第8期 期中复习(二)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书书书 １８． （ 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １６ ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，ＡＤ ＝ ＡＥ ，ＢＤ ＝ ＣＥ ，且 Ｂ ，Ｄ ， Ｅ 三 点 共 线 ．试 说 明 ：∠ ３ ＝ ∠ １ ＋ ∠ ２． １９． （２０２３ 永 吉 期 末 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １７ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ， Ｄ 为 ＢＣ 边 上 一 点 ，∠ Ｂ ＝ ３０°，∠ Ｄ ＡＢ ＝ ４５°．试 说 明 ：△ ＡＤ Ｃ 是 等 腰 三 角 形 ． ２０． （２０２３ 扬 州 邗 江 区 模 拟 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １８ ，在 Ｒ ｔ△ ＡＢＣ 中 ， ＡＢ ＝ ８ ，ＡＣ ＝ ６ ，∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，请 用 无 刻 度 的 直 尺 和 圆 规 作 图 ，保 留 作 图 痕 迹 ，不 写 作 法 ． （１ ） 在 图 １８ － ① 的 线 段 ＢＣ 上 作 出 点 Ｍ ，使 得 Ｓ △ ＡＢＭ ＝ Ｓ △ ＡＣＭ ； （２ ） 如 图 １８ － ② ，已 知 ＡＢ 的 中 点 Ｄ ，在 ＡＣ 作 出 点 Ｅ ，使 得 ∠ ＡＤ Ｅ ＝ ∠ ＡＣＢ ； （３ ） 在 （２ ） 的 基 础 上 ，在 图 １８ － ② 中 的 线 段 Ｄ Ｅ 上 作 出 点 Ｐ ，使 得 点 Ｐ 到 ＡＢ ，ＢＣ 边 的 距 离 相 等 ． ２１． （２０２３ 成 武 期 中 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １９ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ 的 垂 直 平 分 线 ＥＦ 交 ＢＣ 于 点 Ｅ ，交 ＡＢ 于 点 Ｆ ，点 Ｄ 为 ＣＥ 的 中 点 ，连 接 ＡＤ ，此 时 ∠ ＣＡＤ ＝ ２４°，∠ ＡＣＢ ＝ ６６°．试 说 明 ：ＢＥ ＝ ＡＣ． ２２． （２０２３ 连 云 港 赣 榆 区 一 模 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 ２０ ，△ ＡＣＢ 中 ， 点 Ｄ 是 Ａ Ｂ 边 上 一 点 ，点 Ｅ 是 ＣＤ 的 中 点 ，过 点 Ｃ 作 ＣＦ ∥ ＡＢ 交 ＡＥ 的 延 长 线 于 点 Ｆ． （１ ） 试 说 明 ：△ ＡＤ Ｅ ≌ △ ＦＣＥ ； （ ２ ） 若 ＣＤ ＝ ＣＦ ，∠ Ｄ ＣＦ ＝ １２０°，求 ∠ ＡＣＤ 的 度 数 ． ２３． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 在 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，点 Ｄ 为 线 段 ＢＣ 上 的 一 个 动 点 （ 不 与 点 Ｂ ，Ｃ 重 合 ） ，以 ＡＤ 为 一 边 向 ＡＤ 的 左 侧 作 △ ＡＤ Ｅ ， 使 ＡＤ ＝ ＡＥ ，∠ Ｄ ＡＥ ＝ ∠ ＢＡＣ ，过 点 Ｅ 作 ＢＣ 的 平 行 线 ，交 ＡＢ 于 点 Ｆ ，连 接 ＢＥ． （１ ） 如 图 ２１ － ① ，若 ∠ ＢＡＣ ＝ ∠ Ｄ ＡＥ ＝ ６０°，则 △ ＢＥＦ 是 三 角 形 ； （２ ） 若 ∠ ＢＡＣ ＝ ∠ Ｄ ＡＥ ≠ ６０°，如 图 ２１ － ② ，当 点 Ｄ 在 线 段 ＢＣ 上 移 动 时 ，判 断 △ ＢＥＦ 的 形 状 ，并 说 明 理 由 ． ２４． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 ２２ ，在 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 和 △ Ａ ２ Ｂ ２ Ｃ ２ 中 ，Ａ １ Ｂ １ ＝ Ａ ２ Ｂ ２ ，∠ Ａ １ ＝ ∠ Ａ ２ ，∠ Ｂ １ ＝ ２∠ Ｂ ２ ，我 们 把 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 和 △ Ａ ２ Ｂ ２ Ｃ ２ 称 为 “ 等 边 倍 角 ” 三 角 形 ，其 中 Ａ １ Ｂ １ 和 Ａ ２ Ｂ ２ 为 对 应 等 边 ．如 图 ２３ ，△ ＡＢＣ 中 ，Ｄ ，Ｅ 分 别 是 ＢＣ ，ＡＣ 边 上 的 点 （ 不 与 端 点 重 合 ） ，ＡＤ 与 ＢＥ 相 交 于 点 Ｆ． （１ ） 如 图 ２３ － ① ，若 ＡＢ ＝ ＡＣ ≠ ＢＣ ，当 ＡＤ ⊥ ＢＣ ，∠ ＡＢＥ ＜ ∠ ＣＢＥ 时 ，图 中 与 △ ＡＢＣ 构 成 “ 等 边 倍 角 ” 三 角 形 的 是 （ 直 接 写 出 ， 不 必 证 明 ） ； （２ ） 如 图 ２３ － ② ，连 接 Ｄ Ｅ ，若 Ｅ Ｄ 平 分 ∠ ＢＥＣ ，ＢＥ ＝ ２ＡＥ ，点 Ｆ 是 ＡＤ 的 中 点 ．试 说 明 ：△ ＡＢＦ 和 △ ＡＤ Ｅ 是 “ 等 边 倍 角 ” 三 角 形 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-&./01234567 !"# 8 %&!' $ ()9+,-&./01234567 ! " # $ % & ! ! " % ' ( ! & $ ! # $ ( % & ! & ! % ' ! ' ( ! % ( ' ! ) * ' % ( ' ( ( ! % ! ) + ! " % % ( % ' % % ) ( ) ' ) ! % % ( ! & ' $ % ( ! % $ & ' ! % & ! " ( ! % $ ' & ! % ) ( ! % $ ' & ! " 书 【模型１】“两点一线” 如图１，点Ａ，Ｂ分别是直线 ｌ同侧的两个点，在直线 ｌ上找 一个点Ｃ，使ＣＡ＋ＣＢ最短． 作法：如图１，先作点 Ａ关 于直线ｌ的对称点Ａ１，连接Ａ１Ｂ 与直线ｌ交于点Ｃ，连接ＡＣ，则点Ｃ即为所求． 【模型２】“一点两线” 如图２，直线ｌ１和ｌ２相交于 点Ｐ，在直线ｌ１和ｌ２的夹角内有 一点Ａ，在直线 ｌ１，ｌ２上分别找 一点Ｂ，Ｃ，使线段ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ的 和最小． 作法：① 作点 Ａ关于直线 ｌ１的对称点Ａ１，作点Ａ关于直线ｌ２的对称点Ａ２； ②连接Ａ１Ａ２，分别交直线ｌ１，ｌ２于Ｂ，Ｃ两点； ③连接ＡＢ，ＡＣ，此时线段ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ的和最小． 点Ｂ，Ｃ即为所求，如图２所示． 【模型３】“两点两线”（两线平行） 如图３，直线ｌ１∥ｌ２，并且ｌ１ 与ｌ２之间的距离为ｄ，点Ａ和点 Ｂ分别在直线 ｌ１，ｌ２的两侧，在 直线ｌ１，ｌ２上分别找一点 Ｍ，Ｎ， 使ＭＮ⊥ｌ１，且线段ＡＭ，ＭＮ，ＮＢ 的和最小． 作法：①将点Ａ向下平移ｄ到点Ａ１； ②连接Ａ１Ｂ，交直线ｌ２于点Ｎ； ③过点Ｎ作ＮＭ⊥ｌ１，垂足为点Ｍ； ④连接ＡＭ，此时线段ＡＭ，ＭＮ，ＮＢ的和最小． 点Ｍ，Ｎ即为所求，如图３所示． 【模型４】“两点一线 ＋线段” 如图４，直线ｌ的同侧有两点 Ａ，Ｂ，在直线ｌ上找两点Ｃ，Ｄ，使 线段ＡＣ，ＣＤ，ＤＢ的和最小，且ＣＤ 的长为定值ａ，点Ｄ在点Ｃ的右 侧． 作法：①将点Ａ向右平移ａ到点Ａ１； ②作点Ｂ关于直线ｌ的对称点Ｂ１； ③连接Ａ１Ｂ１，交直线ｌ于点Ｄ； ④连接ＢＤ，过点Ａ作ＡＣ∥Ａ１Ｄ，交直线ｌ于点Ｃ， 此时线段ＡＣ，ＣＤ，ＤＢ的和最小． 点Ｃ，Ｄ即为所求，如图４所示． 书 策略１：三边相等的三角形是等边三角形 例１　 如图１，△ＡＢＣ是等边三 角形，分别延长 ＡＢ至点 Ｆ，ＢＣ至点 Ｄ，ＣＡ至点 Ｅ，使 ＡＦ＝３ＡＢ，ＢＤ ＝ ３ＢＣ，ＣＥ＝３ＣＡ．试说明：△ＤＥＦ是等 边三角形． 解：因为△ＡＢＣ是等边三角形， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＝６０°，ＡＢ＝ＢＣ＝ ＣＡ． 所以∠ＥＡＦ＝∠ＦＢＤ＝∠ＤＣＥ＝１２０°． 因为ＡＦ＝３ＡＢ，ＢＤ＝３ＢＣ，ＣＥ＝３ＣＡ， 所以ＡＦ＝ＢＤ＝ＣＥ． 所以ＡＦ－ＡＢ＝ＢＤ－ＢＣ＝ＣＥ－ＣＡ，即ＡＥ＝ＢＦ ＝ＣＤ． 由ＳＡＳ，所以△ＡＥＦ≌△ＢＦＤ≌△ＣＤＥ． 所以ＥＦ＝ＦＤ＝ＤＥ． 所以△ＤＥＦ是等边三角形． 策略２：三个角都相等的三角形是等边三角形 例２　如图２，△ＡＢＣ是等边三 角形，ＤＥ∥ＡＣ，分别交ＡＢ，ＢＣ于点 Ｄ，Ｅ．试说明：△ＢＤＥ是等边三角形． 解：因为△ＡＢＣ是等边三角形， 所以∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°． 因为ＤＥ∥ＡＣ， 所以∠ＢＤＥ＝∠Ａ＝６０°，∠ＢＥＤ＝∠Ｃ＝６０°． 所以∠Ｂ＝∠ＢＤＥ＝∠ＢＥＤ． 所以△ＢＤＥ是等边三角形． 策略３：有一个内角为６０°的等腰三角形是等边三 角形 例 ３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ａ沿直线ＡＥ折叠 这个三角形，使点Ｃ落在ＡＢ边上的 点Ｄ处，连接ＤＣ．若ＡＥ＝ＢＥ，试判 断△ＡＤＣ的形状，并说明理由． 解：△ＡＤＣ是等边三角形．理由如下： 根据折叠的性质可知ＡＣ＝ＡＤ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＢ＝ ９０°，∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ． 因为ＡＥ＝ＢＥ， 所以∠ＤＡＥ＝∠Ｂ． 因为∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠Ｂ＋∠ＣＡＢ＝３∠Ｂ＝９０°． 解得∠Ｂ＝３０°． 所以∠ＣＡＢ＝６０°． 所以△ＡＤＣ是等边三角形． 书 ２１．（１）因为ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所 以∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ．因 为 ＤＥ∥ ＢＣ， 所 以 ∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以 ∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ． （２）ＣＤ＝ＥＤ．理由 如下： 因为 ＡＣ＝ＡＢ，所 以∠Ｃ＝∠ＡＢＣ．因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＥ ＝ ∠Ｃ，∠ＡＥＤ ＝ ∠ＡＢＣ．所以 ∠ＡＤＥ＝ ∠ＡＥＤ．所以ＡＤ＝ＡＥ． 所以 ＡＣ－ＡＤ＝ＡＢ－ ＡＥ，即ＣＤ＝ＢＥ．由（１） 知∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ．所 以ＢＥ＝ＥＤ．所以ＣＤ＝ ＥＤ． ２２．以 ＡＢ为轴作 △ＡＢＣ的对称 △ＡＢＣ′， 图略．所以 ＡＣ＝ＡＣ′， ∠Ｃ ＝ ∠Ｃ′＝ ６０°， ∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＣ′．因为 ∠ＡＢＤ ＝ ９０° － １ ２∠ＤＢＣ，所以２∠ＡＢＤ ＋∠ＤＢＣ ＝１８０°，即 ∠ＡＢＣ ＋ ∠ＡＢＤ ＝ １８０°．所以 ∠ＡＢＣ′＋ ∠ＡＢＤ＝１８０°．所以Ｄ， Ｂ，Ｃ′三点共线．因为 ∠Ｄ ＝ ６０°， 所 以 ∠ＤＡＣ′＝１８０°－∠Ｃ′ －∠Ｄ ＝ ６０°．所 以 △ＡＤＣ′是等边三角形． 所以ＡＤ＝ＡＣ′＝ＡＣ． ２３．因为ＡＢ＝ＡＣ， 所以 ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．因 为∠Ａ＝２∠ＡＢＤ，所以 ∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＢＤ ＝３∠ＡＢＤ． ①当ＢＤ＝ＣＤ时， 点Ｄ与点 Ａ重合，不符 % ) % ) ) * + ' ' ) ! & ) % ! ' ) # ' % ) ! , ! !" # $ 书 数学思想不仅是数学知识的精髓，更是数学的生命 和灵魂．在学习轴对称时，既要注意基础知识的掌握，又 要注意数学思想的挖掘和应用． 一、转化思想 例１　如图１，已知△ＡＢＣ是等腰 直角三角形，ＡＣ＝ＢＣ＝４，∠ＢＣＤ＝ １５°，Ｐ为ＣＤ上的动点，求｜ＰＡ－ＰＢ｜ 的最大值． 分析：要求｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值， 只需求出当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时 ＡＢ的 长度，利用轴对称以及等腰直角三角 形的性质进而求解． 解：作点Ａ关于ＣＤ的对称点Ａ′，连接Ａ′Ｃ，Ａ′Ｂ交ＣＤ 于点Ｐ′，此时Ａ′，Ｂ，Ｐ′三点共线，｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值 即Ａ′Ｂ的长度． 因为△ＡＢＣ是等腰直角三角形，ＡＣ＝ＢＣ＝４， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°． 由题意知，ＣＤ垂直平分ＡＡ′，所以ＡＣ＝Ａ′Ｃ． 所以ＢＣ＝Ａ′Ｃ． 因为∠ＢＣＤ＝１５°，所以∠ＡＣＤ＝７５°． 所以∠ＡＣＡ′＝１５０°，∠ＣＡＡ′＝∠ＣＡ′Ａ＝１５°． 所以∠Ａ′ＣＢ＝∠ＡＣＡ′－∠ＡＣＢ＝６０°． 所以△Ａ′ＢＣ是等边三角形． 所以Ａ′Ｂ＝ＢＣ＝４，即｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值为４． 二、方程思想 例 ２　 如 图 ２， 在 △ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的一 点，且ＡＢ＝ＡＣ＝ＣＤ，ＢＤ＝ ＡＤ，求∠ＢＡＣ的度数． 分析：要求∠ＢＡＣ的度 数，已知条件中并没有涉及任何角的度数，但分析可知， 通过设未知数，利用三角形的内角和定理与平角的定义 可列方程求解． 解：设∠Ｂ＝ｘ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＡＤ， 所以∠Ｃ＝∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ｘ． 所以∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＤＡＢ＝２ｘ． 因为ＡＣ＝ＣＤ， 所以∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＣ＝２ｘ． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＣＡＤ＝３ｘ． 在△ＡＢＣ中，由三角形的内角和定理，得３ｘ＋ｘ＋ｘ ＝１８０°． 解得ｘ＝３６°． 所以３ｘ＝１０８°，即∠ＢＡＣ＝１０８°． # ! % ' ! % ! %& '() ' # ,! , % '! ! ! ) *+,-./0 ,-12" !"#$%&'()*+,-. /01 234567*+,-89:;< =>?@ AB),CDE< F>GHIJ) KL/MNOP/ M! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! # ' % $ & ! ) # & % ! 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" # $ % & ' ( $ $ ! $ % & ' ( ) * % & ' ( ! " ! & ) ( ' % & %! & ( + ' %! % & (! & $ ! , ! " % & ' ) ( ! " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! '-; -<, =1>/ ?@A -<, =1>B " % & , - ) ) - ) & ! &! - + % & ' ( ) 'CDEB "#$FGF= "HMNO= "PQRSTK!"#-+#&'-&#( "#$UVKWXYZ[\]^_`ab -"&c2d$e0123PQR "fgPhK!"!!!( "\iRj$klK!"#-!#&'--&# !"#-!#&'-&"' mnB "joKpq#$\iRVrsCtuvfwxyB "fgjoklK---)# "z{|}j~j€j "#$‚CtuY'\B9ƒ„…†$ "‡ˆ‰Š‹zŒcK-,!!!!,!!!--! "‡ˆRSTK!"#-!#&'-&## "#$Ž‘m’“”•–—˜x™š\›œ_žŸ ¡¢£¤ -- cB¥“<¦•“§¨©ª"<pq#$\iRVr«¬ 书书书 期 中 综 合 质 量 检 测 卷 （ 二 ） ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 选 择 题 （ 共 ２４ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答 案 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ２４ 分 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２３ 新 邵 一 模 ） 下 列 几 种 著 名 的 数 学 曲 线 中 ， 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ 　 　 ） ２． （ ２０ ２３ 哈 尔 滨 香 坊 区 期 中 ） 如 图 １， 已 知 △ ＡＢ Ｏ ≌ △ ＣＤ Ｏ ， ∠ Ｂ ＝ ９０ °， ∠ ＡＯ Ｂ ＝ ７５ ° ， 则 ∠ Ｃ ＝ （ 　 　 ） Ａ ．３ ５° Ｂ． ２５ ° Ｃ． １５ ° Ｄ ．１ ０° ３． （ ２０ ２３ 佛 山 禅 山 禅 城 区 月 考 ） 如 图 ２， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，已 知 ＡＣ ＝ ５０ ， ＡＢ 的 垂 直 平 分 线 交 ＡＢ 于 点 Ｄ ，交 ＡＣ 于 点 Ｅ． 若 ＢＥ 的 长 是 ２７ ，则 ＥＣ 的 长 是 （ 　 　 ） Ａ ．５ ０ Ｂ． ２３ Ｃ． ２７ Ｄ ．２ ５ ４ ． 如 图 ３， Ｄ Ａ ⊥ ＡＣ ，Ｄ Ｅ ⊥ ＢＣ ，垂 足 分 别 为 点 Ａ， Ｅ． 若 Ｄ Ａ ＝ ５ ｃｍ ，Ｄ Ｅ ＝ ５ ｃｍ ， ∠ ＡＣ Ｄ ＝ ３０ °， 则 ∠ ＥＤ Ｃ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．３ ０° Ｂ． ４５ ° Ｃ． ５０ ° Ｄ ．６ ０° ５． （ ２０ ２３ 青 岛 城 阳 区 期 末 ） 如 图 ４， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，点 Ｄ ，Ｅ 分 别 在 ＡＢ ， ＢＣ 边 上 ，点 Ａ 与 点 Ｅ 关 于 直 线 ＣＤ 对 称 ．若 ＡＢ ＝ ７， ＡＣ ＝ ９， ＢＣ ＝ １２ ，则 △ Ｄ ＢＥ 的 周 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．９ Ｂ． １０ Ｃ． １１ Ｄ ．１ ２ ６． （ ２０ ２３ 江 山 模 拟 ） 如 图 ５， 在 △ ＡＢ Ｃ 和 △ Ｄ ＥＦ 中 ，点 Ａ， Ｅ， Ｂ， Ｄ 在 同 一 直 线 上 ， Ａ Ｃ ∥ Ｄ Ｆ， ＡＣ ＝ Ｄ Ｆ， 只 添 加 一 个 条 件 ， 不 能 判 定 △ ＡＢ Ｃ ≌ △ Ｄ ＥＦ 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．Ｂ Ｃ ＝ ＥＦ Ｂ． ＡＥ ＝ Ｄ Ｂ Ｃ． Ｂ Ｃ ∥ ＥＦ Ｄ ． ∠ Ｃ ＝ ∠ Ｆ ７． 如 图 ６， ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ＢＥ ＝ Ｄ Ｅ． 若 ∠ Ｃ ＋ ∠ Ｅ ＝ １８ ０° ，Ａ Ｂ ＝ ６， ＢＤ ＝ ８， 则 △ ＡＢ Ｃ 的 面 积 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ２ Ｂ． １４ Ｃ． １ ６ Ｄ ．２ ４ ８． （ ２０ ２３ 广 州 越 秀 区 期 中 ） 如 图 ７， 弹 性 小 球 从 点 Ｐ（ ０， １） 出 发 ，沿 所 示 方 向 运 动 ，每 当 小 球 碰 到 正 方 形 Ｏ ＡＢ Ｃ 的 边 时 反 弹 ，当 小 球 第 １ 次 碰 到 正 方 形 的 边 时 的 点 为 Ｐ １ （ － ２， ０） ， 第 ２ 次 碰 到 正 方 形 的 边 时 的 点 为 Ｐ ２ （ － ４， １） ，… ，第 ｎ 次 碰 到 正 方 形 的 边 时 的 点 为 Ｐ ｎ ，则 点 Ｐ ２ ０２ ３ 的 坐 标 是 （ 　 　 ） Ａ ．（ ０， １） Ｂ． （ － ４， ３） Ｃ． （ － ２， ０） Ｄ ．（ ０， ３） 非 选 择 题 （ 共 ９６ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） ９． （ ２０ ２３ 北 京 房 山 区 一 模 ） 如 图 ８， 直 线 ｌ是 下 列 图 形 对 称 轴 的 是 （ 填 序 号 ） ． １０ ．（ ２０ ２３ 宁 波 期 末 ） 如 图 ９， 已 知 等 边 △ ＡＢ Ｃ 的 边 长 是 ２， 则 点 Ｂ 的 坐 标 是 ． １１ ．（ ２０ ２３ 西 安 新 城 区 模 拟 ） 如 图 １０ ，在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｂ Ｅ 平 分 ∠ ＡＢ Ｃ， Ｄ Ｅ ∥ ＢＣ ．若 Ｄ Ｅ ＝ ８， ＡＤ ＝ ５， 则 ＡＢ 的 长 为 ． １２ ．（ ２０ ２３ 杭 州 西 湖 区 一 模 ） 如 图 １１ ，在 △ Ａ Ｂ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ， ＡＣ 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 点 Ｐ， 连 接 ＢＰ ，Ｃ Ｐ． 若 ∠ Ａ ＝ ５０ °， 则 ∠ ＢＰ Ｃ ＝ ． １３ ．如 图 １２ ，等 边 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｄ 为 ＢＣ 边 上 的 高 ，点 Ｍ ，Ｎ 分 别 在 ＡＤ ， ＡＣ 上 ，Ａ Ｍ ＝ ＣＮ ，连 接 ＢＭ ，Ｂ Ｎ ，当 ＢＭ ＋ ＢＮ 最 小 时 ， ∠ Ｍ ＢＮ ＝ ． １４ ．如 图 １３ ， 在 四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｃ 是 四 边 形 的 对 角 线 ， ∠ ＣＡ Ｄ ＝ ３０ °， 过 点 Ｃ 作 ＣＥ ⊥ ＡＢ 于 点 Ｅ， ＣＦ ⊥ ＡＦ 交 ＡＤ 的 延 长 线 于 点 Ｆ， ∠ Ｂ ＝ ２ ∠ ＢＡ Ｃ， ∠ ＡＣ Ｄ ＋ ∠ ＢＡ Ｃ ＝ ６０ °． 若 ＡＢ 的 长 度 比 ＣＤ 的 长 度 多 ２， ＡＣ ＝ ２Ｃ Ｆ， 则 ＢＥ 的 长 为 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 １０ 个 小 题 ， 共 ７８ 分 ） １５ ．（ ２０ ２３ 大 埔 开 学 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １４ ， △ ＡＢ Ｃ 与 △ Ｄ ＥＦ 关 于 直 线 ｌ对 称 ，若 ∠ Ｃ ＝ ４０ °， ∠ Ｂ ＝ ８０ °， 求 ∠ Ｄ 的 度 数 ． １６ ．（ ２０ ２３ 鹤 壁 期 末 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 已 知 △ ＡＢ Ｃ 的 三 边 长 分 别 为 ３， ４， ５， △ Ｄ ＥＦ 的 三 边 长 分 别 为 ３， ３ｘ － ２， ２ｘ ＋ １． 若 这 两 个 三 角 形 全 等 ，求 ｘ 的 值 ． １７ ．（ ２０ ２３ 滕 州 期 末 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １５ ， 用 圆 规 以 直 角 顶 点 Ｏ 为 圆 心 ，以 适 当 长 为 半 径 画 一 条 弧 交 两 直 角 边 于 Ａ， Ｂ 两 点 ．若 再 以 点 Ａ 为 圆 心 ，Ｏ Ａ 长 为 半 径 画 弧 ， 与 弧 ＡＢ 交 于 点 Ｃ， 连 接 Ｏ Ｃ， 求 ∠ ＢＯ Ｃ 的 度 数 ． ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - & . / 0 1 2 3 4 5 6 7 !"#$%&!' ! " # 8 % & ! ' $ ( ) 9 + , - & . / 0 1 2 3 4 5 6 7 3   ­ ® ¯ J ° ± / 0 1 2 ! " ' + & % ( ! , ' + % ( & + % ( . & ' ! # ( + & ' % ! ( $ " # $ + # + , + " + & + $ + $ # , " & $ ) ' & % ) $ ) & ! ' ! $ $ ' & ) % ' & % " # $ ! 3 ! $ * ' % & ( + ' ( & , - % ! $ & ! $ " % . ' + & ( & ( % ' " ! $ + ' ! & ( & % / / / / ! " # $ ! ) % & ' / ( . + ! $ , ' ! $ # " % &