精品解析：浙江省台州市书生中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年浙江省台州市书生中学高二（上）月考数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB相交，由图象知，．故选A． 考点：直线相交问题求参数范围． 【方法点睛】对于直线的相交问题，常借助数形结合比较直观的研究相交．但要注意特殊位置，如直线斜率不存在时，直线与线段端点相交时，是否取等号问题等．当然本题也可直接设出直线l和直线AB的方程，然后求出交点横坐标，由横坐标大于等于-3且小于等于2求解即可．注意对比两种方法，感受数形结合的魅力． 2. O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间四点共面的向量表示公式即可得解. 【详解】因， 所以，即， 因为A，B，C，P四点共面， 所以，即， 故选：C 3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 4. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分． 5. 已知m：，当坐标原点O到直线m的距离最大值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知先求出直线恒过的定点，结合点到直线的距离公式即可求解． 【详解】由m：可得，， 由，解得，， 所以直线m过定点， 当时，点O到m的距离最大， 因为， 故直线m的斜率， 解得， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6. 如图，在平行六面体中，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，且 （1）求的长； （2）设，求x，y，z的值． （3）与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． （2）易得，再利用空间向量基本定理即可得出． （3）由，计算出和，利用向量夹角余弦公式进行求解 小问1详解】 ， 又，，，， ， ； 【小问2详解】 由题意，可得， ， ，； 【小问3详解】 由， 可得 ， 又 ， 故， 则与所成角的余弦值为 7. 已知直线的斜率为，纵截距为. （1）求点（2，4）关于直线的对称点坐标； （2）求与直线平行且距离为的直线方程. 【答案】（1） ； （2）或 【解析】 【分析】（1）设点为，则关于直线的对称点坐标为，利用点关于直线对称的性质，以及中垂线定理，列出关于的式子，结合的中点在直线上，即可求出和； （2）根据平行直线系方程，由已知直线写出与它平行的直线的方程为：，再利用两平行线间的距离公式，求出，即可得出直线方程. 【详解】已知直线的斜率为，纵截距为，则方程为：， （1）设点为点，则关于直线的对称点坐标为， 则直线与直线垂直，则，即①， 且的中点在直线上，所以②， 联立①和②，解得， 所以点关于直线的对称点坐标为. （2）设所求的直线为，因为直线与直线平行且距离为， 又因为直线方程为：，即， 所以可设直线的方程为：， 则，解得或-11. 所以直线的方程为：或. 【点睛】本题考查点关于直线对称的点坐标，以及平行直线的方程，还利用中垂线的性质，中点坐标公式，两平行线间的距离公式等基础知识. 8. 在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点. （1）求点的坐标； （2）求过点且与直线垂直的直线. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出, （2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案． 【小问1详解】 四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍或，． ，中点坐标为， 由于，且是中点，点坐标为， 【小问2详解】 ，,由中点坐标公式得， 又，， 则过点且与直线垂直的直线斜率为：， 所求直线方程为：，即． 9. 如图，两个等腰直角和，，，平面平面ABC，M为斜边AB中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AC中点D，可证得，，从而得平面PMD，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，计算平面PCM与平面BCM的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算可得结果． 【小问1详解】 取AC中点D，连接MD，PD，如图， 又M为AB的中点，所以，又，则， 又为等腰直角三角形，，， 所以，又，MD，平面PMD， 所以平面PMD，又平面PMD， 所以； 【小问2详解】 由知，，又平面平面ABC， 平面平面，平面PAC， 所以平面ABC，即PD，AC，DM两两互相垂直， 故以D为原点，，，为x、y、z轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 所以，， 设为平面PCM的一个法向量，由，， 则有，令，即， 取平面BCM的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为 10. (1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值； (2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)；(2)12，2x＋3y－12＝0., 【解析】 【分析】 （1）由直线可知两直线恒过定点P(2,2)，然后求出l1在y轴上的截距，l2在x轴上的截距，根据三角形的面积公式可列出四边形的面积式，配方即可求解. （2）设出直线方程求出直线与坐标轴的交点，列出△ABO的面积的关系式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意知直线恒过定点P(2,2)， 直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋， 当a＝时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a的值为. (2)依题意知直线l的斜率k存在且k<0， 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 可得A，B(0,2－3k)， 所以S△ABO＝(2－3k) 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立． 故△ABO的面积的最小值为12， 此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程、根据直线与坐标轴围成的面积的最值求参数值，属于中档题. 11. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）7；（ii）在定直线上 【解析】 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； （ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【小问1详解】 解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； 【小问2详解】 解：设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线斜率不存在， 则，， 则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7； （ii）设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则 ， 所以， 所以点N在定直线上. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量. 12. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得线面角的正弦值； 利用等体积法即可求得点到平面的距离． 【小问1详解】 如图，取中点为中点为，连接， 由于平面平面，且交线为，平面, 由题设可知，平面， 故以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面AMP的一个法向量为， ，， 则由，可得， 令，可得，， 故平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为，， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 如图，平面平面，四边形是矩形， 因为四边形是矩形，所以，， 又平面平面， 平面， 所以平面，平面， 故，， 在直角中，，，则， 在直角中，，，则， 在直角中，，，则， 则有，即； 同理可求得，， 设点到平面的距离为h， 由， 所以，解得， 所以点到平面的距离为 13. 如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点． （1）证明：； （2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得出平面，即可由线面垂直的性质得出； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得为二面角的平面角，，求出平面的法向量和，利用向量关系可表示出直线与平面所成角的正弦值，即可根据范围求出. 【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，， 在等腰梯形中，，为，的中点， ∴， 在正中，为的中点， ∴， ∵，，，，平面， ∴平面， 又平面，∴． （2）解：∵平面， 在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系， ∵，，∴为二面角的平面角，即， ，，，，，， 设平面的法向量为，，， 则有，即， 则可取，又， 设直线与平面所成角为， ∴， ∵，∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省台州市书生中学高二（上）月考数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 2. O空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A B. C. D. 2 二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分． 5. 已知m：，当坐标原点O到直线m的距离最大值时，______． 三、解答题：本题共8小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6. 如图，在平行六面体中，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，且 （1）求的长； （2）设，求x，y，z值． （3）与所成角的余弦值． 7. 已知直线的斜率为，纵截距为. （1）求点（2，4）关于直线的对称点坐标； （2）求与直线平行且距离为的直线方程. 8. 在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点. （1）求点的坐标； （2）求过点且与直线垂直的直线. 9. 如图，两个等腰直角和，，，平面平面ABC，M为斜边AB的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 10. (1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值； (2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程. 11 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 12. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 13. 如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点． （1）证明：； （2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $