专题10 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题10 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、等腰三角形中的手拉手模型 3 类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 8 类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 12 类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 压轴能力测评（10题） 18 解题知识必备 模型1.等腰三角形中的手拉手模型 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 等边三角形手拉手模型： 等腰直角三角形手拉手模型： 等腰三角形手拉手模型： 模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 图1 图2 图3 模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 模型4.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形中的手拉手模型 例题：（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【变式训练1】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【初步感知】 如图①，和都是等边三角形，连接．小组同学发现： （1）与全等，依据是__________（填写全等三角形判定定理，用字母表示即可）； （2）线段与的数量关系为__________（不用证明）； 【拓展探究】 如图②，和都是等腰三角形，相交于点． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （4）直接写出的度数． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东青岛·期末）在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例题：如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例题：（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，，平分，平分． (1)求证：是的中点； (2)试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，交于． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 4．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、都不与点重合），且，联结交射线于点． (1)如图1，当时，试说明的理由： (2)在（1）的条件下，作的平分线交射线于，交射线于点，试说明的理由； (3)当且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 6．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在四边形中，平分，过作于，并且． (1)求证：． (2)求证：． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，可以由________（三角形全等判定原理），得，进而得到； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，求的度数． 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）图1，与均为等腰三角形，分别是底边，且．求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，填空：的度数为________； （3）拓展探究：如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．求线段之间的数量关系，并说明理由． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ (2)探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． (3)拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 10．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、等腰三角形中的手拉手模型 3 类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 8 类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 12 类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 压轴能力测评（10题） 18 解题知识必备 模型1.等腰三角形中的手拉手模型 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 等边三角形手拉手模型： 等腰直角三角形手拉手模型： 等腰三角形手拉手模型： 模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 图1 图2 图3 模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 模型4.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形中的手拉手模型 例题：（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 【变式训练1】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【初步感知】 如图①，和都是等边三角形，连接．小组同学发现： （1）与全等，依据是__________（填写全等三角形判定定理，用字母表示即可）； （2）线段与的数量关系为__________（不用证明）； 【拓展探究】 如图②，和都是等腰三角形，相交于点． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （4）直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）仍然成立，证明见解析；（4） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到； （3）类比（1）证明，根据全等三角形的性质得到； （4）根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ∴，，， ，， ， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵ （全等三角形的对应边相等）， 故答案为：； （3）仍然成立，证明如下： ∵，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东青岛·期末）在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 【答案】探究1：90；探究2：90；探究3：m；探究4：60 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理： （1）证明，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案； （2）证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，即可得出答案； （4）证明，得出，即可得出答案． 【详解】探究1 解：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究2：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究3：同（2）可得， ∴， ∴ ， 故答案为：m； 探究4：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例题：如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题； （2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， 平分； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 【变式训练1】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例题：（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，得，再根据，利用三角形内角和定理可证明结论； （2）延长，交于点，利用证明，得，再根据证明，得，则，从而解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，延长，交于点， 在与中， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ． 类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 【变式训练1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可； （2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ，，， ， ． 【变式训练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，，平分，平分． (1)求证：是的中点； (2)试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）如图所示，过点M作于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，，进而得到，即是的中点； （2）证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，过点M作于F， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，交于． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定及角平分线性质定理，熟练掌握角平分线的性质是关键：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上． （1）先根据角平分线的性质得：，再证明，可得结论； （2）先证明，得，根据角平分线的判定定理得：平分，则． 【详解】（1）证明：，，， ，， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 在的角平分线上， 即平分， ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分． 4．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点C作于点F，由角平分线的性质定理可得出，再根据补角的性质可得出，即易证，得出； （2）过点C作于点F，分别证明， ，得出，．再结合，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、都不与点重合），且，联结交射线于点． (1)如图1，当时，试说明的理由： (2)在（1）的条件下，作的平分线交射线于，交射线于点，试说明的理由； (3)当且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，等腰三角形的存在性问题． （1）根据等角的余角相等证明出，再根据等角对等边即可得到； （2）根据证明，再根据全等三角形的对应边相等即可得到； （3）根据是等腰三角形，分类讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）证明：，平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （3）解：①当时，，， ， ， ， ； ②当时，， ； ③当，在左侧，， ； ④当，在右侧，则， ， ， ． 综上所述，或或或． 6．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在四边形中，平分，过作于，并且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，题目比较好，难度适中． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证出，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明； 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交的延长线于， ，，平分， ，， ， 又， ， 在和中 ， ； （2）证明：， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，可以由________（三角形全等判定原理），得，进而得到； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，最后用角的差，即可得出结论； 【详解】（1）解：（1）∵和均是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）图1，与均为等腰三角形，分别是底边，且．求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，填空：的度数为________； （3）拓展探究：如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．求线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析    （2）60    （3），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质： （1）由等腰三角形的性质可得，，再由角的和差关系推出，即可根据“”证明； （2）先证得，由全等三角形的性质可得，再由三角形外角和定理求得，再利用角的和差关系求解即可； （3）先证得，由全等三角形的性质可得，再由等腰直角三角形的性质可得，进而根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：与均为等腰三角形， ，， ， ， ， ； （2）和均为等边三角形， ，，， ， ， ； ， 为等边三角形， ， 点A，D，E在同一直线上， ， ， ， 综上所述，的度数为； （3）线段CM、AE、BE之间的数量关系是：．理由如下： 和均为等腰直角三角形且， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ (2)探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． (3)拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （2）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （3）仿照（2）的解法得出，从而得出，再根据得出，得出，继而得出结论． 【详解】（1）解：作于点D，如图， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论还成立， 理由如下：如图2，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （3）解：． 理由如下：如图3，作于点D， 同（2）可证， ∴， 点P在的角平分线上，且于C， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 10．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$