微专题07 基本不等式求最值12种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题07 基本不等式求最值12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 直接法求最值 题型2 配凑法求最值 题型3 分式分离法求最值 题型4 消元法求最值 题型5 乘“1”法求最值 题型6 双换元法求最值 题型7 构造不等式求最值 题型8 齐次化求最值 题型9 万能K法 题型10 多次使用基本不等式求最值 题型11 基本不等式链 题型12 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 一、基本不等式(或)均值不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 二、基本不等式的变形与拓展 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 7、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．但要注意若变量的项是负数，则提取符号，将其转化为正数，再利用基本不等式公式求最值． 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 需要注意以下几个问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中的常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3、二次/一次分离法：当所求问题为分式时，可采用分离常数法将分式分解为对勾函数形式，再结合基本不等式求最值．为了简化运算，当分母为多项式时，可以用换元法将分母转换为单项式进行分离常数． 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 5、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 6、双换元法：在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 7、构造目标不等式不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件． 8、多次使用基本不等式法：一个问题中多次用到基本不等式时，不仅要注意每次验证等号成立的条件，而且一定要注意所求等号成立的条件必须一致． 题型1 直接法求最值 【例1】已知，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3】已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式4】已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 题型2 配凑法求最值 【例2】已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式1】函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【变式2】已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【变式3】已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【变式4】已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 题型3 分式分离法求最值 【例3】若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【变式1】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【变式2】函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【变式3】已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 题型4 消元法求最值 【例4】负实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式4】已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 题型5 乘“1”法求最值 【例5】已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【变式1】已知正实数满足，则的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【变式2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式3】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式4】已知，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C．4 D．9 【变式5】已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式6】若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式8】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式9】若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【变式10】已知，则的最小值为 . 题型6 双换元法求最值 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 【例6】已知，，，则的最大值为 ． 【变式1】设，，且，则的最小值是 ． 【变式2】已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 . 【变式3】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【变式4】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【变式5】已知，都是正数，则的最小值是 . 题型7 构造不等式求最值 【例7】已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式2】若，，且，则的最小值为 ． 【变式3】已知，则的最大值为 ． 题型8 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【例8】已知正数，则的最大值为 ． 【变式1】若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型9 万能K法 【例9】已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 题型10 多次使用基本不等式求最值 【例10】若，，则的最小值为 ． 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【变式2】若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型11 基本不等式链 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 【例11】【多选】若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 题型12 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【例12】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式1】若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】【多选】已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 $$2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题07 基本不等式求最值12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 直接法求最值 题型2 配凑法求最值 题型3 分式分离法求最值 题型4 消元法求最值 题型5 乘“1”法求最值 题型6 双换元法求最值 题型7 构造不等式求最值 题型8 齐次化求最值 题型9 万能K法 题型10 多次使用基本不等式求最值 题型11 基本不等式链 题型12 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 一、基本不等式(或)均值不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 二、基本不等式的变形与拓展 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 7、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．但要注意若变量的项是负数，则提取符号，将其转化为正数，再利用基本不等式公式求最值． 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 需要注意以下几个问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中的常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3、二次/一次分离法：当所求问题为分式时，可采用分离常数法将分式分解为对勾函数形式，再结合基本不等式求最值．为了简化运算，当分母为多项式时，可以用换元法将分母转换为单项式进行分离常数． 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 5、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 6、双换元法：在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 7、构造目标不等式不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件． 8、多次使用基本不等式法：一个问题中多次用到基本不等式时，不仅要注意每次验证等号成立的条件，而且一定要注意所求等号成立的条件必须一致． 题型1 直接法求最值 【例1】已知，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为.故选：C 【变式2】函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为，故选：B. 【变式3】已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正数满足，所以， 当且仅当即时，等号成立.故选：A 【变式4】已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3 题型2 配凑法求最值 【例2】已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，取得等号，故选:C. 【变式1】函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，故选:D 【变式2】已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【解析】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为，故选：D. 【变式3】已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意.故选：B. 【变式4】已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是.故选：A. 题型3 分式分离法求最值 【例3】若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【解析】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立， 所以函数有最大值.故选：D. 【变式1】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为.故选：C 【变式2】函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】C 【解析】，当且仅当，即时等号成立，故选：C 【变式3】已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，设，则， ， 当且仅当即相当于时取等号， 所以函数的最大值为是.故选：A 题型4 消元法求最值 【例4】负实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为.故选：A. 【变式1】已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是.故选：D 【变式2】已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 所以， 因为正实数a，b满足，所以， 故， 当且仅当，即，故选：D 【变式3】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2，故选：A 【变式4】已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故选：C. 题型5 乘“1”法求最值 【例5】已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以. 当且仅当时，即，有最小值.故选：A. 【变式1】已知正实数满足，则的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【解析】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为.故选：. 【变式2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9.故选：D 【变式3】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1.故选：B. 【变式4】已知，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即时取等号.故选：B. 【变式5】已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 【变式6】若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 【变式7】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 【变式8】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用条件转化得，将问题式化简结合基本不等式求最值. 【详解】由，且，可得.所以. 又因为， 当且仅当，即时取等号，所以. 故选：B. 【变式9】若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D 【变式10】已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】由题，所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离和配凑. 题型6 双换元法求最值 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 【例6】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 【变式1】设，，且，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】设，则，， ， 当且仅当即，时等号成立， 故当，时，取最小值. 【变式2】已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因为，即， 设，则，且， 原式， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式3】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为实数，满足，化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 【变式4】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立. 【变式5】已知，都是正数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设，，解出，，代入化简得 ，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】因为均为正实数，故设，，则 联立解得，， 当且仅当，即，即时取等号， 故答案为：. 题型7 构造不等式求最值 【例7】已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为.故选：D． 【变式1】设，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】由，由， 得，当且仅当时，取等号， 解不等式，得， 所以的最大值为4.故选：C. 【变式2】若，，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 【变式3】已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 题型8 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【例8】已知正数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将分母变为，分别利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故答案为：. 【变式1】若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：B. 【变式2】已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为为非零实数，，，均为正实数， 则 ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：B． 题型9 万能K法 【例9】已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式1】已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设，代入方程得：， 所以，即的最小值为：. 故选：D. 题型10 多次使用基本不等式求最值 【例10】若，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，， 所以， 当且仅当且，解得：， 所以的最小值为. 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】A 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4.故选：A 【变式2】若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】， 其中，其中， 当时，即时，等号成立， ，当，即时等号成立， 当满足，即，时，两个等号同时成立， 所以的最小值为8.故选：C 【变式3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当时取“”， 所以， 当且仅当，即，时取“”， 所以最小值为．故选：C． 题型11 基本不等式链 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 【例11】【多选】若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 由基本不等式链: , 可得（R）， 对于AB 由可变形为，， 解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 对于C 【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 【法二】由 ,得 , 又因为 ,所以 ,即 . 【法三】 , 又因为 ,所以 . 【答案】：BC． 【变式1】若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 【变式2】若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解. 【详解】解：对A选项：，，， ，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确； 对B选项：，而成立， 成立，故B选项正确； 对C选项：， （当且仅当时等号成立），故C选项正确； 对D选项：，（当且仅当时等号成立）， ，故D选项错误. 故选：ABC. 题型12 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【例12】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】 因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 【变式1】若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 【变式2】【多选】已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB $$