广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期数学周末作业（五）

2024年盐田高级中学高二数学周末作业（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 4．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 5．当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 二、多选题 7．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 8．对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 三、填空题 9．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 10．点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 . 11．已知实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 12．已知直线经过点，圆． (1)若直线与圆C相切，求直线的方程； (2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 13．已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 14．直三棱柱中，为中点，E为中点，F为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A D C C BD BD 1．D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 2．D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 3．A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 4．D 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 5．C 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 6．C 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 7．BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 8．BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 9． 【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案． 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 ,,0,,0,， 故答案为：． 10． 【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案． 【详解】设，又点， 则， 所以，， 又点A在圆上， 则，即， 所以线段AB的中点P的轨迹方程为． 故答案为：． 11．/ 【分析】设点，则问题转化为圆上一点与圆外一点之间距离的最大值的平方，根据点与圆的位置关系求解即可. 【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点 又点在圆外，所以， 则，所以的最大值为. 故答案为：. 12．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解； （2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可. 【详解】（1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2. 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或． （2）因为直线l被圆C所截得的弦长为， 所以圆心到直线l的距离为． 由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或． 故直线l的方程为或． 13．(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【详解】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 14．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量为，计算出，从而得到⊥，又平面，所以平面； （2）求出平面的法向量，利用线面角的求解公式求出答案； （3）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式求出答案. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又为中点，E为中点，F为中点． 故， 则，平面的法向量为， 故，所以⊥， 又平面，所以平面； （2）， 设是平面的法向量，则有：， 即，令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面的正弦值为； （3），则， 设平面的法向量为，则有， 即，解得，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以． 平面与平面夹角的余弦值为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$