专题08 三角形全等模型之倍长中线与截长补短-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题08 三角形全等模型之倍长中线与截长补短 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 2 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 11 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 1. 倍长中线模型 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，C为AB的中点. 证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则; 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点. 2. 截长补短模型 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 压轴题型讲练 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 例题：（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【变式训练2】（22-23八年级上·山东德州·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【变式训练1】（23-24八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 压轴能力测评（8题） 一、填空题 1．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 二、解答题 3．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 4．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 5．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 6．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）如图所示，，为等腰三角形，． (1)如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ； (2)如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系? 证明你的结论； (3)若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想． 7．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 8．（22-23七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形全等模型之倍长中线与截长补短 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 2 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 11 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 1. 倍长中线模型 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，C为AB的中点. 证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则; 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点. 2. 截长补短模型 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 压轴题型讲练 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 例题：（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）（2）仍然成立，过程见详解（3）或或； 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 【变式训练1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式训练2】（22-23八年级上·山东德州·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等角对等边证明边相等、确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）2 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式训练1】（23-24八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式训练2】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 【答案】（1）60°；（2）当时，成立，理由见解析；（3）16 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到证明得到根据题意，计算即可得出结果． （2）延长FD到点H，使，连接AH，分别证明，根据全等三角形的性质解答即可． （3）根据（2）的结论得到，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）当时，，理由如下， 延长FD到点G，使，连接AG， 在和中， 在和中， ； （2）当时，成立， 理由如下：如图2，延长FD到点H，使，连接AH， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴（SAS）， ∴； （3）∵四边形ABCD为正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴， ∴AD+CD=8， ∴， ∴正方形ABCD的面积． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键． 压轴能力测评（8题） 一、填空题 1．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，把、和转化到一个三角形中是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 二、解答题 3．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 【答案】(1)，2 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）延长至点，使，结合等边三角形以及垂直平分线性质，证明，然后证明，进行边的等量代换，即可作答．结合的周长，且，即可作答． （2）过点作，因为为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，得到为中位线，从而证明，； （3）设，如图：过点作，同理证明，则，故，即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长至点，使 ∵点为的垂直平分线上一点， ∴, ∵为等边三角形， ∴ ∴ 故 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则； ∵的周长，且 ∴ （2）解：如图：过点作， ∵为等边三角形，点为的垂直平分线上一点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，如图：过点作， 同理可证 ∴ ∵ ∴ ∴ 则 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，涉及判定三角形全等以及全等三角形的性质、四边形内角和，垂直平分线的性质，辅助线等内容，综合性强，难度大，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． 6．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）如图所示，，为等腰三角形，． (1)如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ； (2)如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系? 证明你的结论； (3)若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想． 【答案】(1)； (2)，，理由见解析 (3)，，图形和理由见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质和判定等．构造三角形全等是解题的关键． （1）证，结合为中点，即可得； （2）延长到，使，连接、、， 易证，进而可以证明，即可证明，； （3）基本方法同（2）． 【详解】（1）解：∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：；； （2）解：，，理由： 如图，延长到，使，连接、、， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又为的中点， ∴，， ∴，； （3）解：图形如图3， 结论：，， 证明如下： 如图4，延长到，使，连接、，连接交延长交于，交于， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又为的中点， ∴，， ∴，． 7．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 8．（22-23七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【知识点】全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （2）延长交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证即可； （4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）为边上的中线， ， 在和中     ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为： （2）如下图，交延长线于点    ， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点 ， ， ，， 又， ，即， 在和中 ， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、    由（1）同理易知， ，， ，且， ， ，， ， ， ， ， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，    ， ， 和互余，， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$