专题06 等腰三角形的分类讨论思想的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题06 等腰三角形的分类讨论思想的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 2 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 4 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 6 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 11 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1. 等腰三角形中的分类讨论思想 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 （1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论； ②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论； ④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 （2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·江西·阶段练习）等腰三角形中，，中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【变式训练3】（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长； （2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长； （3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长． 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【变式训练1】等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【变式训练2】等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【变式训练3】如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【变式训练1】在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【变式训练2】在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【变式训练3】如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【变式训练1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【变式训练2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）从长分别为、、、、 五根小杯中， 选取三根围成不同的等腰三角形，这些等腰三角形的周长不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 二、填空题 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ． 7．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为 ． 8．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 10．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 12．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为和两部分，求等腰三角形的各边长． （2）等腰三角形一底角的角平分线与另一腰形成的锐角为，求等腰三角形各底角度数． 13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情景】 小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题： （1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点． 求证：与都是等腰三角形；    【初步应用】 小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？ （2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．    【灵活应用】 小明进一步思考： （3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系． 15．（23-24八年级上·北京延庆·期末）【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰三角形的分类讨论思想的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 2 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 4 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 6 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 11 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1. 等腰三角形中的分类讨论思想 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 （1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论； ②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论； ④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 （2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】12 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形． 根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等 ①当腰为时：三角形的周长为：； ②当腰为时：三角形的周长为：； 故答案为：或． 【变式训练2】（23-24八年级上·江西·阶段练习）等腰三角形中，，中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形三边的数量关系， 根据题意，是中线，则，分类讨论：当，则，分别求出，根据三角形三边数量关系即可求解；当，则，分别求出，根据三角形三边数量关系即可求解； 【详解】解：如图，是中线，则， ∵， ∴， 当，则， ∴，则底边， 三角形的三边分别为， ∵， ∴能组成三角形； 当，则， ∴，则底边， 三角形的三边分别为， ∵， ∴不能组成三角形， 综上所述，各边的长分别为． 【变式训练3】（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长； （2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长； （3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】（1）3；（2）2；（3）、或5、2 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键． （1）由等腰三角形的周长是10，则底边长4，根据等腰三角形的两腰相等，即可求得其腰长的值； （2）由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长； （3）已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的底边长为4，周长为10， ∴腰长为； （2）∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4， ∴它的底边长为． （3）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5， ∵， ∴、、5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2， ∵， ∴5、5、2可以构成三角形． 故另两边是、或5、2． 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：当的角是底角时，则底角为， 当的角是顶角时，则底角为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式训练1】等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 【变式训练2】等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 【变式训练3】如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 【答案】或或 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1， 点P在上时，，顶角为， ②∵，， ∴， 如图2，点P在上时，若， 顶角为， 如图3，若， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解． 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是矩形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于， 此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于， 由勾股定理得：， 即；， 所以的长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 【变式训练1】在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】20°或27.5°或35° 【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠B＝70°， ∴∠BAD＝∠B＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝20°； ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠B＝70°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 【变式训练2】在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【答案】或9或3 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°， ∴， ∴， 当点P在线段AB上时，如图， ∵， ∴∠BPC=90°，即PC⊥AB， ∴； 当点P在AB的延长线上时， ∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB， ∴∠CPB=30°， ∴∠CPB=∠PCB， ∴PB=BC=3， ∴AP=AB+PB=9； 当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图， ∴， ∵， ∴∠APC=60°， ∴∠ACP=60°， ∴∠APC=∠PAC=∠ACP， ∴△APC为等边三角形， ∴PA=AC=3． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键． 【变式训练3】如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三类：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， ， 则， 即， 当时，如图所示， ， 则， 当时，如图所示，设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 【变式训练1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．    故答案为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键． 【变式训练2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 【答案】9cm或21cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm． 故答案为：9cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 分当第三边长为3时，当第三边长为7时两种情况，根据构成三角形的三边关系确定第三边的长，然后求周长即可． 【详解】解：当第三边长为3时，三边分别为3、3、7，此时不能构成三角形，舍去； 当第三边长为7时，三边分别为3、7、7，此时能构成三角形，周长为， 综上，它的周长为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理根据外角为可得相邻的内角为，然后分当是顶角和底角两种情况分析，结合三角形的内角和定理即可求得结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻的内角为， 当为顶角时，顶角的度数是， 当为底角时，顶角的度数是， 综上可知：顶角的度数是或， 故选：． 3．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）从长分别为、、、、 五根小杯中， 选取三根围成不同的等腰三角形，这些等腰三角形的周长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键，根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题即可． 【详解】解：， 不能组成三角形． (厘米) 答：这些等腰三角形的周长不可能是12厘米． 故选：B． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；分两种情况：当腰为时，当底边为时，分别讨论即可求解，理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当腰为时，底边长，， 则此时，这个三角形的周长为； 当底边为时，腰长，， 则此时，这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为或， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ． 【答案】/58度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，当等腰三角形是钝角三角形时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述：底角的度数为， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为 ． 【答案】或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的概念，三角形内角和定理， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论． 【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由已知可知，， 又∵， ∴， ∴； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由已知可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴的顶角的度数为或． 故答案为：或． 8．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 10．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【答案】或 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、等腰三角形的性质以及三角形中线的性质，设腰长为，底边长为．根据一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是，可得两种情况，①；②，分别与组成方程组，求解即可． 【详解】解：设腰长为，底边长为． ①若腰比底边长，根据题意得，解得； ②若底边比腰长，根据题意得，解得． 故这个三角形的腰长是或． 12．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为和两部分，求等腰三角形的各边长． （2）等腰三角形一底角的角平分线与另一腰形成的锐角为，求等腰三角形各底角度数． 【答案】（1）或；（2）或 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质，构成三角形的条件，三角形内角和定理和三角形外角的性质： （1）根据三角形周长公式分当的周长分别为和时，当的周长分别为和时，两种情况根据等腰三角形的定义和三角形中线的定义求出的长，再根据构成三角形的条件求解即可； （2）在等腰中，，是角平分线，当时，当时，两种情况结合等边对等角以及角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，等腰中，，是中线，则， 当的周长分别为和时， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的三边长分别为； 同理当的周长分别为和时，可得， ∴， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的三边长分别为； 综上所述，该等腰三角形的三边长分别为或； （2）在等腰中，，是角平分线， 如图所示，当时， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形各底角度数为或． 13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)； (3)为或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了等腰三角形的性质，方程思想和分类讨论思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， ∴出发秒后，能形成等腰三角形； 故答案为：； （3）当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为或或时，是等腰三角形． 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情景】 小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题： （1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点． 求证：与都是等腰三角形；    【初步应用】 小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？ （2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．    【灵活应用】 小明进一步思考： （3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）或或或，为小于的任意锐角． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用等腰三角形的判定即可求解； （2）根据题意画图即可； （3）分若是顶角，则；若是底角，第一种情况：当时，第二种情况，当时讨论即可； 本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定及分类讨论思想． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴与都是等腰三角形； （2）解：如图所示：    （3）解：设，，过点的直线交边于，    在中，若是顶角， 如图，则，， 而，此时只能有，即， 即，即； ∴； 若是底角， 第一种情况：如图，当时，则， 中，，， 由，得，此时有，即， ∴； 由，得，此时，即， ∴， 由，得，此时， ∴，为小于的任意锐角． 第二种情况，如图，当时，，，此时只能有． 从而，这与题设是最小角矛盾． ∴当是底角时，不成立． 综上，与之间的关系：或或或，为小于的任意锐角． 15．（23-24八年级上·北京延庆·期末）【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】（）根据新定义画出图形即可判断； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． 【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形， ∴是“可两分三角形”， 故答案为：是； （）如图所示； （）如图所示； （）如图所示， 由图可得的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$