体；选项Ｂ中的几何 体是圆锥；选项Ｃ中的几何体是三棱柱；选项Ｄ中的几何 体是圆柱． 故选Ｂ． 三、几何体的分类 例３　请将图２的６个几何体进行分类． 解析：将几何体分类，方法并不惟一，只要能说明分 类的理由即可．但要注意：按某一标准分类时，要做到不 重不漏．分类标准不同时，分类的结果也就不尽相同．本 题可以按照柱体、锥体、球体来分，也可以按照围成几何 体的面的个数与特征来分等． 下面介绍６种分类方法： （１）按照柱体、锥体、球体来分类：①②④⑥ 是柱 体；③是锥体；⑤是球体． （２）按照面的平曲来分类：①④⑥围成几何体的面 都是平面；②③⑤围成几何体的面中有曲面． （３）按照面的个数的奇偶性来分类：①③④围成几 何体的面的个数是偶数；②⑤⑥围成几何体的面的个数 是奇数． （４）按照有无顶点来分类：①③④⑥都是有顶点的 几何体；②⑤都是无顶点的几何体． （５）按照底面的个数来分类：①②④⑥都是有两个 底面的几何体；③是只有一个底面的几何体；⑤ 是没有 底面的几何体． （６）按照有无棱来分类：①④⑥ 都是有棱的几何 体；②③⑤都是无棱的几何体． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " #! !"!"" $"% ! #/#)&*'#( ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+, D#E)FGHIJKLM ! 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" # $ * + $ % & ' ˆ‰ Š‹ Œ Ž‘’ $ % & ' ! # " & G ' å å " ( ) * + , 书 １．１生活中的立体图形 １．１．１认识立体图形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，是一个足球，该物体对 应的几何体是 （　　） Ａ．长方体 　　　Ｂ．圆柱 Ｃ．球 　　　Ｄ．圆锥 ２．（２０２３蒲城期中）下列几何体 中，有９条棱的是 （　　） Ａ．三棱柱 Ｂ．四棱柱 Ｃ．五棱柱 Ｄ．六棱柱 ３．（２０２４遵义汇川区一模）如图２，有一定厚度的 墙面上有一个圆形的通风口，下列几何体不能堵住这 个通风口的是 （　　） ４．（２０２３淄博淄川区期中）若一个正方体所有棱长 的和是３６，则它的体积是 ． ５．如图３，将图中的几何体按要求进行分类． （１）按照柱体、锥体、球体划分； （２）按照面的个数的奇偶划分． 能力提高 ６．（２０２３镇江京口区一模）一只小 蚂蚁从如图４所示的正方体的顶点Ａ沿 着棱爬向有蜜糖的点 Ｂ，它只能经过三 条棱，则小蚂蚁有 种爬行路 线． １．１．２点、线、面、体 １．（２０２３唐县期末）“力箭一号”（ＺＫ－１Ａ）运载火 箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功 将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成 功．把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹 体现了 （　　） Ａ．点动成线 Ｂ．线动成面 Ｃ．面动成体 Ｄ．面与面相交成线 ２．如图１，两个几何体的曲面个数的和是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ３．如图２的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何 体是 （　　） ４．（２０２３莱州期中）如图３，小军和小红分别以直 角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个 立体图形． （１）你同意 的说法； （２）求甲、乙两个立体图形的体积差（Ｖ圆柱 ＝πｒ ２ｈ， Ｖ圆锥 ＝ １ ３πｒ ２ｈ）． １．２从立体图形到平面图形 １．２．１展开与折叠（正方体） １．（２０２４盂县二模）下列图形为正方体展开图的是 （　　） ２．（２０２４梅州模拟）如图１，是一个正方体六个面 的展开图，则文字“当”在原正方体中所对面的文字是 （　　） Ａ．有 Ｂ．理 Ｃ．想 Ｄ．能 ３．（２０２３老河口期末）如图２，是正方体的表面展 开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值 是 ． ４．（２０２３赣州期末）创新作图：如图３，在无阴影的 方格中选出两个涂上阴影，使它们与图中四个有阴影 的正方形一起可以构成正方体表面的展开图（填出两 种互相不同的答案）． ５．（２０２３清徐期末）如图４，是一个正方体纸盒，它 的三个面分别有图案“●”“”和“”，将其表面展 开后得到图５．请将图案“”补画在图５中的适当位 置，使“”在“”相对的面上． 能力提高 ６．（２０２４河北一模）如图６，是一 个正方体茶盒的表面展开图，将其折 叠成正方体后，与顶点Ｋ重合的顶点 是 （　　） Ａ．点Ａ Ｂ．点Ｂ Ｃ．点Ｃ Ｄ．点Ｄ １．２．１展开与折叠（棱柱、圆柱、圆锥） １．（２０２４汉中汉台区一模）如图１，斗 笠，又名箬笠，即以竹皮编织的用来遮光 遮雨的帽子，可以看作一个圆锥，下列平 面展开图中能围成一个圆锥的是 （　　） ２．（２０２４石阡模拟）一个立体图形的侧面展开图如 图２所示，则该立体图形的底面形状是 （　　） ３．如图３，是一个长方体的展开图，与　相对的是 （　　） ４．（２０２３乐平开学）如图４，李叔叔要做一个无盖 的圆柱形水桶，底面直径是４ｄｍ，高是５ｄｍ． （１）做这个水桶至少需要多少铁皮（结果保留π）？ （２）做好水桶后，往里面装入３ｄｍ深的水，水桶中 的水重多少千克（１ｄｍ３水重１ｋｇ，结果保留 π，水桶的 厚度忽略不计）？ ５．（２０２３泰州姜堰区期末）老师让同学们用若干个 正方形和长方形拼成一个长方体的展开图（如图５）．拼 完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题． （１）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有 多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原 图中补全． （２）长方体共有 条棱，若将一个长方体沿 某些棱剪开展成（１）中修正后的平面图形，需要剪开 条棱． （３）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠 而成的长方体的体积． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３乐山）下面几何体中，是圆柱的为 （　　） ２．（２０２３保定莲池区月考）时钟秒针转动时扫过的 痕迹，这说明 （　　） Ａ．点动成线 Ｂ．线动成面 Ｃ．面动成体 Ｄ．线与线相交成点 ３．（２０２３安顺期末）如图１，下列几何体中，含有曲 面的是 （　　） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④ ４．（２０２４周至三模）如图２，是一个正方体的平面展 开图，则原正方体中，与“冷”字所在面相对面上的字是 （　　） Ａ．仔 Ｂ．细 Ｃ．沉 Ｄ．着 ５．（２０２３成都期末）２０２３年７月２８日，第３１届世界 大学生夏季运动会开幕式在成都东安湖体育公园举行． 东安湖体育公园主场馆以独特的几何造型及现代化的 设计引起了人们的关注，东安湖体育公园主场馆形状可 以近似看成如图３的几何体．下列图形绕虚线旋转一 周，能形成该几何体的是 （　　） ６．（２０２４肇源开学）下列说法不正确的是 （　　） Ａ．长方体是四棱柱 Ｂ．八棱柱有８个面 Ｃ．六棱柱有１２个顶点 Ｄ．经过棱柱的每个顶点有３条棱 ７．下列图形中，经过折叠不能围成棱柱的是（　　） ８．（２０２３林州期末）如图４，该正方体的展开图是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．在几何图形正方形、长方体、圆、球、圆锥中，有 个立体图形． １０．（２０２３沈阳辽中区期末）如图５，这个立体图形 是由 个面组成的，其中有 个面是平 的，有 个面是曲的． １１．（２０２３高碑店期末）如图６，是一个几何体的展 开图，该几何体的名称是 ，有 个顶点． １２．一个棱柱有８个面，它的底面边长都是４ｃｍ，侧 棱长为 ３ｃｍ，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是 ｃｍ２． １３．若在一张长方形纸片中按照如图７所示的方法 剪裁后制作一个底面面积为４ｃｍ２的正方体，正方体展 开图的边可以与长方形纸片的边重合，则该长方形纸片 的面积最小为 ｃｍ２． １４．（２０２４北京大兴区模拟）如图８，长为６ｃｍ，宽为 ４ｃｍ的长方形是一个圆柱的侧面展开图，则该圆柱的体 积为 ｃｍ３（结果保留π）． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（８分）如图９． （１）请写出这些几何体的名称； （２）将这些几何体进行分类，并说明理由． １６．（２０２３咸阳秦都区期中，１０分）小明利用星期天 制作了一个底面边长都为４ｃｍ，侧棱长为１６ｃｍ的五棱 柱形的无盖笔筒． （１）这个五棱柱笔筒的外部共有几个面？几条棱？ （２）制作这个笔筒的侧面至少需要多少平方厘米 的材料？ １７．（１２分）图１０－①，为一个正方体，图１０－②为 图１０－① 的表面展开图（数字和字母都写在外表面 上）． （１）如果正方体相对两个面上的数字之和相等，则 ｘ＝ ，ｙ＝ ； （２）如果面“２”在右面，面“４”在后面，则面 在上面（填数字）； （３）如图１０－①，Ｍ，Ｎ为所在棱的中点，试在图１０ －②中标出点Ｍ，Ｎ的位置． １８．（１４分）【问题情境】某综合实践小组开展了“长 方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（１）综合实践小组利用边长为３０ｃｍ的 正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子． ①图１１方式制作一个无盖的长方体盒子的方法： 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为８ｃｍ的小正方 形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面周长为 ｃｍ； ②图１２方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法： 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为５ｃｍ的小正方 形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，求 该长方体纸盒的体积． 【问题进阶】（２）若一个无盖长方体的长、宽、高分 别为６，４，３，它缺一个长为６，宽为４的长方形底面，将它 的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方 体表面展开图的最大外围周长为 ；通过比较长 方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的 两个图形，你发现了什么规律？请写出你发现的规律． 附加题 （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图 １，四边形 ＡＢＣＤ是长方形，ＢＣ＝ ６ｃｍ，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ和ＢＤ是对角线，图中的阴影部分 以ＣＤ为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体图形的体 积是多少立方厘米（Ｖ圆锥 ＝ １ ３πｒ ２ｈ，结果保留π）？ ２．（１２分）把正方体的六个面分别涂上六种不同的 颜色，并画上朵数不同的花，各面上的颜色与花的朵数 情况如下表所示： 颜色 黄 白 红 紫 绿 蓝 花的朵数 １ ２ ３ ４ ５ ６ 现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四 个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图２所示，那么 长方体的下底面共有多少朵花                                                                                                                                                                 ？!"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !" #$ %& . ! ! !"#$%&'( ! 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