第4期 12.2 一次函数（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 今天是“一次函数”专家门诊的日子，这不，主任医 师刚上班，就有好几位患者慕名而来，下面是几个典型 病例的诊治情况． 一、对一次函数定义的理解出错 病例１　已知函数ｙ＝（ｍ２－３ｍ）ｘｍ２－８＋５是关于 ｘ的一次函数，试求ｍ的值． 临床症状：由于函数ｙ＝（ｍ２－３ｍ）ｘｍ２－８＋５是一次 函数，所以ｍ２－８＝１．所以ｍ２＝９．由平方根的意义，知 ｍ＝±３． 病因诊断：一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的定义不仅要求自 变量ｘ的指数为１，同时还要求自变量ｘ的系数ｋ≠０，上 面只考虑到了ｘ的指数ｍ２－８＝１，而遗漏了ｘ的系数ｍ２ －３ｍ≠０．事实上，当ｍ＝３时，ｍ２－３ｍ＝０，这时ｙ＝ （ｍ２－３ｍ）ｘｍ２－８＋５就不是一次函数． 处方：由于函数ｙ＝（ｍ２－３ｍ）ｘｍ２－８＋５是一次函 数，所以ｍ２－８＝１．所以ｍ２＝９．由平方根的意义，知ｍ ＝±３．而当ｍ＝３时，ｍ２－３ｍ＝０，故舍去．所以ｍ的值 为 －３． 二、对一次函数性质的理解不透彻 病例２　已知一次函数ｙ＝－１２ｘ＋２，当１≤ｘ≤４ 时，ｙ的最大值是 （　　） Ａ．０　　　Ｂ．３２　　　Ｃ． ５ ２　　　Ｄ．－６ 临床症状：Ａ． 病因诊断：造成错解的原因是对一次函数的性质理 解不透彻．事实上，在一次函数ｙ＝－１２ｘ＋２中，因为ｋ ＝－１２ ＜０，所以ｙ随ｘ的增大而减小，所以当ｘ＝１时， ｙ取最大值，为：－１２×１＋２＝ ３ ２． 处方：Ｂ． 三、忽视分类讨论 （具体实例请同学们参考本期４版《分类讨论思想 来“亮相”》一文）． 四、对一次函数图象的理解有误 病例３　已知函数ｙ＝ｍｘ－ｍ，且ｙ的值随ｘ值的增 大而减小，则函数的图象大致是 （　　） 临床症状：Ｃ． 病因诊断：这是由于对一次函数图象的理解有误造 成的，只考虑到ｙ＝ｋｘ＋ｂ是ｙ的值随ｘ值的增大而减 小，即直线下降，忽视了直线与ｙ轴的交点位置．事实上， 对于函数ｙ＝ｍｘ－ｍ，ｙ的值随ｘ值的增大而减小，则ｍ ＜０．当ｍ＜０时，－ｍ＞０，即直线与ｙ轴的交点在ｘ轴 的上方． 处方：Ａ． 书 上期２版 １２．１函数 １２．１．１常量和变量 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ． ３．（１）常量是６；变量是ｎ，ｔ；自变量是ｔ；因变量是ｎ． （２）常量是４０；变量是ｓ，ｔ；自变量是ｔ；因变量是ｓ． ４．（１）１９０． （２）水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体 积、水池中水的体积是变量． １２．１．２用列表法和解析法表示函数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．ｙ＝２４ｘ＋３． ４．（１）ｙ是ｘ的函数．理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数ｙ和小路的宽度 ｘ，对于每一个ｘ的值，ｙ都有惟一确定的值与之相对应， 符合函数的定义，所以ｙ是ｘ的函数． （２）当ｘ＝３时，两条小路的面积和为：３２×３＋２０ ×３－３２ ＝１４７（平方米）．地砖的费用为：６０×１４７＝ ８８２０（元）． ５．（１）①２．５ｘ；　②３．５ｘ－１０． （２）当ｘ＝６时，ｙ＝２．５×６＝１５． 答：该户居民应交水费１５元． （３）因为２．５×１０＝２５（元），３２＞２５，所以该户居 民月用水量超过１０立方米．当ｙ＝３２时，３．５ｘ－１０＝ ３２．解得ｘ＝１２． 答：该户居民用水１２立方米． 能力提高 　６．（１）表格从左到右依次填：４．２， ５．９，１１． （２）ｙ＝１．７ｘ＋０．８． （３）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础 上还要缩短０．８ｃｍ，所以这根链条安装到自行车上后， 总长度是：１．７×８０＋０．８－０．８＝１３６（ｃｍ）． １２．１．３用图象法表示函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．－１＜ｘ＜１或ｘ＞２；　４．２５． ５．画图略．当ｘ＝１时，ｙ＝２ｘ＋１＝３＜槡１０．所 以点（１，槡１０）在该函数图象的上方． ６．（１）由图象可知，Ａ点表示小王开始收割前微信 零钱有２０００元． （２）由图象可知，收割２０亩后，微信零钱为３６００元． 所以收割机收割一亩小麦：（３６００－２０００）÷２０＝ ８０（元）． （３）ａ＝２０００＋５０×８０＝６０００． （４）全天收割小麦共收入：２８４０＋４０００＝ ６８４０（元）． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ 二、９．全体实数；　１０．８；　１１．６；　１２．－５８． 三、１３．（１）上表反映了刹车时车速和刹车距离之 间的关系，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量． （２）根据表格，得如果刹车时车速越大，那么刹车 距离越长． １４．（１）将ｘ＝１，ｙ＝４代入ｙ＝２ｘ＋ｂ，得２＋ｂ＝ ４．解得ｂ＝２． （２）画图略． 书 有些与一次函数有关的数学问题，在题目给定的条 件下，其答案有两种或两种以上的结果，解决这类问题 时，许多同学往往因忽视某种情况而导致以偏概全．本 文列举数例，供同学们参考学习． 例１　已知函数ｙ＝（ｍ－２）ｘｍ２－３＋ｎ＋２（ｍ，ｎ是 常数）是正比例函数，则ｍ＋ｎ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－４或０ Ｂ．±２ Ｃ．０ Ｄ．－４ 解：因为函数ｙ＝（ｍ－２）ｘｍ２－３＋ｎ＋２（ｍ，ｎ是常 数）是正比例函数，所以ｍ２－３＝１，ｍ－２≠０，ｎ＋２＝ ０．解得ｍ＝±２，ｍ≠２，ｎ＝－２．所以ｍ＝－２，ｎ＝－２． 所以ｍ＋ｎ＝－４． 故选Ｄ． 例２　一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）满足当 －１≤ｘ ≤２时，－２≤ｙ≤１，求这条直线的函数表达式． 解：①当ｙ随着ｘ的增大而增大时，点（－１，－２）， （２，１）在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上．所以 －ｋ＋ｂ＝－２， ２ｋ＋ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝１， ｂ＝－１{ ．所以这条直线的函数表达式为ｙ＝ｘ－１． ②当ｙ随着 ｘ的增大而减小时，点（－１，１），（２， －２）在直线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ上．所以 －ｋ＋ｂ＝１， ２ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝０{ ．所以这条直线的函数表达式为ｙ＝－ｘ． 综上所述，这条直线的函数表达式为ｙ＝ｘ－１或ｙ ＝－ｘ． 例３　如图，直线ｙ＝２ｘ＋３与 ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ． （１）求Ａ，Ｂ两点的坐标； （２）过点Ｂ作直线ＢＰ与ｘ轴 交于点Ｐ，且使ＯＰ＝２ＯＡ，求三角 形ＡＢＰ的面积． 解：（１）对于ｙ＝２ｘ＋３，令ｙ＝０，得２ｘ＋３＝０．解 得ｘ＝－３２．所以点Ａ的坐标为（－ ３ ２，０）．令ｘ＝０，得ｙ ＝３．所以点Ｂ的坐标为（０，３）． （２）因为ＯＰ＝２ＯＡ，Ａ（－３２，０），所以ＯＰ＝３． ①当点Ｐ在点Ａ的左边时，点Ｐ的坐标为（－３，０）， 所以Ｓ三角形ＡＢＰ ＝ １ ２×（３－ ３ ２）×３＝ ９ ４； ②当点Ｐ在点Ａ的右边时，点Ｐ的坐标为（３，０），所 以Ｓ三角形ＡＢＰ ＝ １ ２×（３＋ ３ ２）×３＝ ２７ ４． 综上所述，三角形ＡＢＰ的面积为 ９４或 ２７ ４． 书 １５．（１）因为点 Ｐ 在ＡＢ上运动，所以０≤ ｘ≤４．根据题意，得ｙ＝ ４×８－１２×８ｘ＝－４ｘ＋ ３２（０≤ｘ≤４）． （２）若阴影部分的 面积等于 ２０，即 ｙ＝ －４ｘ＋３２＝２０．解得 ｘ＝３．所以ＰＢ＝３． １６．（１）该车平均 每千米的耗油量为：（２２ －１６）÷６０＝０．１（升）． （２）余油量Ｑ（升） 与行驶路程ｘ（千米）之 间的函数表达式为Ｑ＝ ２２－０．１ｘ． （３）他们不能在汽 车报警前回到家．理由 如下： 当ｘ＝２００时，Ｑ＝ ２２－０．１×２００＝２＜３． 所以他们不能在汽车报 警前回到家． １７．（１）当 ｘ＝－３ 时，ｙ＝－２×（－３）＋１ ＝７； 当ｘ＝２时，ｙ＝１２ ×２－３２ ＝－ １ ２． （２）Ａ． （３）①当ｘ＜１时， 令 －２ｘ＋１＝１，解得ｘ ＝０，符合题意； ②当 ｘ≥１时，令 １ ２ｘ－ ３ ２ ＝１，解得ｘ＝ ５，符合题意． 综上所述，输入的 ｘ值为０或５． 附加题　（１）８，４． （２）ａ＝１２×８×６ ＝２４． （３）根据题意，动 点Ｐ共运动了：ＢＣ＋ＣＤ ＋ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＡ＝８＋ ４＋６ ＋２ ＋１４ ＝ ３４（ｃｍ）．所以ｂ＝３４÷ ２＝１７． 书 一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ是常数，ｋ≠０）中，ｋ，ｂ不 同，函数不同，其图象与性质也不同，可以说 ｋ，ｂ决定了 一次函数的图象与性质． 一、比较大小 例１　若一次函数ｙ＝２ｘ＋１的图象经过点（－３， ｙ１），（４，ｙ２），则ｙ１与ｙ２的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｃ．ｙ１≤ｙ２ Ｄ．ｙ１≥ｙ２ 解：因为一次函数ｙ＝２ｘ＋１中，比例系数ｋ＝２＞ ０，所以ｙ随ｘ的增大而增大． 因为 －３＜４，所以ｙ１ ＜ｙ２． 故选Ａ． 二、确定象限 例２　在一次函数ｙ＝－５ａｘ＋ｂ（ａ≠０）中，ｙ的值 随ｘ值的增大而增大，且ａｂ＞０，则点Ａ（ａ，ｂ）在 （　　） Ａ．第四象限 Ｂ．第三象限 Ｃ．第二象限 Ｄ．第一象限 解：因为在一次函数ｙ＝－５ａｘ＋ｂ中，ｙ的值随ｘ值 的增大而增大，所以 －５ａ＞０． 解得ａ＜０． 因为ａｂ＞０，所以ｂ＜０． 所以点Ａ（ａ，ｂ）在第三象限． 故选Ｂ． 三、判断函数图象 例３　若ｍ＜－２，则一次函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ＋１－ ｍ的图象可能是 （　　） 解：因为ｍ＜－２，所以ｍ＋１＜－１，１－ｍ＞３． 所以一次函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ＋１－ｍ的图象经过第 一、二、四象限． 故选Ｄ． 四、求取值范围 例４　一次函数ｙ＝（ｋ＋２）ｘ＋ ｂ的图象如图所示，则 ｋ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｋ≥－２　　 　　Ｂ．ｋ＜－２ Ｃ．ｋ≤－２　　　 　Ｄ．ｋ＞－２ 解：根据图象，得ｋ＋２＞０． 解得ｋ＞－２． 故选Ｄ． 书 设一次函数的图象为 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），由 平移的性质可知平移前后 的直线互相平行，所以一次 项系数ｋ的大小没有改变， 只要探究常数项的变化规 律即可． 一、沿ｙ轴上下平移 在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上取 一点（０，ｂ），将直线向上平 移ｍ（ｍ ＞０）个单位长度 时，该点也向上平移ｍ个单 位长度，得到点（０，ｂ＋ｍ）． 设平移后的直线表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｃ．因为点（０，ｂ＋ ｍ）在此直线上，所以 ｂ＋ｍ ＝０·ｋ＋ｃ，即ｃ＝ｂ＋ｍ．所 以平移后的直线表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ＋ｍ．同理，直线ｙ ＝ｋｘ＋ｂ向下平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度后，所得的直 线表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ－ｍ．所以向上（或向下）平移 ｍ（ｍ＞０）个单位长度，就是将常数项加上（或减去）ｍ， 即“上下平移，上加下减”． 例１　在平面直角坐标系中，将函数ｙ＝３ｘ＋２的 图象向下平移３个单位长度，所得图象的函数表达式是 ． 解：将函数ｙ＝３ｘ＋２的图象向下平移３个单位长 度后，所得图象的函数表达式是ｙ＝３ｘ＋２－３＝３ｘ－１． 故填ｙ＝３ｘ－１． 二、沿ｘ轴左右平移 在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上取一点（－ｂｋ，０），将直线向左 平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度，该点也向左平移ｍ个单位 长度，得到点（－ｂｋ－ｍ，０）．设平移后的直线表达式为ｙ ＝ｋｘ＋ｄ，则ｋ（－ｂｋ－ｍ）＋ｄ＝０，即ｄ＝ｋｍ＋ｂ．所以 平移后的直线表达式为ｙ＝ｋ（ｘ＋ｍ）＋ｂ．同理，直线ｙ ＝ｋｘ＋ｂ向右平移ｍ个单位长度后，所得的直线表达式 为ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｂ．所以向左（或向右）平移ｍ（ｍ＞０） 个单位长度，就是将自变量的值加上（或减去）ｍ，即“左 右平移，左加右减”． 例２　一次函数ｙ＝－ｘ－１向右平移６个单位长度 后的函数表达式为 ． 解：一次函数ｙ＝－ｘ－１向右平移６个单位长度后 的函数表达式为ｙ＝－（ｘ－６）－１＝－ｘ＋５． 故填ｙ＝－ｘ＋５． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % ! !" #$% 书 求一次函数的表达式是一类常见题型，它涉及知识 面广、技巧性强、题目灵活多变．本文对常见的几种典型 题型进行归纳总结，现剖析如下． 一、已知截距直接设 例１　当光线射到ｘ轴进行反射，如果反射的路径 经过点Ａ（３，４），且在ｙ轴上的截距是１，则反射光线所在 直线的函数表达式为 ． 解：由题意知，设反射光线所在直线的函数表达式 为ｙ＝ｋｘ＋１． 将Ａ（３，４）代入，得３ｋ＋１＝４．解得ｋ＝１． 所以反射光线所在直线的函数表达式为ｙ＝ｘ＋１． 故填ｙ＝ｘ＋１． 二、平行问题代入求 例２　已知直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与直线ｙ＝－２ｘ平行，且 过点Ａ（－２，６），则此一次函数的表达式为 ． 解：由题意知，所求函数表达式可设为ｙ＝－２ｘ＋ｂ． 将Ａ（－２，６）代入，得６＝－２×（－２）＋ｂ． 解得ｂ＝２． 所以此一次函数的表达式为ｙ＝－２ｘ＋２． 故填ｙ＝－２ｘ＋２． 评注：若两直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２在ｙ轴上 相交于同一点，则ｂ１＝ｂ２；若两直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，ｙ＝ｋ２ｘ ＋ｂ２平行，则ｋ１＝ｋ２．掌握以上两点，能给求一次函数的 表达式带来极大方便． 三、平分图形用面积 例３　如图，在平面直角坐 标系中，已知点Ａ（０，４），Ｂ（－１， ２），Ｃ（３，２），直线 ｌ经过点 Ａ，它 将三角形 ＡＢＣ分成面积相等的 两部分，则直线 ｌ的函数表达式 为 ． 解：如图，设直线ｌ与ＢＣ交于点Ｄ． 因为直线ｌ经过点Ａ，并将三角形 ＡＢＣ分成面积相 等的两部分，所以ＡＤ是三角形ＡＢＣ的中线． 又因为Ｂ（－１，２），Ｃ（３，２），所以点 Ｄ的坐标为（１， ２）． 设直线ｌ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋４． 把Ｄ（１，２）代入，得ｋ＋４＝２．解得ｋ＝－２． 所以直线ｌ的函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋４． 故填ｙ＝－２ｘ＋４． !"#"&'()*+,-().&'( )/ 01234!" !"#$%&'()*+, -./01# "# 234#$%&'567&'/89 :;<=>6?&'/)*# $# @>6?&'/ABCD-.66E F<GHI:JAKLMKNOPQ- .<!"6?&'+,-./01# %#RS6?&'/TU# &#RVWXY'ZS[\/6?&' /]BC# " 5 6 7 & 8 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! 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