第8期 13.2 命题与证明（参考答案见10期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 １５．因为ＢＥ∥ＡＤ， ∠ＢＡＤ＝２０°， 所 以 ∠ＡＢＥ ＝ ２０°． 因 为 ＢＥ 平 分 ∠ＡＢＣ， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ ２∠ＡＢＥ＝４０°． 因为∠Ｃ＝９０°， 所 以 ∠ＣＡＢ ＝ １８０°－∠Ｃ－∠ＡＢＣ＝ ５０°． 所 以 ∠ＡＥＢ ＝ １８０°－∠ＥＡＢ－∠ＡＢＥ ＝１１０°． １６．（１）因为 ａ＝ ４，ｂ＝６， 所以２＜ｃ＜１０． 因为△ＡＢＣ的周长 是小于１８的偶数， 所以ｃ是大于２且 小于８的偶数． 所以ｃ的长是４或 ６． （２）根据题意，得ａ ＋ｂ＞ｃ，ａ＋ｃ＞ｂ． 所以｜ａ＋ｂ－ｃ｜＋ ｜ｂ－ａ－ｃ｜＝ａ＋ｂ－ｃ －ｂ＋ａ＋ｃ＝２ａ． １７．因为 ∠ＡＢＣ＝ ４０°，∠Ｃ＝６０°， 所 以 ∠ＢＡＣ ＝ １８０°－∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝ ８０°． 因为 ＡＥ是 △ＡＢＣ 的角平分线， 所 以 ∠ＢＡＥ ＝ １ ２∠ＢＡＣ＝４０°． 书 一、什么是证明 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理， 并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理 （或演绎法）．演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证 明．推理和证明是有区别的，推理是证明过程的组成部 分，一个证明过程往往包含多个推理． 二、证明的结构 １．证明的基本结构是： 因为……，（　　） 所以……．（　　） “（　　）”里面写由因得果的依据，即“理由”． 例如，因为∠１和∠２是对顶角，（已知） 所以∠１＝∠２．（对顶角相等） 证明由“因”“果”和“理由”三部分组成． ２．推理的形式有三种． （１）一因一果型． 上述的例子就是这种类型． （２）一因多果型． 如图１，因为ＡＤ∥ＢＣ，（已知） 所以 ∠１＝∠Ｂ，（两直线平 行，同位角相等） ∠２＝∠Ｃ．（两直线平行，内 错角相等） 这种类型的推理，在具体证明 时应根据需要来选择多个“果”中的某一个或某几个． （３）多因一果型． 例如，因为ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，（已知） 所以ａ∥ｂ．（平行于同一直线的两直线平行） 这种类型的推理，必须多“因”都具备时，才能得出 “果”． 三、证明的步骤 证明的一般步骤如下： （１）根据题意，画出图形，即把命题中的文字语言 转化成图形语言．同时为了叙述的方便，还要在图上标 出必要的字母和符号． （２）根据条件和结论，结合图形，写出已知、求证， 这一步是向符号语言转化． （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明的过程．这一步是证明的核心．一般情况下，分析过 程不用写出来，只要求写出证明过程． 例　证明：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 已知：如图２，直线 ＡＢ，ＣＤ被 直线ＥＦ所截，ＡＢ∥ＣＤ，ＥＧ，ＦＧ分 别是∠ＢＥＦ，∠ＤＦＥ的平分线． 求证：ＥＧ⊥ＦＧ． 分析：从结论出发，要证明 ＥＧ ⊥ＦＧ，需证明∠Ｇ＝９０°，只需证明∠１＋∠２＝９０°．从 条件出发，由ＡＢ∥ＣＤ，可得∠ＢＥＦ＋∠ＤＦＥ＝１８０°；由 ＥＧ，ＦＧ分别是∠ＢＥＦ，∠ＤＦＥ的平分线，可得∠１＋∠２ ＝９０°． 证明：因为ＡＢ∥ＣＤ，（已知） 所以∠ＢＥＦ＋∠ＤＦＥ＝１８０°．（两直线平行，同旁内 角互补） 因为ＦＧ，ＥＧ分别是 ∠ＤＦＥ，∠ＢＥＦ的平分线，（已 知） 所以∠１＝１２∠ＤＦＥ，∠２＝ １ ２∠ＢＥＦ．（角平分线 的定义） 所以 ∠１＋∠２＝ １２（∠ＤＦＥ＋∠ＢＥＦ）＝ １ ２ × １８０°＝９０°．（等量代换） 所以∠Ｇ＝１８０°－（∠１＋∠２）＝９０°．（三角形内 角和定理） 所以ＥＧ⊥ＦＧ．（垂直的定义） 温馨提示：证明时要注意“文字语言”、“图形语 言”、“符号语言”的相互转化． 书 一、理解命题的定义 对某一事件作出正确或不正确判断的语句，叫做命题． 例１　下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？ （１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＞０； （２）如果∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，那么∠Ａ与∠Ｂ互为余角； （３）吸烟对身体有害； （４）画一个角； （５）对顶角； （６）内错角相等． 解：（１）（２）（３）（６）是命题，它们都指出了是什么 或不是什么，其中（３）不是数学范畴的命题．（４）（５）不 是命题，（４）只是描述一个过程，并没有作出判断，（５） 是一个几何名词． 二、识别真假命题 如果条件成立，那么结论一定成立的命题是真命 题；如果条件成立时，但不能保证结论总是正确的，即结 论不成立，这样的命题是假命题．判断一个命题是真命 题时，可以用演绎推理加以论证；而判断一个命题是假 命题时，只要举出一个符合该命题的条件，而不符合该 命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举 反例”． 例２　判断下列命题是真命题还是假命题，如果是 假命题，请举出一个反例． （１）相等的角是对顶角； （２）同位角相等； （３）若ｘ＞２，则ｘ－３＞０． 解：（１）是假命题．如：如图１，若 ∠ＡＯＣ＝９０°，ＯＢ 是∠ＡＯＣ的平分线，则 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ，但 ∠ＡＯＢ与 ∠ＣＯＢ不是对顶角． （２）是假命题．如：如图２，∠１和 ∠２是同位角，显 然，∠１＜∠２． （３）是假命题．如：当ｘ＝２．５时，ｘ－３＜０． 三、区分条件与结论 命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事 项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可写成 “如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是 条件，用“那么”开始的部分是结论．有些命题的条件和 结论不是很明显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成 “如果……那么……”的形式，但在改写时，不能简单地 加上“如果”“那么”，应把省略的成分补充出来，即可改 成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 例３　指出下列命题的条件和结论． （１）同角的补角相等； （２）在同一平面内，两条直线不平行，它们一定相 交； （３）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行． 解：（１）命题可改写成：如果两个角是同一个角的 补角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的补 角；结论：这两个角相等． （２）条件：在同一个平面内，两条直线不平行；结 论：这两条直线一定相交． （３）条件：两条直线都与第三条直线平行；结论：这 两条直线也互相平行． !"# !$"%&'( 书 上期２版 １３．１三角形中的边角关系 １３．１．１三角形中边的关系 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１；　４．６． ５．因为△ＡＢＣ是等腰三角形，所以ＡＣ＝２０或８． 因为２０＋８＝２８＞２０，８＋８＝１６＜２０，所以ＡＣ＝２０， 即２ｍ－２＝２０．解得ｍ＝１１． ６．在△ＡＢＰ中，根据三角形的三边关系，得 ＰＡ＋ ＰＢ＞ＡＢ． 同理，ＰＢ＋ＰＣ＞ＢＣ，ＰＡ＋ＰＣ＞ＡＣ． 以上三式相加，得２（ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ）＞ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ． 所以ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＞ １２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）． 能力提高　７．（１）３，５，７，１３． （２）第ｎ个图形中有（２ｎ－１）个三角形． １３．１．２三角形中角的关系 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．锐角；　４．９０°； ５．８０． ６．因为∠ＢＡＣ＝６０°，∠Ｃ＝８４°，所以∠Ｂ＝１８０° －∠ＢＡＣ－∠Ｃ＝３６°．所以∠ＡＤＥ＝１２∠Ｂ＝１８°．因 为ＥＤ∥ＡＢ，所以∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ＝１８°．所以∠ＣＡＤ ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝４２°． 能力提高　７．（１）△ＡＢＣ是“三倍角三角形”．理 由如下： 因为∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４０°，所以∠Ｃ＝１８０°－∠Ａ －∠Ｂ＝１２０°＝３∠Ｂ．所以△ＡＢＣ是“三倍角三角形”． （２）设△ＡＢＣ中的最大内角为ｘ． 当最大内角是∠Ｂ的３倍时，ｘ＝３∠Ｂ＝９０°，满足 题意； 当最大内角是∠Ａ或∠Ｃ的３倍时，１３ｘ＋ｘ＋３０° ＝１８０°，解得ｘ＝１１２．５°，满足题意； 当∠Ｂ是∠Ａ或∠Ｃ的３倍时，１３×３０°＋３０°＋ｘ ＝１８０°，解得ｘ＝１４０°，满足题意． 综上所述，△ＡＢＣ中最大内角的度数为 ９０°或 １１２．５°或１４０°． １３．１．３三角形中几条重要线段 基础训练　１．Ｂ；　２．△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，１０； ３．２；　４．ＡＤ＝ＤＣ． ５．（１）（２）（３）图略；　（４）ＡＣ的长是７． ６．（１）因为 ＤＥ∥ ＢＣ，∠２＝４０°，所以 ∠１＝ ∠ＡＣＢ，∠ＤＣＢ＝∠２＝４０°．因为ＣＤ是△ＡＢＣ的角平 分线，所以∠ＡＣＢ＝２∠ＤＣＢ＝８０°．所以∠１＝８０°． （２）因为∠３＝４０°＝∠ＤＣＢ，所以ＦＨ∥ＣＤ．因 为ＦＨ⊥ＡＢ，所以ＣＤ⊥ＡＢ，即ＣＤ是△ＡＢＣ的高． 能力提高　７．Ｄ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ 二、９．（１，０）；　１０．１１０°；　１１．２；　１２．２０． 三、１３．因为∠ＡＣＢ＝∠１＋∠ＢＣＤ＝９０°，∠１＝ ∠Ｂ， 所以∠Ｂ＋∠ＢＣＤ＝９０°． 所以△ＢＤＣ是直角三角形，即ＣＤ⊥ＡＢ． 所以ＣＤ是△ＡＢＣ的高． １４．因为 ∠Ａ＝ １３∠Ｂ＝ １ ５∠Ｃ，所以 ∠Ｂ＝ ３∠Ａ，∠Ｃ＝５∠Ａ． 因为∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°，即 ∠Ａ＋３∠Ａ＋ ５∠Ａ＝１８０°．解得∠Ａ＝２０°． 所以∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ＝１００°．所以△ＡＢＣ是钝角 三角形． 书 一、新定义型 例１　如果一个三角形中有一个内角的度数是另 外两个内角度数差的２倍，我们就称这个三角形为“奇 巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那 么该三角形的最小内角等于 °． 解：设这个三角形的最小内角为∠Ａ，另一个锐角为 ∠Ｂ． ① 若直角是 ∠Ｂ与 ∠Ａ度数差的 ２倍，则 ∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°， ２（∠Ｂ－∠Ａ）＝９０{ °．解得 ∠Ａ＝２２．５°， ∠Ｂ＝６７．５{ °． ②若∠Ａ的度数是直角与 ∠Ｂ度数差的２倍，则 ∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°， ∠Ａ＝２（９０°－∠Ｂ）{ ．解得 ∠Ａ＝０°， ∠Ｂ＝９０{ °（不符合题意）． ③若∠Ｂ的度数是直角与 ∠Ａ度数差的２倍，则 ∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°， ∠Ｂ＝２（９０°－∠Ａ）{ ．解得 ∠Ａ＝９０°， ∠Ｂ＝０{ °（不符合题意）． 故填２２．５． 二、规律型 例２　如图１，在△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝ｍ°，点Ｄ在ＢＣ的延长线 上，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＤ的平分线交 于点Ａ１，∠Ａ１ＢＣ和∠Ａ１ＣＤ的平 分线交于点 Ａ２，…，∠Ａｎ－１ＢＣ和 ∠Ａｎ－１ＣＤ的平分线交于点Ａｎ，则 ∠Ａｎ ＝ ． 解：因为 ＢＡ１平分 ∠ＡＢＣ，ＣＡ１平分 ∠ＡＣＤ，所以 ∠Ａ１ＢＣ＝ １ ２∠ＡＢＣ，∠Ａ１ＣＤ＝ １ ２∠ＡＣＤ．所以∠Ａ１ ＝ ∠Ａ１ＣＤ－∠Ａ１ＢＣ＝ １ ２∠ＡＣＤ－ １ ２∠ＡＢＣ＝ １ ２（∠ＡＣＤ －∠ＡＢＣ）＝ １２∠Ａ．因为 ＢＡ２平分 ∠Ａ１ＢＣ，ＣＡ２平分 ∠Ａ１ＣＤ， 所 以 ∠Ａ２ＢＣ ＝ １ ２∠Ａ１ＢＣ，∠Ａ２ＣＤ ＝ １ ２∠Ａ１ＣＤ．所以∠Ａ２＝∠Ａ２ＣＤ－∠Ａ２ＢＣ＝ １ ２∠Ａ１ＣＤ －１２∠Ａ１ＢＣ＝ １ ２（∠Ａ１ＣＤ－∠Ａ１ＢＣ）＝ １ ２∠Ａ１ ＝ １ ２２ ∠Ａ，…，以此类推，得∠Ａｎ ＝ １ ２ｎ ∠Ａ＝ｍ° ２ｎ ． 故填 ｍ° ２ｎ ． 三、探究型 例３　 如图２，ＡＤ，ＡＥ分别 是△ＡＢＣ的角平分线和高线． （１）若 ∠Ｂ＝５０°，∠Ｃ＝ ６０°，求∠ＤＡＥ的度数； （２）若 ∠Ｃ ＞∠Ｂ，猜想 ∠ＤＡＥ与∠Ｃ－∠Ｂ之间的数量关系，并加以证明． 解：（１）因为 ＡＥ是 △ＡＢＣ的高线，所以 ∠ＡＥＣ＝ ９０°．因为∠Ｃ＝６０°，所以∠ＣＡＥ＝９０°－∠Ｃ＝３０°．因 为∠Ｂ＝５０°，所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ＝７０°． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ ＝３５°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ－∠ＣＡＥ＝５°． （２）∠ＤＡＥ＝ １２（∠Ｃ－∠Ｂ）．证明如下： 因为ＡＥ是△ＡＢＣ的高线，所以∠ＡＥＣ＝９０°．所以 ∠ＥＡＣ＝９０°－∠Ｃ．因为ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＤＡＣ＝１２∠ＢＡＣ．因为∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ，所 以∠ＤＡＣ＝ １２（１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ）．所以 ∠ＤＡＥ＝ ∠ＤＡＣ－∠ＥＡＣ＝１２（１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ）－（９０°－∠Ｃ） ＝ １２（∠Ｃ－∠Ｂ）． 书 如图１，线段ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，连接 ＡＤ，ＢＣ，我们把 △ＡＯＤ和 △ＢＯＣ叫做“对顶三角形”．根据 三角形外角的性质，得 ∠ＢＯＤ＝ ∠Ａ＋∠Ｄ；∠ＢＯＤ＝∠Ｂ＋∠Ｃ，从 而有∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ａ＋∠Ｄ，这一结论称为“对顶三角 形”的性质． 利用这一结论可巧妙地解决一些数学问题，下面分 类探索它的应用，供同学们参考． 探索一：求角度 例１　如图２，线段 ＡＤ，ＢＣ 交于一点，∠Ｃ ＝∠Ａ＝９０°， ∠Ｂ＝２５°，则∠Ｄ的度数是 （　　） Ａ．５５° Ｂ．３５° Ｃ．２５° Ｄ．２０° 分析：根据“对顶三角形”的性质求解即可． 解：设ＡＤ，ＢＣ交于点Ｏ． 由图２知△ＡＯＢ和△ＣＯＤ是“对顶三角形”． 根据“对顶三角形”的性质，得∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＋ ∠Ｄ，即９０°＋２５°＝９０°＋∠Ｄ．解得∠Ｄ＝２５°． 故选Ｃ． 探索二：探索角之间的关系 例２　一副三角板如图３所 示摆放，则∠α与∠β的数量关 系为 （　　） Ａ．∠α＋∠β＝１８０° Ｂ．∠α＋∠β＝２２５° Ｃ．∠α＋∠β＝２７０° Ｄ．∠α＝∠β 分析：根据直角三角形的性质、三角形外角的性质 和“对顶三角形”的性质即可得到结论． 解：如图４． 根据直角三角形的性质，得 ∠Ａ＝９０°－∠Ｆ＝６０°． 根据三角形外角的性质，得 ∠ＡＣＢ＝∠α－∠Ａ＝∠α－ ６０°． 由对顶角相等，得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． 由图４知△ＣＤＥ和△ＥＦＧ是“对顶三角形”． 根据“对顶三角形”的性质，得∠ＤＣＥ＋∠Ｄ＝∠Ｆ ＋∠ＥＧＦ，即∠α－６０°＋４５°＝３０°＋１８０°－∠β． 化简，得∠α＋∠β＝２２５°． 故选Ｂ． ! "# $ ! $ # $ ! " # " %! $ # " ! ! )*+ ,-. #"$! /0123 45678!"!"#$%&'()*+#$ %,-./0$ !$)123#$%4#$$ "$56789:8.;<=>?8%@0$ 9:;<8#$)AB#$%CD( EF56GHI<.;<JKLM %NO$ !$<"PQ/ LM%RSFTP UVWX=NO$ ! => ?@A """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " # ! $ # ! " # # % $ " ! & ' # ! " ! ! BC DEF " # $ ( " # ! # " ! ! " #! !!""" $"% ! !%!&&''!#( ! ! G&H4IJKLMN!=>O%(P # Q !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()*+ ,-. / """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! RS TUV " " # $ ( # ! "%! &(! ! " " " ! % & " # $ ' "%! &(! ! " " & " ! # $ " ! !"# #W& %&'( !XY"%Z[\]( ^_`ab4cd ^_`befKghijk ^_`blmnopqrsct Huvwxyz% w{8|}~ €‚ƒ„z%…†8)*#&+%,%,-!.( ) *+ |}~ , ) *+ ‡ˆ‰ , # - .+ TŠ~ , ) *+ ‹ Œ , ) *+  Ž -./01+ T  23/01+ T. -4506+ ? ‘ -4578+ ’“” ˆ•– D — ˜™š › œ ž3 ‡Ÿ  ›¡. ¢ “ £@š ¤¥} D-¦ §-¨ ‡}© ªŽ& «¬— ­ 3 ®¯° ˆ±² 91-.+ ” ³ 91:;+ T´µ <=-.+ ‡ ¶ >?-.+ · ¸ @ABC+ ¹Sº #»vB¼B% #½§Áz% #xyÂÃÄ8%"(#+(!,#!(/ #»vÅÆ8^_ÇÈÉʙËÌÍÎÏ #"!†HuvwG&H4xy #ÐÑxÒ8%"%%%/ #ÊÓÂÔvÕÖ8%"(##(!,##!( %"(#$(!,#!",×hØ( #ÔÙ8Ú1»vÊÓÂÆÛÜÝÞßÐà×áâ #ÐÑÔÙÕÖ8###'( #ãäåæÔçèÔéêÔ #»vëÝÞÇ!Ê(Neìíîv #ïðnoñã2†8#&%%%%&%%%##% #ïðÂÃÄ8%"(#$(!,#!(( #»vòóôõöhi÷øpqrs!ùúÊûüÌýþÿ!"Kg# ## †(U÷W$p÷%&'(0WÚ1»vÊÓÂÆÛ)* 书 因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ 的高， 所 以 ∠ＡＤＢ ＝ ９０°． 所 以 ∠ＢＡＤ ＝ １８０°－∠ＡＤＢ－∠ＡＢＤ ＝５０°． 所 以 ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ＝１０°． 因为 ＢＦ是 △ＡＢＣ 的角平分线，∠ＡＢＣ＝ ４０°， 所 以 ∠ＡＢＯ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２０°． 所 以 ∠ＡＯＢ ＝ １８０°－∠ＢＡＥ－∠ＡＢＯ ＝１２０°． 所 以 ∠ＢＯＥ ＝ １８０°－∠ＡＯＢ＝６０°． 附加题　因为ＢＤ 为△ＡＢＣ的中线， 所以ＡＤ＝ＣＤ． 因为 ＢＤ将 △ＡＢＣ 分成的两个小三角形的 周长的差为２， 所以｜ＡＢ＋ＡＤ＋ＢＤ －（ＣＤ＋ＢＣ＋ＢＤ）｜＝ ｜ＡＢ－ＢＣ｜＝２． 所以ＡＢ－ＢＣ＝２ 或ＡＢ－ＢＣ＝－２．因为 △ＡＢＣ的周长为１６，ＡＢ ＝ＡＣ， 所以 ２ＡＢ＋ＢＣ＝ １６． 解 ＡＢ－ＢＣ＝２， ２ＡＢ＋ＢＣ＝１６{ ， 得 ＡＢ＝６， ＢＣ＝４{ ． 解 ＡＢ－ＢＣ＝－２， ２ＡＢ＋ＢＣ＝１６{ ， 得 ＡＢ＝１４３， ＢＣ＝２０３ { ． 因为 ４，６，６和１４３， １４ ３， ２０ ３都满足三角形的 三边关系， 所以△ＡＢＣ各边的 长分别是ＡＢ＝ＡＣ＝６， ＢＣ＝４或 ＡＢ＝ＡＣ＝ １４ ３，ＢＣ＝ ２０ ３． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列语句属于命题的是 （　　） Ａ．你今天打卡了吗 Ｂ．请戴好口罩 Ｃ．画出两条相等的线段 Ｄ．等角的余角相等 ２．如图 １，∠ＣＢＤ是 △ＡＢＣ 的外角，∠Ａ ＝３８°，∠ＣＢＤ ＝ ６８°，则∠Ｃ的度数是 （　　） Ａ．６８° 　　　Ｂ．４０° Ｃ．３８° 　　　Ｄ．３０° ３．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ＋∠Ｂ＝４∠Ｃ，则∠Ｃ的度数 为 （　　） Ａ．３２° Ｂ．３４° Ｃ．３６° Ｄ．３８° ４．如图 ２，在四边形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在 ＢＣ上， ＡＢ∥ＤＥ，∠Ｂ＝７８°，∠Ｃ＝６０°，则∠ＥＤＣ的度数为 （　　） Ａ．４２° Ｂ．６０° Ｃ．７８° Ｄ．８０° ５．如图３是一副三角尺拼成的图案，则∠ＡＥＤ的度 数是 （　　） Ａ．６０° Ｂ．１０５° Ｃ．８５° Ｄ．７５° ６．对于命题“若ａ２ ＞ｂ２，则 ａ＞ｂ”，下面四组关于 ａ，ｂ的值中，能说明这个命题是假命题的是 （　　） Ａ．ａ＝３，ｂ＝－２ Ｂ．ａ＝－２，ｂ＝３ Ｃ．ａ＝２，ｂ＝－３ Ｄ．ａ＝－３，ｂ＝２ ７．如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＥ是△ＡＢＣ的 外角∠ＢＡＤ的平分线，∠ＡＢＣ的平分线ＢＦ与ＡＥ的反向 延长线相交于点Ｆ，则∠Ｆ的度数为 （　　） Ａ．３５° Ｂ．４０° Ｃ．４５° Ｄ．５０° ８．如图５，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ，Ｄ为ＢＣ边上的 一点，点 Ｅ在 ＡＣ边上，∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ．若 ∠ＢＡＤ＝ ２４°，则∠ＣＤＥ的度数为 （　　） Ａ．１２° Ｂ．１４° Ｃ．１６° Ｄ．２４° 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．命题“锐角的补角是钝角”的条件是 ， 结论是 ． １０．在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝ｘ°，∠Ｂ＝（２ｘ＋１０）°，与 ∠ＡＣＢ相邻的外角的度数为（ｘ＋４０）°，则 ｘ的值为 ． １１．命题“如果 ａ＝ｂ，那么 ａｃ ＝ ｂ ｃ”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或 “假”）． １２．如图６，已知∠Ｂ＝２０°， ∠Ｃ＝３５°，∠Ｄ＝１６５°，则 ∠Ａ 的度数为 °． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（９分）将下列命题改写成“如果 …… 那么 ……”的形式，并判断其真假． （１）绝对值相等的两个数互为相反数； （２）周长相等的两个三角形面积也相等； （３）有两个内角相等的三角形必有两条高线相等． １４．（７分）如图７，在 △ＡＢＣ中，∠Ｂ＝２５°，∠ＢＡＣ ＝３１°，过点Ａ作ＢＣ边上的高，交ＢＣ的延长线于点Ｄ， ＣＥ是∠ＡＣＤ的平分线，交ＡＤ于点Ｅ．求∠ＡＥＣ的度数． １５．（１４分）如图８，已知∠１＋ ∠２＝１８０°，∠３ ＝∠Ｂ，求证： ∠ＡＥＤ＝∠４． 对于本题小钟是这样证明的， 请你将他的推理证据补充完整． 证明：因为 ∠１＋∠ＢＤＦ＝ １８０°，∠１＋∠２＝１８０°，（　　　　） 所以∠２＝∠ＢＤＦ．（　　　　） 所以ＥＦ∥ＡＢ．（　　　　） 所以∠３＝∠ＡＤＥ．（　　　　） 因为∠３＝∠Ｂ，（已知） 所以∠Ｂ＝∠ＡＤＥ．（等量代换） 所以ＤＥ∥ＢＣ．（　　　　） 所以∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ．（两直线平行，同位角相等） 因为∠ＡＣＢ＝∠４，（　　　　） 所以∠ＡＥＤ＝∠４．（　　　　） １６．（１０分）如图９，ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，点 Ｅ 是ＤＡ延长线上一点，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ，垂足为点Ｆ． （１）若∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，求∠Ｅ的度数； （２）若∠Ｃ－∠Ｂ＝ｍ°，请直接写出∠Ｅ的度数（用 含ｍ的代数式表示）． １７．（１２分）问题情景：如图１０－①，有一块直角三 角板ＰＭＮ放置在△ＡＢＣ上（点Ｐ在△ＡＢＣ内），三角板 ＰＭＮ的两条直角边ＰＭ，ＰＮ恰好分别经过点Ｂ和点Ｃ．试 问∠ＡＢＰ与∠ＡＣＰ是否存在某种确定的数量关系？ （１）特殊探究：如图 １０－①，∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝ °，若 ∠Ａ ＝５０°，则 ∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ ＝ °； （２）类比探究：请类比（１），探究如图 １０－① 中 ∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ与∠Ａ的关系； （３）延伸探究：如图１０－②，改变直角三角板ＰＭＮ 的位置，使点Ｐ在△ＡＢＣ外，三角板ＰＭＮ的两条直角边 ＰＭ，ＰＮ分别经过点Ｂ和点Ｃ，则（２）中的结论是否仍然 成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由． （以下试题供各地根据实际情况选用） 在△ＡＢＣ中，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，点Ｅ是 线段ＡＣ上的动点（不与点Ｄ重合），过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ 交射线ＢＤ于点Ｆ，∠ＣＥＦ的平分线所在直线与射线ＢＤ 交于点Ｇ． （１）如图，点Ｅ在线段ＡＤ上运动． ① 若 ∠ＡＢＣ ＝４０°，∠Ｃ ＝７０°，则 ∠ＢＧＥ ＝ °； ②若∠Ａ＝５０°，则∠ＢＧＥ＝ °； ③探究∠ＢＧＥ与∠Ａ之间的数量关系，并说明理由． （２）若点Ｅ在线段 ＤＣ上运动，请直接写出 ∠ＢＧＥ 与∠Ａ之间的数量关系                                                                                                                                                                 ． !" # $ % & ' !" % ' !"# 书 １３．２命题与证明 １３．２．１命题 １．下列句子，是命题的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．连接ＣＤ Ｂ．钝角大于锐角 Ｃ．作∠ＡＢＣ的平分线 Ｄ．你喜欢运动吗 ２．下列命题中是真命题的是 （　　） Ａ．两个锐角的和是钝角 Ｂ．互补的角是邻补角 Ｃ．负数没有立方根 Ｄ．垂线段最短 ３．把命题“正数的相反数是负数”改写成“如果 ……那么……”的形式为 ． ４．命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 ． ５．可以用一个ｍ的值说明命题“如果 ｍ能被２整 除，那么它也能被４整除”是假命题，则 ｍ的值可以是 ． ６．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假 命题，请举出一个反例． （１）两点确定一条直线； （２）如果ａ＋ｂ＝０，那么ａ＝０，ｂ＝０． ７．写出以下命题的逆命题，并判断逆命题的真假． （１）若点（ａ，ｂ）位于第一象限，则ａｂ＞０； （２）有一个内角大于其相邻外角的三角形是钝角 三角形． ８．已知：如图 １，△ＡＢＣ 中，ＡＣ⊥ ＢＣ，Ｆ是边 ＡＣ上的 点，连接ＢＦ，作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ 于点Ｅ，过点Ｅ作ＤＥ⊥ＥＦ交 ＢＦ于点Ｄ． 求证：∠１＋∠２＝１８０°． 补充完成下面证明过程，并填上适当的推理依据． 证明：因为ＡＣ⊥ＢＣ，（已知） 所以∠Ｃ＝９０°．（垂直的定义） 因为ＥＦ∥ＢＣ，（已知） 所以∠ＡＦＥ＝ ＝９０°．（　　　　） 因为ＤＥ⊥ＥＦ，（已知） 所以∠ＤＥＦ＝９０°．（垂直的定义） 所以∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＦ．（等量代换） 所以 ∥ ．（　　　　） 所以∠２＝∠ＥＤＦ．（　　　　） 又因为∠ＥＤＦ＋∠１＝１８０°，（补角的定义） 所以∠１＋∠２＝１８０°．（等量代换） ９．如图２，ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ，ＯＥ是∠ＡＯＣ的平分 线，ＯＦ是∠ＤＯＢ的平分线．求证：ＯＥ与ＯＦ在同一条直 线上． １３．２．２三角形内角和定理的证明及推论 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４０°，∠Ａ＝９０°，延长 ＢＣ到点Ｄ，延长ＡＣ到点Ｅ，则∠ＤＣＥ的度数为 （　　） Ａ．５０° Ｂ．４０° Ｃ．３０° Ｄ．１３０° ２．若一个三角形的三个内角度数的比为２∶３∶４， 则这个三角形是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰三角形 ３．在直角三角形中，一个锐角为５７°，则另一个锐 角为 ． ４．如图２，Ｅ为△ＡＢＣ的边ＡＣ上一点，过点Ｅ作ＥＤ ∥ ＡＢ．若 ∠Ｂ ＝１１０°，∠ＣＥＤ ＝１５０°，则 ∠Ｃ ＝ ． ５．如图３，线段ＡＤ和ＢＣ相交于点Ｏ．若∠Ａ＝７０°， ∠Ｃ＝８５°，则∠Ｂ－∠Ｄ＝ ． ６．已知：如图４，△ＡＢＣ． 求证：∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°． 证明：如图４，过点Ａ作ＤＥ∥ＢＣ，延长ＣＡ，ＢＡ分别 至点Ｆ，Ｇ． 因为ＤＥ∥ＢＣ，（所作） 所以∠Ｃ＝∠ＤＡＦ，∠Ｂ＝∠ＧＡＥ．（　　　　） 因为Ｄ，Ａ，Ｅ三点共线， 所以∠ＤＡＦ＋∠ＦＡＧ＋∠ＧＡＥ＝ ．（平角 的定义） 因为∠ＦＡＧ＝∠ＢＡＣ，（　　　　） 所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝ ＋ ＋ ＝１８０°．（　　　　） ７．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为点Ｄ，Ｅ是 ＡＣ边上的一点，ＢＥ与 ＡＤ交于点 Ｆ．若 ∠ＡＢＣ＝４５°， ∠ＢＡＣ＝７５°，∠ＢＦＤ＝６０°，求∠ＢＥＣ的度数． ８．如图 ６，△ＥＦＧ的三个顶 点Ｅ，Ｇ，Ｆ分别在平行线 ＡＢ，ＣＤ 上，ＦＨ是∠ＥＦＧ的平分线，交线 段ＥＧ于点 Ｈ．若 ∠ＡＥＦ＝３６°， ∠ＢＥＧ ＝ ５７°， 则 ∠ＥＨＦ ＝ ． １３．２．３三角形的外角及推论 １．下列选项中，表示∠１是△ＡＢＣ的外角的是 （　　） ２．如图１，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ为 ＡＢ边上的两点，把 ∠Ａ，∠１，∠２这三个角用“＞”连接起来是 ． ３．如图２，若∠Ａ＝２７°，∠Ｂ＝４５°，∠Ｃ＝３８°，则 ∠ＡＦＤ的度数为 ． ４．如图３，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°， △ＡＢＣ的外角∠ＢＣＤ的平分线ＣＥ交ＡＢ的延长线于点 Ｅ． （１）求∠ＢＣＥ的度数； （２）过点Ｄ作ＤＦ∥ＣＥ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，求 ∠Ｆ的度数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ．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