精品解析：山西省晋中市寿阳县2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024年10月九年级数学检测试题（卷） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，已知矩形中，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．得A，B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（ ） A. B. 8 C. D. 9. 我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E， 于F，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式则a的值为______． 12. 已知m、n是的两个根，则的值______． 13. 如图，、、是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选择不同的门进出的概率为______． 14. 已知：正方形的边长为8，点E、F分别在上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为_____． 15. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时， ______s． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 18. 在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若 ，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 19. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． （1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 20. 阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： （1）解一元二次方程，配方后可变形为______． A． B． C． D． （2）利用配方法求的最值． 21. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 22. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中， ， ，垂足为点D．若 ， ，则______． （2）如图②，在菱形中， ， ，则 ______． （3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点O．若 ， ，则 ______；若 ， ，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在 中，， ， ，点P为边 上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心， 长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在 同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取 ，连接 ，，． 请你直接写出的值． 23. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点， ，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月九年级数学检测试题（卷） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例式的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵⇔， ⇔， ⇔， ⇔， ∴变形正确的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键． 2. 菱形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 故选：D 3. 下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，本题可对选项一一进行分析，然后选出最适合用因式分解法来解的选项． 【详解】A、，整理得，移项以后可提取公因式，进行因式分解； B、可化为：，不能进行因式分解，故错误； C、，不能进行因式分解，故错误； D、整理得，不能进行因式分解，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确掌握因式分解法是解题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 5. 如图，已知矩形中，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．根据矩形的性质得到 ， ，，利用勾股定理求得，由此可求得，进而求得的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， ，， 在中， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于 ，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于 ， 则， 即， 解得：， 故选：B． 7. 如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图（2）可得，小球落在不规则图案内的概率约为 ，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积正方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 小球落在不规则图案内的概率约为 ，正方形的面积为（）， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， ∴不规则图案的面积约为． 故选：C． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．得A，B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于 ，于 ，连接，交于点 ，先证四边形是菱形，由勾股定理可求，由菱形性质即可求解． 【详解】解∶ 过点作于 ，于 ，连接，交于点 ， 两条纸条宽度相同， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故选∶C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判断和性质以及勾股定理应用，证得四边形为菱形是解题的关键． 9. 我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2022年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2023、2024年投入此项工程的专项资金，结合2023、2024年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2024年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E， 于F，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，再根据已知条件可得四边形是矩形，从而可得当点是正方形对角线和的交点时，此时最小，进而可得的最小值． 【详解】解：连接，， ， ，， 四边形是矩形， ， ∵， ∴当点是正方形对角线和的交点时，最小， 四边形是正方形，边长为， ∴， ， 的最小值为的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是能够明确四边形是矩形． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故答案为：． 12. 已知m、n是的两个根，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴、， ∴， 故答案为：． 13. 如图，、、是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选择不同的门进出的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，解题的关键是列出所有可能的结果和所求事件发生的情况，再根据概率公式求解．根据树状图，得出所有可能的结果，再求出选择不同的门进出的结果，根据概率公式即可求得． 【详解】解∶画树状图，如下 由树形图可知所有可能的结果有9种，其中选择不同的门进出有6种结果， ∴选择不同的门进出的概率为． 故答案为：． 14. 已知：正方形的边长为8，点E、F分别在上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，可得，是直角三角形，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，掌握全等三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 15. 如图，在 中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时， ______s． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元二次方程，根据题意得，，，，并求得t的取值范围为，利用面积公式可列出，求解即可． 【详解】解：∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴，， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴，， 根据题意知t的最大值为，即， ∵，， ∴， 则， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． 故答案为：3． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）利用十字相乘法等等号左边因式分解，将方程分解为两个一元一次方程分别求解即可； （2）利用十字相乘法等等号左边因式分解，将方程分解为两个一元一次方程分别求解即可； （3）移项，提公因式，将方程分解为两个一元一次方程分别求解即可； （4）化为一般形式，利用完全平公式对方程配方，再开方即可求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：； 【小问3详解】 解： ，即 或 解得：； 【小问4详解】 解： ，即 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程，其中分别为 三边的长． （1）如果是方程的根，试判断 的形状，并说明理由； （2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质，解一元二次方程． （1）把代入方程化简可得，即可得 是等腰三角形； （2）如果 是等边三角形，则，代入方程，只留一个字母a，可得，即，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： 是等腰三角形；理由： ∵是方程的根， ∴， ， ， ∴， ∴ 是等腰三角形； 【小问2详解】 解： 是等边三角形时， ， ，可整理为：， ，即， 解得：． 18. 在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若 ，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 【答案】小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由见解析 【解析】 【分析】选择小壮：先证明，再证明四边形为平行四边形，可得到 ，即可证明； 选择小刚：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明； 选择小强：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明 即可证明． 【详解】解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形． 若选择小刚： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 若选择小强： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． （1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可； （2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种， ∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为． 20. 阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： （1）解一元二次方程，配方后可变形为______． A． B． C． D． （2）利用配方法求的最值． 【答案】（1）D （2）14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：D； 【小问2详解】 解： ， ， ，即有最大值14． 21. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 22. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ， ，则______． （2）如图②，在菱形中， ， ，则 ______． （3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点O．若 ， ，则 ______；若 ， ，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在 中，， ， ，点P为边 上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心， 长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在 同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取 ，连接 ，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4， （3）， 猜想： ， 证明：∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ； （4）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明 是直角三角形，由作图可知： ，即可证明 ，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在 中， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：2； （2）∵在菱形中， ， ， ∴ ， 故答案为：4； （3）∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴， 故答案为：， 猜想：略； （4）根据尺规作图可知： ， ∵在 中，， ， ， ∴， ∴ 是直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴根据（3）的结论有： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 23. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点， ，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得： ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得 ， ， ，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作 于点，证，得 ， ，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图所示： 则 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 【小问3详解】 ∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在CA的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $